MECÂNICA GERAL 1. Marcel Merlin dos Santos

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1 MECÂNICA GERAL 1 Marcel Merlin dos Santos

2 TÓPICOS DE HOJE Princípio da transmissibilidade Produto Vetorial Componentes cartesianas Momento de uma força em relação a um ponto Projeção de um vetor sobre um eixo Produto misto de 3 vetores Momento de uma força em relação a um eixo Binários Exercícios

3 PRINCÍPIO DA TRANSMISSIBILIDADE Duas forças, F e F, que agem em pontos diferentes de um corpo rígido têm o mesmo efeito sobre o corpo, se elas tiverem mesmos módulos, direção, sentido e mesma linha de ação. Duas forças nesta direção são equivalentes. F = F

4 PRODUTO VETORIAL O produto vetorial entre dois vetores P e Q é definido como sendo o vetor V, que satisfaz às seguintes condições: 1- A linha de ação de V é perpendicular ao plano que contém P e Q. V=PxQ Q θ P

5 PRODUTO VETORIAL 2- O modulo de V é o produto é o produto dos módulos de P e Q e do seno do ângulo formado por P e Q (θ), ou seja, 3- O sentido de V é tal que uma pessoa colocada na extremidade de observará como sendo anti-horária a rotação que traz o vetor P sobre o vetor Q; Observe que se P e Q não tiverem um ponto de aplicação comum deverão ser colocados, inicialmente,com as origens no mesmo ponto. Logo, P, Q e V formarão um triedro positivo.

6 PRODUTO VETORIAL Da definição, os produtos vetoriais PxQ e QxP são representados por vetores que diferem apenas pelo sentido. Logo: V=PxQ Q θ P

7 PRODUTO VETORIAL Ainda da definição de produto vetorial de dois vetores obtém-se as seguintes relações para os vetores i, j e k. O sinal do produto vetorial de dois vetores unitários pode ser determinado de acordo com a seguinte figura: - i j k i j k +

8 COMPONENTES CARTESIANAS As componentes cartesianas do produto vetorial V de dois vetores P e Q podem ser descritas por: Aplicando a distributiva e resolvendo o produto escalar, é possível obter a seguinte expressão: Logo, as componentes do produto vetorial serão:

9 COMPONENTES CARTESIANAS Como a expressão de V se assemelha a expressão de um determinante, pode-se representar o produto vetorial da seguinte maneira:

10 MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO O momento de uma força F em relação a um ponto O pode ser definido pelo produto vetorial: Onde r é o vetor posição que liga a origem O ao ponto de aplicação A da força F e o ângulo formado por r e F. O módulo do momento da força F em relação a O será:

11 EXERCÍCIO 1 Uma força vertical de 450 N é aplicada à extremidade de uma manivela fixada a um eixo em O. Determinar: a) O momento da força de 450N em relação a O; b) A intensidade da força horizontal aplicada em A que produz o mesmo momento em relação a O; c) A menor força aplicada em A que produz o mesmo momento em relação a O; d) A distância que uma força vertical de 1080 N produza o mesmo momento calculado em A;

12 EXERCÍCIO 2 Uma força de 800 N é aplicada como ilustrado. Determine o momento da força em relação a B. 800N A 60 o 160 mm B 200 mm

13 EXERCÍCIO 3 Uma força de 150 N atual na extremidade de uma alavanca de 0,90 m como mostrado na figura. Determine o momento da força em relação a O. A 20 o 150N 0,90 m O 50 o

14 PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM EIXO A projeção de um vetor P sobre o eixo OL pode ser obtida calculando-se o produto escalar de P com o vetor unitário λ de OL. Temos: y θ y L O λ θ x P x z θ z

15 PRODUTO MISTO DE 3 VETORES O produto misto de três vetores S, P e Q pode ser definido como sendo o escalar S (P Q), ou seja Na forma matricial:

16 MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM EIXO O momento de uma força F em relação a um eixo OL pode ser definido como a projeção OC sobre OL do momento Mo da força F, isto é, como o produto misto dos vetores unitário λ, posição r e força F. z O y λ r L A F x

17 EXERCÍCIO 4 Determine o momento em relação a z.

18 EXERCÍCIO 5 Uma força F={8i-1j+1k} lb é aplicada à alavanca de chave mostrada na figura. Determine a componente do momento dessa força em relação ao eixo z, que efetivamente desaperta o parafuso.

19 EXERCÍCIO 6 A engrenagem cônica mostrada na figura está sujeira a uma força F causada pelo contato com outra engrenagem. Determine o momento dessa força em relação ao eixo y da engrenagem.

20 EXERCÍCIO 7 O patim de esferas é constituído de duas rodas esféricas em linha, no lugar de rodas convencionais. Durante a patinação as duas forças sobre suas rodas consistem em uma força normal de 78 lb e uma força de atrito de 13 lb. Determine o momento dessas forças em relação ao eixo AB da roda.

21 EXERCÍCIO 8 Um pequeno barco pende de dois suportes, um dos quais é mostrado na figura. Sabe-se que o momento, em relação a z, da força resultante R A aplicada no ponto A do suporte não deve exceder o valor de 271 N.m, em valor absoluto. Determine o maior valor possível da força de tração no cabo ABAD quando x=1,46m. Resposta: R A =196N

22 BINÁRIOS Duas forças que têm mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário. O momento de um binário é independente do ponto em relação ao qual é calculado, ele é um vetor M perpendicular ao plano binário e seu módulo é igual ao produto do valor de F do módulo comum das forças do binário pela distância d entre suas linhas de ação. M F d F

23 BINÁRIOS Dois binários que têm o mesmo momento são equivalentes. A soma de dois binários é um binário e o momento M do binário resultante é a soma vetorial dos momentos M 1 e M 2 de dois binários originais. Em consequência, um binário pode ser representado por um vetor, denominado vetor binário, igual em módulo, direção e sentido ao momento M do binário. Um vetor binário é um vetor livre que pode ser aplicado à origem O, se conveniente, e cujas componentes cartesianas podem ser calculadas. y y y y z O = M=Fd = M = -F d F x O x O x O z z z M z M y M x x

24 EXERCÍCIO 9 Substitua o binário e a força ilustrada por uma única força, equivalente, aplicada à alavanca. Determinar a distância do eixo ao ponto de aplicação dessa força equivalente.