teóricos necessários para se calcular as tensões e as deformações em elementos estruturais de projetos mecânicos.

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1 EME311 Mecânica dos Sólidos Objetivo do Curso: ornecer ao aluno os fundamentos teóricos necessários para se calcular as tensões e as deformações em elementos estruturais de projetos mecânicos. 1-1 EME311 Mecânica dos Sólidos Bibliografia: BEER,..; JOHNSTON, E.R.; Resistência dos Materiais, Ed. Makron Books, 3ª ed. (1995); Notas de aula. 1-2

2 EME311 Mecânica dos Sólidos C.1 - Conceito de Tensão; C.2 - Tensão e Deformação, Carregamento ial; C.3 - Torção em Seções Circulares; C.4 - leão ura; C.5 - Carregamento Transversal; Carregamentos Múltiplos; C.6 - nálise de Tensões no Estado lano; C.7 - Defleão de Vigas por Integração; C.8 - lambagem de Colunas. 1-3 CÍTULO RESISTÊNCI DOS MTERIIS Terceira Edição erdinand. Beer E. Russell Johnston Jr. Conceito de Tensão

3 Capítulo 1 Conceito de Tensão 1.1 Introdução 1.2 orças e Tensões; 1.3 orças iais: Tensões Normais; 1.4 Tensões de Cisalhamento; 1.5 Tensões de Esmagamento; 1.6 Tensões em um plano Oblíquo; 1.7 Tensões para o Caso de Carregamento Qualquer; 1.8 Tensões dmissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de segurança Introdução O principal motivo do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar ao engenheiro os meios que habilitem para a análise e projeto de várias estruturas e elementos de máquinas, sujeitos a diferentes carregamentos. análise da estática e o projeto de uma dada estrutura implicam na determinação das tensões e das deformações. Neste primeiro capítulo será apresentado o conceito de tensão. 1-6

4 1.2 orças e Tensões Seja a estrutura da figura, formada pelas barras B e BC orças e Tensões Diagrama de Corpo Livre Condições para o equilíbrio estático: M C C 0 40kN C ( 0.6m) ( 30kN)( 0.8m) + C 40kN + C 30kN 30kN 0 e C não podem ser determinados destas equações. 1-8

5 1.2 orças e Tensões ara uma estrutura em equilíbrio, cada componente também deve satisfazer as condições de equilíbrio estático. Do diagrama de corpo livre da barra B: M B 0 0 C ( 0.8m) Substituindo na equação de equilíbrio da estrutura + C 30kN 30kN Logo: C C 40 kn 40 kn 30 kn orças e Tensões s barras B e BC estão sujeitas a duas forças que são aplicadas nas etremidades das barras. ara o equilíbrio, as forças dever ser paralelas a um eio entre os pontos de aplicação de força, de igual intensidade, porém de sentidos opostos. Método dos nós: no nó B: 0 4 B B B 5 BC 40kN 30kN 3 BC 50kN 1-10

6 1.2 orças e Tensões estrutura pode suportar com segurança a carga de 30 kn? Da análise da estática: B 40 kn (compressão) BC 50 kn (tração) d BC 20 mm Esses resultados representam um primeiro passo na análise da estrutura, mas não nos levam á conclusão de que as barras vão suportar as cargas com segurança. lém do valor encontrado para o esforço interno, a área da seção transversal da barra e o material com que ela foi construída devem ser considerados orças e Tensões Em qualquer seção da barra BC, a força interna é 50 kn. Esta força representa a resultante de forças elementares que se encontram distribuídas em toda a área da seção transversal da barra BC. d BC 20 mm intensidade dessas forças distribuídas é igual à força por unidade de área. força por unidade de área ou a intensidade das forças distribuídas numa certa seção transversal é chamada de tensão. 1-12

7 1.2 orças e Tensões estrutura pode suportar com segurança a carga de 30 kn? Da análise da estática: B 40 kn (compressão) BC 50 kn (tração) d BC 20 mm Em qualquer seção da barra BC, a força interna é 50 kn com uma tensão de σ BC Supondo que a barra BC é de aço, com uma tensão admissível à tração de σ 165 Ma adm 159 Ma Conclusão: a resistência da barra BC é adequada. σ BC < σ 3-6 N m adm orças e Tensões O projeto de novas estruturas requer a seleção de materiais apropriados e a seleção da dimensão dos componentes necessários. or razões baseados em custo, peso, disponibilidade, etc., optou-se em construir a barra BC de alumínio (σ adm 100 Ma). Qual é uma escolha apropriada para o diâmetro da barra? N σadm m σ a 2 d π 4 adm 6 2 ( ) m d π π 2 2,52 10 m 25,2mm Uma barra de alumínio de 26 mm ou mais no diâmetro é adequado. 1-14

