Revisão, apêndice A Streeter: SISTEMAS DE FORÇAS, MOMENTOS, CENTROS DE GRAVIDADE

Transcrição

1 UNVERSDDE FEDERL D BH ESCOL POLTÉCNC DEPRTMENTO DE ENGENHR QUÍMC ENG 008 Fenômenos de Transporte Profª Fátima Lopes FORÇS HDRÁULCS SOBRE SUPERFÍCES SUBMERSS Revisão, apêndice Streeter: SSTEMS DE FORÇS, MOMENTOS, CENTROS DE GRVDDE Dois sistemas de forças são equivalentes se apresentarem o mesmo valor para a soma das forças em qualquer direção e o mesmo valor para a soma de momentos em relação a qualquer eio. O mais simples sistema de forças equivalente é chamado resultante do sistema de forças. Quando o corpo livre está em repouso ou move-se segundo uma linha reta com velocidade uniforme, diz-se que ele está em equilíbrio. Pela segunda lei do movimento de Newton, já que não há aceleração do corpo livre, a soma dos componentes de todas as forças em qualquer direção deve ser nula, e a soma de todos os momentos em relação a qualquer eio deve ser zero. ação de um fluido sobre qualquer superfície pode ser substituída pelo sistema de forças resultante, que causa movimento eterno ou reação, igual ao provocado pelo sistema de forças distribuídas no fluido. Nessas condições o fluido pode ser considerado como tendo sido completamente removido, com a resultante atuando em seu lugar. O momento de uma área, volume, peso ou massa, poder ser determinado de uma maneira análoga à determinação dos momentos de uma força com respeito a um eio. MOMENTOS DE PRMER ORDEM O momento de uma área em relação ao eio, eprime-se por d, com a integração estendida a toda área. O momento de ª ordem é também chamado de momento estático. 06

2 UNVERSDDE FEDERL D BH ESCOL POLTÉCNC DEPRTMENTO DE ENGENHR QUÍMC ENG 008 Fenômenos de Transporte Profª Fátima Lopes Para determinar o momento em relação a um eio paralelo, por eemplo, k, a epressão torna-se ( k) d d k () a qual evidencia que eistirá sempre um eio paralelo k, em relação ao qual o momento vale zero. Esse eio é chamado central e é determinado igualando a zero a epressão () e tirando o valor de : ( k) d d k d d O outro eio central paralelo ao eio pode ser determinado: d O ponto de intersecção dos eios centrais é chamado centro de gravidade ou centróide da área. O momento de ª ordem é nulo em relação a qualquer eio passando pelo centro de gravidade (isto pode ser mostrado através de uma rotação de eios). Quando uma área tem um eio de simetria, tal eio será central, já que os momentos de elementos de área simetricamente situados de cada lado do eio são iguais em módulo e de sinais contrários. Quando a posição do centro de gravidade é conhecida, o momento de ª ordem em relação a qualquer eio pode ser obtido sem integração: z d h z c c O eio central de um triângulo, paralelo a um dos lados, situa-se a um terço da altura desde esse lado. 07

3 UNVERSDDE FEDERL D BH ESCOL POLTÉCNC DEPRTMENTO DE ENGENHR QUÍMC ENG 008 Fenômenos de Transporte Profª Fátima Lopes Tomando-se o momento de ª ordem de um volume υ em relação a um plano z, a distância até o seu centro de gravidade é analogamente determinada, d υ υ O centro de massa de um corpo é determinado pelo mesmo procedimento: dm elemento de massa M massa total do corpo m M υ Para finalidades práticas de engenharia, o centro de gravidade de um corpo coincide com o seu centro de massa. M d m MOMENTOS DE SEGUND ORDEM O momento de segunda ordem uma área em relação ao eio é: d (momento de inércia) Chama-se momento de inércia da área e é sempre positivo já que d é sempre considerado positivo. Fazendo a mudança de eio para um eio paralelo e passando pelo centro de gravidade C da área C ( ) d d d + d Uma vez que: d, d, d Então: ou C + C + O momento de inércia de uma área em relação a um eio qualquer é a soma do momento de inércia em relação a um eio paralelo passando pelo centro de gravidade com o produto da área pelo quadrado da distância entre os eios. 08

