Lista 1 - Física /1. 1. Para os vetores abaixo, calcule a b, a b, a, b, a b, e o ângulo θ entre a e b.

Transcrição

1 Lista 1 - Física /1 1. Para os vetores abaixo, calcule a b, a b, a, b, a b, e o ângulo θ entre a e b. Lembramos que o produto escalar entre dois vetores é definido como a b = abcosθ, (1) em que θ é o ângulo entre os dois vetores, e seus módulos são a = a e b = b. Assim, para dois vetores ortogonais temos o produto escalar nulo. Com essa definição, temos para os vetores da base cartesiana ortogonal, î, ĵ, ˆk, nas direções x,y,z, î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = (1)(1)(cos0 o ) = 1, î ĵ = ĵ ˆk = ˆk î = (1)(1)(cos90o ) = 0. Esse resultado é uma consequência dos vetores unitários î, ĵ, ˆk formarem uma base ortogonal. Com esse resultado podemos calcular o produto escalar de dois vetores se temos suas componentes na base î, ĵ, ˆk, a b = (a x î+a y ĵ+a zˆk) (bx î+b y ĵ+b zˆk) = ax b x +a y b y +a z b z. (2) Essa expressão nos permite calcular o módulo de um vetor com suas componentes. Temos, usando a definição (1), Por outro lado, usando (2), a a = aacos0 o = a 2, logo podemos escrever, a a = a 2 x +a 2 y +a 2 z, a = a 2 x +a 2 y +a 2 z. (3) Vamos deixar o produto vetorial para mais tarde. Por enquanto vamos estudar as propriedades básicas dos vetores e o produto escalar. (a) a = 4ĵ+5ˆk, b = 3ˆk (-15, 12î, 6,4, 3, 12, 141,34o ). O produto escalar é a b = a x b x +a y b y +a z b z = ( 3) = 15, 1

2 e o produto vetorial é a b=(4ĵ+5ˆk) ( 3ˆk) = (4ĵ) ( 3ˆk)+(5ˆk) ( 3ˆk), = 12ĵ ˆk 15ˆk ˆk = 12î 15 0 = 12î. Os módulos dos vetores são a = a 2 x +a 2 y +a 2 z = = 41 = 6,4, b = b 2 x +b 2 y +b 2 z = ( 3) 2 = 9 = 3. O módulo do produto vetorial é a b = ( 12) = 12. Para calcularmos o ângulo entre a e b usamos a relação a b = abcosθ, de onde temos cosθ = a b ab = 15 (6,4)(3) = 0,78, θ = arccos( 0,78) = 141,34 o. (b) a = 2î+6ĵ, b = 5î+ ˆk (-10, 6î 2ĵ+30ˆk, 6,32, 5,1, 30,66, 108,06 o ). (c) a = î ĵ+2ˆk, b = 3ĵ+ ˆk (-1, 7î 1ĵ+3ˆk, 2,44, 3,16, 7,68, 97,42 o ). (d) a = ĵ ˆk, b = 2î (0, 2ĵ 2ˆk, 1,41, 2, 2,83, 90 o ). (e) a = 3ĵ 2ˆk, b = 2î+ ˆk (-2, 3î 4ĵ 6ˆk, 3,6, 2,24, 7,81, 104,36 o ). 2. Considere os vetores A = 6ĵ, B = 4î, C = 4î 2ĵ. Calcule a soma vetorial R = A + B + C. A soma vetorial é com módulo, R = A+B+C = (6ĵ)+( 4î)+(4î 2ĵ) = 4ĵ, 2

3 R = R 2 x +R 2 y +R 2 z = = 4. O vetor R está na direção positiva do eixo y. 3. Dados os vetores a = 4î, b = 2î+3ĵ, calcule o ângulo entre a e b. O produto escalar entre a e b é a b = a x b x +a y b y +a z b z = = 8, e os módulos de a e b são a = a 2 x +a 2 y +a 2 z = = 16 = 4, b = b 2 x +b 2 y +b 2 z = = 13 = 3,61. Temos então de onde temos cosθ = a b ab = 8 (4)( 13) = 0,55, θ = arccos(0,55...) = 56,31 o. 4. Dados os vetores a = 2î 3ĵ+4ˆk, b = 4î+ĵ 3ˆk, calcule: (a) a b; (b) a b (a b = 7; a b = 5î+22ĵ+14ˆk). (a) O produto escalar é a b = a x b x +a y b y +a z b z = 2 4+( 3) 1+4 ( 3) = = Dados os vetores a = 3î, b = 2î+ĵ, calcule o ângulo entre a e b (26,56o ). O produto escalar entre a e b é a b = a x b x +a y b y +a z b z = = 6, e os módulos de a e b são a = a 2 x +a 2 y +a 2 z = = 9 = 3, b = b 2 x +b 2 y +b 2 z = = 5 = 2,24. 3

