VETORES + O - vetor V 2 vetor posição do ponto P 2

Transcrição

1 Objetivo VETORES Estudar propriedades de vetores e a obtenção de resultantes. Introdução Para localizar um ponto P em uma reta, três elementos são necessários: uma referência R, escolhida arbitrariamente, um número, que indica a distância de P até a referência R e uma convenção de sinais, que indica a posição relativa de P (se está à direita ou à esquerda de R, acima ou abaio de R, etc.). Este conjunto de elementos constitui uma coordenada. P 1 - R + 4 cm 3 cm P 2 + R - (direita e esquerda) Figura 1-a (acima e abaio) Figura 2-a A coordenada de P 1 em relação a R é -4cm (Figura 1-a). A coordenada de P 2 em relação a R é +3cm (Figura 2-a). A coordenada de R em relação a R é zero, porque a distância de R em relação a R é zero. É costume chamar a referência R de origem O das coordenadas. Chama-se eio à reta com a origem O e a convenção de sinais definida sobre ela. Podemos indicar a posição de um ponto P por meio de uma seta sobre o eio, a qual parte da origem e vai até P. Esta seta representa o vetor posição do ponto P. Por convenção, representaremos um vetor por uma letra em negrito. P 2 P 1 V 1 - O + V 2 + O - vetor V 1 vetor posição do ponto P 1 Figura 1-b vetor V 2 vetor posição do ponto P 2 Figura 2-b Nas figuras acima, o vetor está desenhado, mas é claro que seria muito conveniente ter uma forma mais prática de tratar vetores, que não eigisse que os desenhássemos

2 sempre em todos os nossos trabalhos. Vamos então introduzir um tratamento analítico, que dispensa a forma gráfica de lidar com vetores. Para isso, introduzimos um vetor unitário: ele tem módulo um (1) e serve para indicar a direção do eio e seu sentido positivo. O î O ĵ Unitário i Figura 1-c Unitário j Figura 2-c Para a Figura 1-c, o vetor unitário indica que a direção do eio é horizontal e o sentido positivo é da esquerda para a direita. Vamos chamar de i este vetor unitário. Agora, o vetor posição de P 1 na Figura 1-b pode ser escrito analiticamente como V 1 = -4i (cm). Esta epressão quer dizer que P 1 está sobre o eio horizontal, 4cm à esquerda da origem. Um vetor tem direção, sentido e módulo (sempre positivo). V 1 tem direção horizontal, sentido negativo e módulo 4 (cm). Analogamente, para a Figura 2-c, o vetor unitário indica que a direção do eio é vertical, e o sentido positivo é de baio para cima. Vamos chamar de j este vetor unitário. Agora, o vetor posição de P 2 na Figura 2-b pode ser escrito analiticamente como V 2 = 3j (cm). Esta epressão quer dizer que P 2 está sobre o eio vertical, 3cm acima da origem. Um vetor tem direção, sentido e módulo (sempre positivo). V 2 tem direção vertical, sentido positivo e módulo 3 (cm). Na representação gráfica, o módulo do vetor deve ser proporcional ao comprimento da seta. Vemos agora porque i e j devem ser unitários, isto é, devem ter módulo 1: é para que V 1 = -4i (cm) tenha módulo 4 (cm) e V 2 = 3j (cm) tenha módulo 3 (cm). Como a multiplicação de um número por 1 resulta no mesmo número, assim fica mais simples. Do contrário, teríamos que levar em conta o valor do módulo de i e j para obter o módulo de V 1 e de V 2. Para localizar um ponto em uma superfície, uma única coordenada não é suficiente. Vamos então utilizar o que já conhecemos sobre as coordenadas em uma reta e traçar na superfície duas retas que se cruzam perpendicularmente. Escolhemos como origem O o ponto em que as retas se cruzam, porque assim temos a mesma origem para as duas retas. Para cada reta escolhemos uma convenção de sinais, que indica a posição relativa a O. Temos assim dois eios. Cada um recebe um nome, para que possamos distinguilos; é costume chamar a um deles de eio X e ao outro de eio Y. Para localizar um ponto P que está sobre um destes eios medimos a distância de P até O e utilizamos a convenção de sinais adotada.