4 UNVERSDDE FEDERL D BH ESCOL POLTÉCNC DEPRTMENTO DE ENGENHR QUÍMC ENG 008 Fenômenos de Transporte Profª Fátima Lopes PRODUTO DE NÉRC O produto de inércia de uma área, também chamado de momento centrífugo, é epresso por: d, podendo ser positivo ou negativo. Escrevendo as epressões para o produto de inércia centrais paralelos aos eios e obtém-se: em relação aos eios ( ) ( ) d d d d + d Mas d e d Então: + ou + Quando um dos eios é um eio de simetria da área, o produto de inércia é nulo. 09

5 UNVERSDDE FEDERL D BH ESCOL POLTÉCNC DEPRTMENTO DE ENGENHR QUÍMC ENG 008 Fenômenos de Transporte Profª Fátima Lopes OBSERVÇÃO: Efeito de força de contato em um fluido confinado problema estático. Se a pressão eterna for eercida sobre uma parte do contorno de um fluido confinado, essa pressão, uma vez impedido o movimento do fluido, será transmitida através do fluido com a mesma intensidade. O equilíbrio eige que o aumento da pressão no elemento interno tenha correspondência com a pressão aplicada no contorno. Como o elemento pode ser escolhido de comprimento arbitrário e em qualquer posição deve ficar claro que uma pressão p desenvolvida sobre o contorno deve propagar-se pelo fluido. O princípio acima corresponde à ação do elevador hidráulico e do freio hidráulico. Uma pressão desenvolvida pelo pistão C é propagada pelo fluido F F B C B C as áreas Para uma mesma força B C F C, FB será tanto maior quanto maior for a relação entre 0

6 UNVERSDDE FEDERL D BH ESCOL POLTÉCNC DEPRTMENTO DE ENGENHR QUÍMC ENG 008 Fenômenos de Transporte Profª Fátima Lopes PRENS HDRÁULC Seja um tubo em U que apresenta áreas diferentes em cada ramo. O tubo é preenchido com líquido e colocado um pistão em cada um dos lados. plicando-se uma pequena força F no lado de menor área ( ) pode-se deslocar ou sustentar uma força bem maior (dependendo da relação entre as áreas) no lado de maior área ( ) Em (): Em (): F p p F p p F F Pela hidrostática: p p 3 p F F + + γ γ h h for a relação Se h 0 (os pistões estão no mesmo nível) F F Deste modo, para uma mesma força F, a força F será tanto maior quanto maior

7 UNVERSDDE FEDERL D BH ESCOL POLTÉCNC DEPRTMENTO DE ENGENHR QUÍMC ENG 008 Fenômenos de Transporte Profª Fátima Lopes FORÇS EM SUPERFÍCES PLNS distribuição das forças resultantes da ação do fluido, em uma superfície da área finita, pode ser substituída por uma força resultante conveniente, na medida em que estejamos interessados apenas nas reações eternas. Nesta parte será determinada a intensidade e a linha de ação (centro das pressões) da força resultante. Como o fluido é estático, não eistem tensões de cisalhamento, logo as forças que devem atuar são normais à superfície. s superfícies planas podem se apresentar: Horizontais nclinadas SUPERFÍCES HORZONTS Uma superfície plana horizontal, mergulhada em um fluido em repouso estará sujeita a um pressão constante. Consideremos a superfície contida no plano. s forças elementares p d aplicadas em cada d são paralelas e de mesmo sentido, de forma que a soma escalar das mesmas dará a intensidade da força resultante. Sua direção será a da normal a superfície e contra a mesma se p for positiva. intensidade da força resultante agindo em um dos lados da superfície será: F R p d p d F R p γ h