4 Temos de onde temos cosθ = a b ab = 6 (3)( 5) = 0,89..., θ = arccos(0,89...) = 26,56 o. 6. Dados os vetores u = î ĵ 3ˆk, v = î 2ĵ 3ˆk, calcule: (a) u v ; (b) u v; (c) u = u e v = v ; (d) o ângulo entre u e v (12; 3î+ˆk; 3,31; 3,74; 14,76 o ). 7. Dados os vetores a = 4î, b = 2î+3ĵ, calcule a b e o ângulo entre os dois vetores (12 ˆk; 56,3 o ). 8. Calcule a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são 483 m e 620 m (786 m). O teorema de Pitágoras é a 2 = b 2 +c 2, em que a é a hipotenusa e b, c os catetos. Assim, a 2 = (483) 2 +(620) 2 786m. 9. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 28 cm e um dos catetos mede 23 cm. Calcule o outro cateto (16 cm). O teorema de Pitágoras nos diz que em um triângulo retângulo temos a 2 = b 2 +c 2, em que a é a hipotenusa e b e c são os catetos. Portanto, temos a=28 cm, b=23 cm, logo, c = a 2 b 2 = = 15,97cm 16cm. 10. Uma pessoa caminha 5 km para o leste e 10 km para o norte. Calcule o módulo e a direção do vetor deslocamento resultante (11,2 km, 63,4 o ). 4

5 Podemosrepresentarasduas etapaspelos vetoresd 1 = (5km)î e d 2 = (10km)ĵ. O deslocamento resultante é então d = d 1 +d 2 = (5km)î+(10km)ĵ. Esse é o vetor deslocamento resultante. O módulo é d = (5km) 2 +(10km) 2 = 11,2km. O vetor d está no primeiro quadrante. O ângulo com a horizontal é dado por θ = arctan(10/5) = arctan(2) = 63,4 o. 11. Um bloco de 12 kn está em um plano inclinado de 20 o com a horizontal (fig. 1). Calcule as componentes do peso paralela e perpendicular ao plano inclinado (4,1 kn, 11,3 kn). y P x θ F f a N θ F x θ P θ P y Fig. 2. Problema 12. P Fig. 1. Problema 11. Vemos da figura 1 que as componentes do peso são P x = P senθ = 12000sen20 o = 4104,24N, P y = P cosθ = 12000cos20 o = 11276,31N. 12. Uma pessoa puxa uma caixa de madeira exercendo uma força de 100 N, em um ângulo de 30 o com a horizontal (fig. 2). Calcule a componente horizontal F x e a componente vertical F y (F x = 86,6 N, F y = 50 N). Temos 5

6 F x = F cosθ = 100cos30 o = 86,6N, F y = F senθ = 100sen30 o = 50N. 13. Um homem empurra uma caixa com uma força de 80 N em um ângulo de 40 o com a horizontal. Calcule as componentes horizontal F x e F y da força (F x = 61,3 N, F y = 51,4 N). Temos agora, F x = Fcos40 o = 61,3N, F y = Fsen40 o = 51,4N. 14. Um prédio de altura h projeta uma sombra de 100 m de comprimento quando os raios do Sol fazem um ângulo de 30 o com o solo (fig. 3). Calcule h (57,7 m). h Podemos escrever, x Fig. 3. Problema 14. θ logo, tanθ = h x, h = xtanθ = 57,7m. 15. Um barco desloca-se na direção noroeste a 20 km/h, em um rio com correnteza de 6 km/h para leste (fig. 3). Calcule a velocidade do barco em relação à terra (16,3 km/h, θ = 120 o ). 6