8 1.2 orças e Tensões Observações: Tensão de tração (barras tracionadas) SINL OSITIVO Tensão de compressão (barras comprimidas) SINL NEGTIVO No Sistema Internacional de unidades: força em N (Newton) área em m 2 tensão em N/m 2 ou a (ascal) orças e Tensões Observações: Em unidades inglesas: força em lb (libras) ou quilolibras (kip) área em pol 2 (in 2 ) tensão em libras por polegada quadrada (psi) ou quilolibras por polegada quadrada (ksi) 1 kip 10 3 lb 4,448 kn 1 ksi 10 3 psi 6,895 Ma 1-16

9 1.3 orças iais: Tensões Normais resultante das forças internas para um membro carregado aialmente é normal a uma seção cortada perpendicularmente em relação ao eio do membro. intensidade da força na seção transversal é definida como a tensão normal e representa o valor médio das tensões σ lim σ med 0 tensão normal em um ponto particular pode não ser igual à tensão média, mas a resultante da distribuição de tensão deve ser satisfeita. σ d σ d med orças iais: Tensões Normais Uma distribuição uniforme de tensão em uma seção só é possível se a linha de ação da resultante das forças internas passar pelo centróide da seção (carga centrada). Se um membro sob duas forças é carregado ecentricamente, então a resultante da distribuição de tensões em uma seção deve produzir uma força aial e um momento. distribuição de tensões em membros carregados ecentricamente não pode ser nem uniforme nem simétrica (Cap. 4). 1-18

10 1.4 Tensões de Cisalhamento Duas forças e são aplicadas transversalmente ao membro B. Correspondentes forças internas agem no plano da seção C e são chamadas forças de cisalhamento. resultante da distribuição de forças internas de cisalhamento é definida como cisalhamento da seção e é igual à carga. correspondente tensão de cisalhamento média é, med tensão de cisalhamento ocorre comumente em parafusos, rebites e pinos que unem diversas partes de máquinas e estruturas. distribuição de tensões de cisalhamento não pode ser assumida como uniforme (Cap. 5) Tensões de Cisalhamento Cisalhamento simples Cisalhamento duplo med med

11 1.5 Tensões de Esmagamento arafusos, rebites e pinos criam tensões nos pontos de contato ou superfícies de esmagamento das barras. resultante da distribuição das forças na superfície é igual e oposta à força eercida no pino. intensidade média da tensão de esmagamento é, σ esmag. t d 1-21 Eemplo 1.1 Determinar as tensões nos elementos (barras e coneões) da estrutura mostrada. Da análise da estática: B 40 kn (compressão) BC 50 kn (tração) Deve-se considerar a máima tensão normal em B e BC, e a tensão de cisalhamento e a tensão de esmagamento em cada coneão de pinos. 1-22

12 Eemplo 1.1 Estrutura detalhada: Barra circular BC; Barra B; Etremidade ; Etremidade B; Etremidade C Eemplo 1.1 tensões normais nas barras Barra B Barra BC sob TRÇÃO com uma força aial de 50 kn. na parte circular ( m 2 ), a tensão normal média é is σ BC +159 Ma (tração). nas partes achatadas, a menor área da seção transversal ocorre na linha central do pino, 6 2 ( 20mm )( 40mm 25mm ) m N 167 Ma m sob COMRESSÃO com uma força aial de 40 kn σ BC área ( 1,510-3 m 2 ), a tensão normal média é σ B 26,7 Ma. Como a barra B está comprimida, as seções transversais da barra de menor área não estão sujeitas a nenhuma tensão de tração. 1-24

13 Eemplo 1.1 tensões de cisalhamento nos pinos Área da seção transversal para os pinos em, B e C, 2 25mm π r π m 2 força no pino C é igual à força eercida pela barra BC (corte simples), N C, med Ma m O pino está em corte duplo, 20kN 40,7 Ma m, med Eemplo 1.1 tensões de cisalhamento nos pinos Divida o pino B em seções para determinar a seção com a maior força de cisalhamento, E G 15kN 25kN (maior) Tensão de cisalhamento média, 25kN 50,9Ma m G B, med

14 Eemplo 1.1 tensões normais de esmagamento ara determinar a tensão de esmagamento no ponto da barra B, nós temos que t 30 mm e d 25 mm, 40kN σ esmag. 53,3Ma td ( 30mm)( 25mm) ara determinar a tensão de esmagamento nas chapas de ligação em, nós temos que t 2(25 mm) 50 mm e d 25 mm, 40kN σ esmag. 32,0Ma td ( 50mm)( 25mm) ou t 25 mm, d 25 mm e (40kN / 2) ( 40kN ) 2 σ esmag. 32,0Ma td ( 25mm)( 25mm) Tensões em um plano Oblíquo orças aiais em membros sob a ação de duas forças resulta somente em tensões normais em um plano de corte perpendicular ao eio do membro. orças transversais em parafusos e pinos resulta em tensões de cisalhamento no plano perpendicular ao eio do parafuso ou ao eio do pino. Mostraremos que forças aiais ou forças transversais podem produzir ao mesmo tempo tensões normais e de cisalhamento em um plano que não é perpendicular ao eio do membro. 1-28

