RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II MOMENTO DE INÉRCIA

Transcrição

1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II MOMENTO DE INÉRCIA Prof. Dr. Daniel Caetano

2 Objetivos Apresentar os conceitos: Momento de inércia Momento polar de inércia Produto de Inércia Eios Principais de Inércia Calcular propriedades geométricas com relação a quaisquer eios Determinar os eios principais e calcular os momentos principais de inércia

3 Material de Estudo Material Notas de Aula Apresentação Material Didático Resistência dos Materiais (Hibbeler) Acesso ao Material (Resistência dos Materiais II - Aula 2) (Resistência dos Materiais II - Aula 2) Resistência dos Materiais (Beer, Johnston, Dewolf), páginas 728 a 732 Biblioteca Virtual, 5ª edição: páginas 613 a 620, 7ª edição: páginas páginas 570 a 576.

4 RELEMBRANDO: A FORMA DÁ O TOM

5 Características das Figuras Planas Perímetro Área Momento Estático cálculo do centroide Momento de Inércia... Mas antes, vamos relembrar um pouco!

6 Momento Estático Cálculo do Momento Estático S = A da S = A da

7 Momentos Estáticos b h b S = b h2 2 S = h b2 2 h S = b h2 6 S = h b2 6 r S = π r 3 S = 0

8 Distância ao Centro de Gravidade b h b = g = h 2 = g = b 2 h = g = h 3 = g = b 3 r = g = r = g = 0

9 Distância ao Centro de Gravidade r = g = 4 r 3 π = g = 0 r = g = 4 r 3 π = g = 4 r 3 π

10 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

11 MOMENTO DE INÉRCIA

12 Momento de Inércia Momento Estático (ou de 1ª Ordem) S = A d Mede ação da distribuição de massa de um corpo Momento de Inércia (ou de 2ª Ordem) Mede a inércia de um corpo ao giro Resistência a ser colocado em movimento de giro Massa Momento de Inércia I = A d 2

13 Momento de Inércia Difícil mover por causa da inércia...

14 Momento de Inércia Diferença no giro pelo Momento de Inércia

15 Momento de Inércia Cálculo do Momento Retangular de Inércia I = A 2 da I = A 2 da Sempre positivos! Unidade I = [L 4 ]

16 Momento de Inércia Eemplo b h da d I = A 2 da h = 2 b d 0 = b h 3 3

17 Momento de Inércia Se houvesse duas áreas, resultado igual b h A1 A2 I = A1 2 da + 2 da A2 h = 2 b 2 d 0 h + 2 b 2 d 0 = = b h3 6 + b h3 6 = b h3 3

18 Momento de Inércia Outro Eemplo h da b I = A 2 da = b h3 12

19 Momento de Inércia E nesse outro caso? b1 b2 h A1 A2 I = A1 2 da + 2 da A2 = b1 h3 3 + b2 h3 12

20 EIXO CENTRAL DE INÉRCIA

21 Eio Central de Inércia Eio Central de Inércia Passa pelo centroide do corpo Eemplo b h/2 da d h/2 I = A 2 da h/2 = 2 b d h/2 = b h3 12

22 Eio Central de Inércia Eio Central de Inércia Passa pelo centroide do corpo Eemplo O eio central, dentre os paralelos a ele, é o eio de menor inércia b h/2 da d h/2 I = A 2 da h/2 = 2 b d h/2 = b h3 12

23 MOMENTO POLAR DE INÉRCIA

24 Momento Polar de Inércia Cálculo do Momento Polar de Inércia J O = A ρ 2 da Inércia relativa a um ponto Importante nas torções Sempre positivo! Unidade J = [L 4 ]

25 Momento de Inércia Eemplo da Vamos mudar o ponto de vista... ρ O J O = A ρ 2 da

26 Momento de Inércia Eemplo Área da da da = P.dρ O ρ r dρ J O = r ρ 2 da 0

27 Momento de Inércia Eemplo Área da da da = P.dρ O ρ r dρ J O = r ρ 2 da 0 Perímetro P = 2 π ρ = ρ 2 P. dρ r 0

28 Momento de Inércia Eemplo Área da da da = P.dρ ρ dρ O r Perímetro P = 2 π ρ J O = r ρ 2 da 0 r = ρ 2 2 π ρ dρ 0 = π r4 2

29 Momento Polar de Inércia Relação com Momento de Inércia ρ O ρ 2 = J O = A ρ 2 da

30 Momento Polar de Inércia Relação com Momento de Inércia ρ O ρ 2 = J O = A ρ 2 da J O = A ( ) da

31 Momento Polar de Inércia Relação com Momento de Inércia J O = A ( ) da J O = A 2 da + 2 da A J O = I + I

32 TRANSLAÇÃO DE EIXO NO MOMENTO DE INÉRCIA

33 Translação de Eios Momento de Inércia (I conhecido) b h d I = A 2 da

34 Translação de Eios Momento de Inércia (I conhecido) b h d I = A ( + d) 2 da

35 Translação de Eios Momento de Inércia (I conhecido) I = A ( + d) 2 da I = A 2 da + 2 d da A + d 2 da A I = I + 2 d S + d 2 A Se era o eio que passa pelo centróide... I = I + A d 2

