a) Triângulo retângulo: É o triângulo que possui um ângulo reto (90 ).

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1 Geometria Analítica Módulo 1 Revisão de funções trigonométricas, Vetores: Definições e aplicações Módulo, direção e sentido. Igualdades entre vetores 1. Revisão de funções trigonométricas a) Triângulo retângulo: É o triângulo que possui um ângulo reto (90 ). No triângulo retângulo da figura temos: Hipotenusa maior lado do retângulo, indicado na figura por a Catetos lados que formam o ângulo reto, indicados por b e c um dos ângulos agudos (< 90 ) do triangulo retângulo. Cateto adjacente ao ângulo b Cateto oposto ao ângulo c Teorema de Euclides: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo vale 180. Teorema de Pitágoras: Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Para o triangulo da figura temos: a² b² c² Relações trigonométricas principais seno de cateto oposto ao ângulo hipotenusa na figura temos sen c a

2 cateto adjacente ao ângulo co - seno de hipotenusa na figura temos cos b a tangente de cateto oposto ao ângulo cateto adjacente ao angulo na figura temos tg c b b) Triângulo qualquer: É nome dado qualquer triângulo que não possui um ângulo reto (90 ). a; b; c medida dos lados do ABC A; B; C vértice e medida dos ângulos internos do ABC Lei dos Co-senos: Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados, menos o dobro do produto dessas medidas pelo co-seno do ângulo que eles formam. Na figura temos: a² b² c² - 2b.c.cos A b² a² c² - 2a.c.cos B c² a² b² - 2a.b.cos C 2. Noção intuitiva de vetor

3 Vetor é um segmento de reta orientado que usado para indicar grandeza que necessitam de direção (alinhamento) e sentido (para onde?). Um vetor também pode ser usado para indica uma posição em um plano cartesiano. A indicação de um vetor pode ser feita da maneira mostrada na figura ao lado. Os vetores PQ, u e v de mesmo módulo (tamanho ou intensidade), mesma direção e mesmo sentido logo os 3 vetores são iguais. PQ = u = v O módulo de um vetor representa o comprimento do vetor e é indica entre 2 barras Dois que possuem o mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos são chamado de vetores opostos e neste caso pode usar a seguinte notação: a b Significa os vetores são opostos. Exercício Resolvido - 1 Um automóvel desloca-se seguindo o caminho ABC indicado na figura. Determinar a distância efetivamente percorrida pelo automóvel e o quanto ele afastou-se do ponto A. a² b² c² a ² 30² 40² a 2500 a 50cm Exercício Resolvido - 2 Na figura abaixo estão representados três vetores em escala.

4 a) Calcule o módulo do vetor a. O vetor a ocupa na direção horizontal 7 segmentos de 5cm cada portanto seu módulo (comprimento total de seu segmento de reta) é de 35cm, em notação vetorial podem escrever: a 35cm b) Calcule o modulo do vetor b O vetor b tem direção inclinada e ocupa na horizontal 6 segmentos de 5cm e na vertical 8 segmentos de 5cm portanto seu módulo (comprimento total de seu segmento de reta) é calculado utilizado o teorema de Pitágoras. Seu módulo equivale a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de 30cm e 40cm. b 30² 40² b 2500 b 50cm Portanto a módulo do vetor b é de 50cm c) Calcule o modulo do vetor c O vetor c ocupa na direção direção vertical 8 segmentos de 5cm cada portanto seu módulo (comprimento total de seu segmento de reta) é de 40cm, em notação vetorial podem escrever: a 40 cm Exercícios propostos

5 1. É dado o ABC. Resolva a) Calcule o valor da hipotenusa c b) Calcule o seno de e. c) Calcule o co- seno de e. d) Calcule a tangente de e. 2. Determinar a distância entre os pontos A e B, conhecidas as distancias AC = 2 cm e BC = 7 cm e o ângulo ACB = Quando dois vetores são iguais? a) Tem a mesma direção e sentido. b) Tem a mesma carga. c) Tem a mesma direção, sentido e comprimento. d) Tem comprimento e sentidos iguais. e) Tem o mesmo valor escalar. 4. Leia o texto abaixo. O jardim de caminhos que se bifurcam. (...) Uma lâmpada aclarava a plataforma, mas os rostos dos meninos ficavam na sombra. Um menino perguntou: O senhor vai à casa do Dr. Stephen Abert? Sem aguadar resposta outro disse: A casa fica longe daqui, mas o senhor não se perderá se tomar esse caminho à esquerda e se em cada encruzilhada do caminho dobrar à esquerda.

6 (Adaptado. Borges, J. Ficcções. Rio de Janeiro: p.96.) Quanto à cena descrita acima, considere que: I - o sol nasce à direita dos meninos: II - o caminho fica à esquerda dos meninos; III - o senhor seguiu o conselho dos meninos, tendo encontrado duas encruzilhadas até a casa; IV - As duas encruzilhadas são perpendiculares (formam um ângulo de 90º) Concluiu-se que o senhor caminhou, respectivamente, nos sentidos: a) oeste, sul e leste. b) leste, norte e oeste. c) oeste, norte e leste. d) leste, norte e oeste. e) leste, norte e sul. Sugestão : O Sol nasce no leste. Referência bibliográfica: Bibliografia básica e complementar da disciplina