8 UNVERSDDE FEDERL D BH ESCOL POLTÉCNC DEPRTMENTO DE ENGENHR QUÍMC ENG 008 Fenômenos de Transporte Profª Fátima Lopes LNH DE ÇÃO linha de ação, ou seja, o ponto da área onde é nulo o momento das forças distribuídas, em relação a um eio qualquer que passa por este ponto. área: dotando o eio arbitrário, com C sendo o centro de gravidade ou centróide da O momento da resultante deverá ser igual ao do sistema de forças distribuídas em relação a um eio qualquer. Em relação ao eio, por eemplo, teremos: p ' p d onde ' a distância do eio à resul tan te Como p é constante p ' p ' d d onde é a distância do eio ao centro de gravidade ou centróide da área. Logo, em uma superfície horizontal sujeita à pressão estática de um fluido, a resultante passará pelo centro de gravidade da mesma. 3

9 UNVERSDDE FEDERL D BH ESCOL POLTÉCNC DEPRTMENTO DE ENGENHR QUÍMC ENG 008 Fenômenos de Transporte Profª Fátima Lopes SUPERFÍCES NCLNDS Na figura que se segue está representada uma superfície plana pelo seu traço B, o com uma inclinação θ em relação à horizontal. Eio? intersecção da superfície livre com o plano que contém a superfície em estudo Eio? pertence ao plano da superfície e tem origem em O na superfície livre. Deste modo o plano será o suporte da superfície inclinada. Objetivo: determinação da intensidade, direção e linha de ação da força resultante devido ao líquido, em um dos lados da superfície. dotando-se como elemento de área uma faia horizontal intensidade da força agindo sobre a mesma será, δ de largura δ δ F p δ γ h δ γ sen θ δ () Como todas as forças elementares são paralelas, a intensidade da força F, que age de um lado da superfície, poderá ser obtida por uma integração sobre toda a área. FR p d γ h d γ senθ d γ senθ γ h p pois d G () (do momento estático) sen θ h (pela figura), a 4

10 UNVERSDDE FEDERL D BH ESCOL POLTÉCNC DEPRTMENTO DE ENGENHR QUÍMC ENG 008 Fenômenos de Transporte Profª Fátima Lopes e p G γ h é a pressão no centróide da área. Logo, FR γ h ou FR p G Ou seja, a intensidade da força que age de um lado de uma superfície submersa num líquido é igual ao produto da área da superfície pela pressão que atua no seu centro de gravidade. Se p G for positiva, a força terá um sentido tal que a superfície seja comprimida e como todas as forças elementares são normais, a resultante também o será. CENTRO DS PRESSÕES linha de ação da força resultante passará por um ponto de coordenadas ( P, P ) chamado centro das pressões. Diferentemente do caso da superfície horizontal, o centro das pressões de uma superfície inclinada ao coincidirá com o seu centro de gravidade. Para determinar o centro das pressões é necessário igualar os momentos P FR e P FR da resultante aos momentos das forças distribuídas em relação aos eios e respectivamente, logo: F p d (3) P R F p d (4) P R sendo agora a área elementar igual a De onde: P P FR F p d p d δ δ R Em muitas aplicações estas equações serão resolvidas de forma mais conveniente por integração gráfica. Para áreas simples poderemos obter fórmulas gerais como segue: De () Então: p F R γ senθ γ senθ d γ senθ (5) 5

11 UNVERSDDE FEDERL D BH ESCOL POLTÉCNC DEPRTMENTO DE ENGENHR QUÍMC ENG 008 Fenômenos de Transporte Profª Fátima Lopes d (6) p Como Então: + (7) p + Quando um dos eios centrais ou for um eio de simetria da superfície, então anula-se e o centro das pressões estará sobre. Como poderá ser positivo ou negativo, o centro das pressões poderá se localizar em qualquer lado da linha. Para determinar p P : γ senθ d γ senθ d (8) p Pelo teorema dos momentos de inércia para eios paralelos: G + (9) Então, substituindo (9) em (8): ou G (0) p + p G G é sempre positivo, logo pressões localizar-se-á sempre abaio do centro de gravidade da superfície. P também o será de forma que o centro das 6