3 y P 2 V 2 P 1 V 1 Figura 3 O ponto P 1 tem coordenada = -4cm (isto é, coordenada sobre o eio X igual a - 4cm) e o ponto P 2 tem coordenada y = 3cm (isto é, coordenada sobre o eio Y igual a 3cm). Portanto, os vetores posição dos pontos P 1 e P 2 são, respectivamente V 1 = -4i (cm) e V 2 = 3j (cm). Como representar um ponto P que está na superfície, mas não está sobre nenhum dos dois eios? y P V Figura 4 Para isso, vamos agora considerar a regra do paralelogramo para a soma de dois vetores. Trata-se de uma construção gráfica em que desenhamos os dois vetores com a mesma origem e construímos o paralelogramo que tem os dois vetores como seus lados. b a + b a Regra do paralelogramo Figura 5

4 O vetor V = a + b, isto é o vetor que é a soma dos vetores a e b é dado pela seta diagonal que vai da origem até o vértice oposto. Considerando nossos vetores V 1 e V 2 como os vetores a e b da regra do paralelogramo estudada acima, verificamos então que a soma de V 1 e V 2 fornece o vetor V, que é o vetor posição do ponto P, situado sobre a superfície e fora dos eios. y P V V 2 V 1 Figura 6 Assim, usando os unitário i e j, e todos os possíveis pares de coordenadas e y, podemos representar todos os pontos sobre uma superfície. As coordenadas e y são as componentes e y do vetor. Para o vetor V da Figura 6, V (a componente de V) é -4(cm) e V y (a componente y de V) é 3 (cm). As componentes são utilizadas para um tratamento analítico da soma vetorial: se V = V 1 + V 2 então V = V 1 + V 2 e V y = V 1y + V 2y, ou seja, a componente da soma é a soma das componentes. Este resultado vale para a soma de qualquer número de vetores e dispensa o uso de desenhos. Pela Figura 7 verificamos que V, V 1 e V 2 formam um triângulo retângulo. As componentes de V podem então ser facilmente calculadas, a partir da definição das funções trigonométricas. y P V V 1 V 2 θ Figura 7 Como sen θ = V V y (cateto oposto sobre a hipotenusa) então V y = V sen θ.

5 Analogamente, como cos θ = V = V cos θ. V V (cateto adjacente sobre a hipotenusa) então Uma vez que o módulo do vetor corresponde ao tamanho da seta que o representa, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular o módulo de V = V se conhecermos suas componentes: V 2 = V 2 + V y 2. No caso da Figura 7, V = 5 (cm). Portanto, mais uma vez, conhecer as componentes dispensa o uso de desenhos. Por meio das componentes, podemos determinar o ângulo θ que o vetor faz com o eio X: θ = tg -1 V V y (cateto oposto sobre cateto adjacente). Vy 3 No caso da Figura 6, = = 0, 75 θ = 143,1 o V ( 4) Conhecendo as componentes, conhecemos tudo sobre o vetor. y ,1 o Figura 8

6 Bancada Data Turma Nome: Procedimento Eperimental VETORES Parte I - RESULTANTE DE DOIS VETORES 1. Este equipamento é MUITO sensível e já está calibrado e alinhado. O manuseio deve ser muito cuidadoso para a obtenção dos resultados. 2. O equipamento está montado com um dinamômetro (instrumento que serve para medir a intensidade de uma força), duas roldanas e dois fios que passam por elas tendo em suas etremidades massas iguais de 50,0g (Figura 1). Fio2 Fio1 Figura 1 3. Verificar a montagem: sistema em equilíbrio com o nó dos fios coincidindo com o centro da mesa de forças; fio 1 alinhado com o eio X (θ 1 = 0) formando um ângulo de 60º com o fio 2. (Figura 2) Verificar também que o cilindro interno do dinamômetro não toque em suas paredes laterais. Isto ajuda a impedir que o atrito entre estas partes do dinamômetro perturbe as medições.