36 Translação de Eios Analogamente, para e passando pelo centroide I = I + A d 2 I = I + A d 2 Como I e I eios centrais, d positivo E também... se O é o centroide... J O = J O + A d 2

37 EXERCÍCIO

38 Eercício Calcular I ,5

39 Eercício Calcular I - medidas em metros 7 6 A2 A1 4 4 A3 5 1,5 I = I A1 + I A2 + I A3 I = b1 h13 + b2 h b2 h2 d 2 I = 1, , b3 h33 3 = m 4

40 PAUSA PARA O CAFÉ!

41 PRODUTO DE INÉRCIA

42 Produto de Inércia Se esses são momentos de inércia... I = I = O que seria isso? I = A A A 2 da 2 da da

43 Produto de Inércia Produto de Inércia: será usado depois I = da A Pode ser positivo ou negativo [I ] = m 4 I < 0 I > 0 I > 0 I < 0

44 Produto de Inércia Produto de Inércia: será usado depois I = da A Pode ser positivo ou negativo [I ] = m 4 I < 0 I > 0 Quando um dos eios é de simetria, o produto de inércia será sempre ZERO! I > 0 I < 0

45 TRANSLAÇÃO DE EIXO NO PRODUTO DE INÉRCIA

46 Translação de Eios Pode-se demonstrar que se os eios passam pelo centroide, isso é válido... I = I + A d 2 I = I + A d 2 Da mesma forma deduz-se que... I = I + A d d Referência : (d,d) coordenada de Sinal!

47 Eercício Calcular I 250mm 400mm 100mm

48 Eercício Y Calcular I A 1 X 250mm A2 A 3 400mm I A2 = 0 I A1 = I A1 +A1 d d 100mm = (-250) 200 = -1, mm 4 I A3 = I A3 +A3 d d = (-200) = -1, mm 4

49 Eercício Y Calcular I A 1 X 250mm A2 A 3 400mm 100mm I = I A1 +I A2 +I A3 = = 0-1, , = -3, mm 4

50 ROTAÇÃO DE EIXOS DE INÉRCIA

51 Rotação de Eios Conhecidos I, I e I Como calcular I, I e I? da I = A 2 da θ I = A 2 da =.cos θ +.sen θ =.cos θ -.sen θ Realizando a integral de I e I...

52 Rotação de Eios Relações: I = I + I 2 + I I 2 da θ cos 2θ I sin 2θ I = I + I 2 I I 2 cos 2θ + I sin 2θ I = I I 2 J o permanece o mesmo! sin 2θ + I cos 2θ Por quê?

53 ENCONTRANDO EIXOS DE MAIOR E MENOR INÉRCIA

54 Eios de Maior e Menor Inércia Maior momento de inércia: maior resistência Máimo I, máima resistência à fleão

55 Eios de Maior e Menor Inércia Para um dado centro de inércia O......eistem infinitos pares de eios Um deles: máimo e mínimo momentos I e I O

56 Eios de Maior e Menor Inércia Para um dado centro de inércia O......eistem infinitos pares de eios Um deles: máimo e mínimo momentos I e I Em geral: considera-se o O no centróide O

57 Eios de Maior e Menor Inércia Um desses pares: momento máimo mínimo Como encontrá-los? Pelo ângulo de rotação! Qual ângulo que leva ao momento máimo? Temos uma função que leva θ em I : I = I + I 2 + I I 2 cos 2θ I sin 2θ Basta derivar e igualar a zero: di /dθ = 0

58 Eios de Maior e Menor Inércia Resolvendo a derivada di /dθ = 0 I = I + I 2 + I I 2 cos 2θ I sin 2θ Chega-se à seguinte equação: tan 2θ p = 2 I I I

59 Eios de Maior e Menor Inércia Essa equação: Tem duas raizes: I ma/min = I + I 2 tan 2θ p = 2 I I I ± I + I I 2 Momentos Principais... Eios Principais

60 Eios Principais e Momentos Principais E o ângulo pode ser calculado por: θ p = atan 2 I I I 2 Figura simétrica? Eios no centroide? I = 0! O que acontece com o θ p? Nesse caso, eios principais eios centrais...

61 Eios Principais e Momentos Principais E o ângulo pode ser calculado por: θ p = atan 2 I I I 2 Se figura é simétrica e eios Figura simétrica? Eios no centroide? I = 0! cruzam no centroide I = 0! O que acontece com o θ p? Nesse caso, Nesse caso, eios principais eios centrais... eios principais eios centrais!

62 EXERCÍCIO

63 Eercício Entrega Individual Calcule o I, o I e o I no centróide Verifique se esses já são os eios principais Se não forem, calcule-os ,9 4,1 2

64 PARA TREINAR

65 Para Treinar em Casa Hibbeler (Bib. Virtual) 5ª Pág ª Pág. 578 e 579 Mínimos: Eercícios A.2 a A.6 (5ª A.3 a A.6) Eercício A.11 (5ª A.10)

66 CONCLUSÕES

67 Resumo Momento de Inércia e Momento Polar de Inércia Produto de Inércia Eios Centrais de Inércia Translação e Rotação de Eios Eios Principais de Inércia Eercitar: Eercícios Hibbeler / Mat. Didático Onde entra a resistência? Vamos começar pelos esforços aiais Tração e Compressão

68 PERGUNTAS?