Vetores. Prof. Marco Simões

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Lucas Farias Teixeira
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1 Vetores Prof. Marco Simões

2 Tipos de grandezas Grandezas escalares São definidas por um único valor, ou módulo Exemplos: massa, temperatura, pressão, densidade, carga elétrica, etc Grandezas vetoriais Necessitam, além do módulo, de direção e sentido Exemplos: força, velocidade, peso, campo elétrico, etc Direção: a reta de suporte do vetor Exemplo: o corpo deslocou-se na vertical Sentido: indicado pela seta Exemplo: o corpo deslocou-se verticalmente para cima

3 Representação geométrica de um vetor Sentido

4 Representação: módulo O módulo (tamanho) do vetor corresponde à intensidade da grandeza que o vetor representa. Por exemplo, seguem dois vetores indicando forças, um de 15 N e outro de 11,2 N.

5 Representação: direção e sentido Retangular: utiliza os componentes do vetor. Os componentes de um vetor são sua projeção nos eixos cartesianos vezes o respectivo versor Versor é um vetor unitário associado a cada eixo Ry=20 i Rx=25

6 Representação: direção e sentido Polar: utiliza o módulo do vetor seguido do ângulo que ele forma com o eixo x:!" R = 32N;Θ = 38,7 0

7 Exemplos nos quadrantes (1 o quadrante) R = 6 ı + 2 ȷ N R = 6,32 N; Θ = 18,43

8 Exemplos nos quadrantes (2 o quadrante) R = 6 ı + 2 ȷ N R = 6,32 N; Θ = 161,57

9 Exemplo nos quadrantes (3o quadrante) R = 6 ı 2 ȷ N R = 6,32 N; Θ = 198,43

10 Exemplo nos quadrantes (4o quadrante)

11 Soma e subtração de vetores Geométrica Algébrica Componentes unitários Lei dos cossenos

12 Exemplo Fazer a soma (v+u) e a subtração (v-u)

13 Soma Sequência Polígono

14 Subtração Fazer v+(-u) Polígono

15 Exemplo

16 Exemplo Indique a relação correta entre os vetores abaixo: A C B D a. A+B+C+D = 0 b. A+B=C+D c. A+C=B+D d. A-B=C-D e. A+B+C=D

17 Soma de vetores por componentes Somar os seguintes vetores Vb = 12;θ = 138,4 Va = 11,7;θ = 31

18 Soma utilizando componentes Decomposição do vetor Va

19 Soma utilizando componentes Decomposição do vetor Vb Vb = 12; θ = 138,4 Vbx = 12 < cos 138,4 = 9 Vby = 12 < sen 138,4 = 8 Ou 180 θ=41,6 θ=138,4 Vbx = 12 < cos 41,6 = 9 Vby = 12 < sen 41,6 = 8 O sinal vem da interpretação gráfica do vetor R = 9 ı + 8 ȷ

20 Soma utilizando componentes Soma das componentes

21 Exercícios Dados os vetores na forma polar, expressar na forma retangular: Forma polar Forma retangular V1=15,3;Θ=11,3 V2=11,7;Θ=110 V3=12,7;Θ=45 V4=19,7;Θ=-59,5 V5=13,0;Θ=-147,5

22 Exercícios Realizar as seguintes operações Operação Resultado, forma retangular Resultado, forma polar V1+V2 V3+V4+V5 V5-V3 V2+V4-V1 V1+V2-V3+V4-V5 V2-V4+V1 V1+V2-V3+V4

23 Exercícios Preenchaas célulasvazias: Resultante Va Vb Vc Va=14i+7j Vb=5i-14j Vb=5i-14j V=-3i+13j Vb=-17i+9j Vc=5i-14j V=9i+16j Va=14j Vc=23i-13j V=16i+3j Va=-13i+12j Vb=8i+6j

24 Soma vetorial usando a lei dos cossenos Quando necessitamos somar dois vetores, conhecendo o módulo de cada um e o ângulo que eles formam entre si, podemos usar a Lei dos Cossenos. Essa lei diz que, para qualquer triângulo, valem as seguintes regras:

25 Soma vetorial usando a lei dos cossenos Suponhamos que dois vetores u=6,3 e v=5,0, formando um ângulo α=110 entre si devam ser somados (para o cálculo da resultante):

26 Soma vetorial usando a lei dos cossenos A resultante pode ser calculada por movermos um dos vetores paralelamente, de modo a formar um triângulo. No exemplo, o vetor de módulo 5,0 foi movido, resultando num triângulo com ângulo interno β=70 β = 180 α

27 Soma vetorial usando a lei dos cossenos Aplicando a lei dos cossenos, teremos R K = 5,0 K + 6,3 K 2 < 5,0 < 6,3 < cos β R K = 5,0 K + 6,3 K 2 < 5,0 < 6,3 < cos 180 α R K = 5,0 K + 6,3 K 2 < 5,0 < 6,3 < cos R K = 5,0 K + 6,3 K 2 < 5,0 < 6,3 < cos 70 R = 6,6

Soma vetorial usando a lei dos cossenos É mais conveniente utilizar diretamente o ângulo que os vetores formam entre si, neste exemplo α=110 Podemos

28 Soma vetorial usando a lei dos cossenos É mais conveniente utilizar diretamente o ângulo que os vetores formam entre si, neste exemplo α=110 Podemos lembrar que, para qualquer ângulo será verdade que: 180 θ θ cos θ = cos 180 θ Ou cos 180 θ = cos θ cos 45 = cos cos 45 = cos 135 0,707 = ( 0,707)

29 Soma vetorial usando a lei dos cossenos Então, ao invés de: R K = 5,0 K + 6,3 K 2 < 4,0 < cos Podemos escrever: R K = 5,0 K + 6,3 K 2 < 4,0 < cos 110 R K = 5,0 K + 6,3 K + 2 < 4,0 < cos 110

30 Soma vetorial usando a lei dos cossenos Generalizando, na soma de dois vetores, quando usamos o ângulo entre os vetores (α), fazemos: R K = u K + v K + 2uv < cos α No exemplo: R 2 = u 2 + v 2 +2uvcosα R 2 = , ,3 cos110 R = 6,6 R

31 Soma vetorial usando a lei dos cossenos O ângulo da resultante poderá ser calculado em relação a um dos vetores dados com a lei dos senos:

32 Soma vetorial usando a lei dos cossenos Como já sabemos o valor de R, fazemos: 6,6 sen 70 = 5,0 sen γ γ 5,0 < sen 70 sen γ = 6,6 sen γ = 0,712 γ = 45,4

Exemplo Dados: u = 17,5; v = 11,3, α = 104.

180 α α 18,4 sen (180 104 ) = 17,5 sen β 18,4 sen 76 = 17,5

33 Exemplo Dados: u = 17,5; v = 11,3, α = 104. Calcular o módulo da resultante e o ângulo formado por ela com v R K = u K + v K + 2uv < cos α u R K = 17,5 K + 11,3 K + 2 < 17,5 < 11,3 < cos 104 R R = 18,4 α R sen (180 α) = u sen β β v 180 α α 18,4 sen ( ) = 17,5 sen β 18,4 sen 76 = 17,5 sen β sen β < 18,4 = 17,5 < sen 76 sen β = 17,5 < sen 76 18,4 sen β = 0,922 β = 67,3

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