7 Fio2 eio X Fio1 Figura 2 4. Calcular, no sistema MKS, os módulos das forças F 1 e F 2 (tensão no fio 1 e tensão no fio 2). g = 9,79m/s 2 F 1 = ( ) F 2 = ( ) 5. Anotar o valor do módulo da força F D indicado no dinamômetro. (a menor divisão da escala do dinamômetro corresponde a 0,02N) e o ângulo θ D que ela faz com o eio X (sentido positivo: anti horário). F D = ( ) θ D = 6. Traçar um sistema de eios cartesianos em uma folha de papel milimetrado. Representar os vetores F 1 e F 2 no sistema de eios cartesianos observando os ângulos que eles formam com o eio. Escala: 1N = 10cm. Fazendo as projeções adequadas, obter o valor das componentes diretamente do gráfico. F 1 = ( ) F 1 y = ( ) F 2 = ( ) F 2 y = ( )

8 Como forças são vetores, para calcular a resultante F R de F 1 e F 2, F R = F 1 + F 2, podemos usar o método analítico (soma das componentes) ou o método gráfico (regra do paralelogramo). 7. MÈTODO ANALÍTICO: Usar as componentes obtidas no item 6 para determinar a força resultante F R a) Obter as componentes de F R F R = F 1 + F 2 = + = ( ) F R y = F 1 y + F 2 y = + = ( ) b) Obter o módulo de F R F R = F 1 + F 2 = F + F = ( ) F c) Obter o ângulo que F R faz com o eio X: θ R = tg -1 Ry FR = 8. MÈTODO GRÁFICO: No papel milimetrado, determinar F R, resultante entre F 1 e F 2 pela regra do paralelogramo. Escala: 1N = 10cm a) Obter diretamente do gráfico o módulo de F R F R = F 1 + F 2 = ( ) b) Obter diretamente do gráfico o ângulo que F R faz com o eio X. θ R = Comparar os resultados dos itens 7 e 8. Comentar. 9. Uma vez que o sistema está em equilíbrio, qual deve ser a relação entre F R e F D? 10. Comparar os resultados ( módulo, direção e sentido) obtidos nos itens 7 e 8 para F R com os obtidos no item 5 para F D, e verificar se estão de acordo com a relação teórica obtida no item 9. Comentar.

9 Parte II - RESULTANTE DE TRÊS VETORES Fio3 Fio2 Fio1 Figura 3 1. Cuidadosamente, substituir a montagem de dois fios pela de três fios. As massas suspensas, de acordo com a figura 3, são: m 1 = 50 g ; m 2 = 50 g ; m 3 = 100 g. Verificar que o sistema esteja em equilíbrio com o nó dos fios coincidindo com o centro da mesa de forças; verificar também que o cilindro interno do dinamômetro não toque em suas paredes laterais. Alinhamento de acordo com Figura 4. Girar o transferidor e alinhar o fio 1 com o eio X (θ 1 = 0). Deslocar a segunda roldana até que o fio 2 faça um ângulo θ 12 = 60º com o fio 1. Deslocar a terceira roldana até que o fio 3 faça um ângulo θ 23 = 80º com o fio 2. Fio3 Fio2 eio X Fio1 Figura 4

10 2. Calcular os módulos das forças F 1, F 2 e F 3 (tensões nos fios 1, 2 e 3). F 1 = ( ) F 2 = ( ) F 3 = ( ) 3. Anotar o valor do módulo da força F D indicada no dinamômetro e do ângulo que ela faz com o eio X. F D = ( ) θ D = O método gráfico para a soma de vetores torna-se inconveniente quando cresce o número de vetores a serem somados. Vamos então trabalhar agora apenas com o método analítico. 4. Traçar um sistema de eios cartesianos em uma folha de papel milimetrado. Representar os vetores F 1, F 2 e F 3 no sistema de eios cartesianos observando os ângulos que eles formam com o eio. Fazendo as projeções adequadas, obter as componentes. F 1 = ( ) F 1 y = ( ) F 2 = ( ) F 2 y = ( ) F 3 = ( ) F 3 y = ( ) 5. Usar as componentes para determinar a força resultante F R = F 1 + F 2 + F 3 a) Obter as componentes de F R F R = ( ) F RY = ( ) b) Obter o módulo de F R F R = F 1 + F 2 + F 3 = F + F = ( ) F c) Obter o ângulo que F R faz com o eio X : θ R = tg -1 Ry FR = 6. Uma vez que o sistema está em equilíbrio, qual deve ser a relação entre F R e F D? 7.Comparar os resultados obtidos no item 5 para F R com os obtidos no item 3 para F D e verificar se estão de acordo com a relação teórica obtida no item 6. Comentar.