15 1.6 Tensões em um plano Oblíquo Seja passar uma seção na peça que forma um ângulo θ com o plano normal. Das condições de equilíbrio, as forças distribuídas (tensões) no plano devem ser equivalentes à força. Decompondo nas componentes normal () e tangencial (V) para a seção oblíqua, cosθ V senθ s tensões médias normal e de cisalhamento no plano oblíquo são cos θ 2 σ cos θ θ 0 0 cos θ V senθ senθ co s θ θ 0 0 cos θ Tensões em um plano Oblíquo Tensões normal e de cisalhamento em um plano oblíquo σ 2 cos sen cos θ θ θ 0 0 tensão normal máima ocorre quando o plano de referência é perpendicular ao eio da peça (θ 0 o ), σ m 0 tensão de cisalhamento máima ocorre para um plano em + 45 o em relação os eio, o o m sen45 cos 45 2 σ

16 1.7 Tensões para o Caso de Carregamento Qualquer Vamos analisar as tensões em um certo ponto Q no interior do corpo. Um membro sujeito a uma combinação geral de cargas é cortado em dois seguimentos por um plano que passa por Q s componentes de tensões internas podem ser definidas como, σ lim 0 lim 0 V z lim 0 Vz Tensões para o Caso de Carregamento Qualquer Estado de tensões Os componentes de tensões são definidos para os planos de cortes paralelos aos eios, e z. elo equilíbrio, tensões iguais e opostas são eercidas nos planos ocultos. s forças geradas pelas tensões deve satisfazer as condições de equilíbrio: M M z 0 M z 0 Considere o momento em torno do eio z : a a M z ' 0 2( ) 2( ) 2 2 similarmente, e z z z z 1-32

17 1.7 Tensões para o Caso de Carregamento Qualquer Estado de tensões Segue que somente 6 componentes de tensão são necessárias para definir o estado de tensões completo no ponto Q. σ, σ, σ,, e z z z Onde: z z z z Tensões dmissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de segurança máima força necessária que faz romper ou quebrar um corpo de prova é chamada de carga última ou carregamento último Membros estruturais ou máquinas devem ser projetados com segurança para receber um carregamento (carregamento admissível ou carga de utilização ou carga de projeto) menor que a carga última. CS Coeficiente de segurança CS σ σ u adm tensão última tensão admissível atores para a escolha do CS: Incertezas nas propriedades dos materiais; Incertezas no carregamento; Incertezas de análises; Número de ciclos do carregamento; Tipos de falhas; Necessidades de manutenção e efeitos de deterioração; Etc. 1-34

18 Eemplo 1.2 ara a estrutura mostrada na figura, determinar: a)o diâmetro d B da barra de controle B que é de aço com tensão de escoamento σ 600 Ma, usando um coeficiente de segurança CS B 3,3; u b)o diâmetro d C do pino C que é de aço com uma tensão última de cisalhamento 350 Ma, usando um CS ao cisalhamento igual a 2,5; u c) espessura t das chapas de apoio em C que são de aço sabendo que a tensão para esmagamento do aço é σ 300 Ma. adm 1-35 Eemplo 1.3 Os parafusos B, C e D são de aço com tensão última de cisalhamento 300 Ma e têm diâmetros d B 8 mm, d C 12 mm e d D 8 mm. barra de controle B tem diâmetro d B 9 mm, é de aço, com tensão última de tração σ 450 Ma. Usando um CS igual a 3, calcular a maior força que o cilindro hidráulico pode aplicar, de baio para cima, no ponto C. u u 1-36

19 Eemplo 1.4 O elemento inclinado na figura está submetido a uma força de compressão de 3kN. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas definidas por B e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal definido por EDB Eemplo

20 roposto 1.2 junta de topo quadrada aberta é usada para transmitir uma força de 250 kn de uma placa a outra. Determine as componentes da tensão de cisalhamento média e da tensão normal média que essa carga cria na face da solda, da seção B roposto 1.3 junta está submetida a uma força aial de 5 kn. Determine a tensão normal média que age na seção B e BC. Considere que o elemento é liso e tem 50 mm de espessura. 1-40

21 Observações Tipos de apoios mais encontrados em problemas bidimensionais