7 y V v 0 v a v t h Fig. 3. Problema 15. O A Fig. 4. Problema 17. x Escolhendo o eixo x na direção leste-oeste e o eixo y na direção norte-sul, temos a velocidade do barco em relação à água dada por v a =( 20km/h)cos45 o î+(20km/h)sen45 o ĵ, =( 14,14km/h)î+(14,14km/h)ĵ, e a velocidade da água, V = (6km/h)î. A velocidade v t do barco em relação à terra é a soma vetorial da velocidade do barco em relação à água e da velocidade da água, O módulo desse vetor é v t = v t = v a +V = ( 8,14km/h)î+(14,14km/h)ĵ. ( 8,14km/h) 2 +(14,14km/h) 2 = 16,32km/h. O ângulo de v t com o eixo x é dado por tgθ = 14,14 8,14 = 1,74, logo, θ = tg 1 ( 1,74) = 60 o, ou θ = 120 o. 16. Um carro começa a frear quando está a uma velocidade de 90 km/h. Se a aceleração é g/2, calcule a distância percorrida até o carro parar e o tempo necessário (62,5 m; 5 s). 7

8 A velocidade inicial é v 0 = 90 km 1000m = 90 h 3600s = 25m/s. Calculamos a distância percorrida até o carro parar com a equação de Torricelli, ou, v 2 = v a x, x = v2 v0 2 = a 2( 5) = 62,5m. Calculamos o tempo de percurso da equação v = v 0 +at, t = v v 0 a = = 5s. 17. Uma partícula é lançada na direção horizontal de uma altura h = 10 m, com velocidade inicial de 20 m/s (fig. 4). Calcule o alcance horizontal e o tempo de percurso (28,2 m; 1,41 s). As equações para o movimento são x = x 0 +v 0x t = v 0 t = 20t, y = y 0 +v 0y t+ 1 2 a yt 2 = 10 5t 2, v y = v 0y +a y t = 10t. O tempo de percurso é dado por y = 0, ou, 0 = 10 5t 2, O alcance é então, t = 2 = 1,41s. A = x(1,41) = 28,2m. 8

9 18. Uma bola rola por uma mesa de 1 m de altura, caindo a 2 m de distância. Calcule a velocidade inicial da bola e o tempo de percurso (4,47 m/s; 0,45 s). Esse problema é semelhante ao anterior. Temos, x = x 0 +v 0x t = v 0 t, y = y 0 +v 0y t+ 1 2 a yt 2 = 1 5t 2, v y = v 0y +a y t = 10t. O tempo de percurso é dado por y = 0, ou, 0 = 1 5t 2, t = 1/5 = 0,45s. O alcance é A=2 m. A velocidade inicial é assim v 0 = A t p = 2 1/5 = 4,47m/s, em que denotamos o tempo de percurso por t p. 19. Um avião precisa atingir a velocidade de 360 km/h para decolar. Se a pista mede 1,6 km, calcule a aceleração necessária (3,12 m/s 2 ). A velocidade inicial é zero, e a velocidade final é v = 360km/h = m 3600s = 100m/s. Usando a equação de Torricelli, temos, v 2 = v a x, a = v2 v x = 3,12m/s Um bloco é empurrado sobre uma superfície horizontal com velocidade inicial 10 m/s, parando após 5 s. Calcule a distância percorrida e a aceleração (25 m; -2 m/s 2 ). 9

10 Usando a equação, temos a aceleração, v = v 0 +at, A posição final é a = v v 0 t = 2m/s 2. x = x 0 +v 0 t+ 1 2 at2 = ( 2)52 = 25m. 21. Uma partícula é lançada verticalmente para cima, com velocidade inicial de 15 m/s. Calcule a altura máxima e o tempo total do movimento (11,25 m; 3 s). As equações do movimento são, y = y 0 +v 0 t+ 1 2 at2 = 15t 5t 2, v = v 0 +at = 15 10t. Na altura máxima temos v = 0, logo, 0 = 15 10t, ou, t = 1,5 s. Esse é o tempo de subida. A altura correspondente é a altura máxima y m, y m = y(1,5) = 15(1,5) 5(1,5) 2 = 11,25m. O tempo total de percurso é dado pela condição y = 0, assim, precisamos resolver a equação, 0 = 15t 5t 2. As raízes são t = 0 e t = 3 s. O tempo total é então t = 3 s, que é o dobro do tempo de subida. 22. Considere uma partícula lançada com velocidade inicial 22,5 m/s e ângulo inicial θ 0 = 20 o. (a) Calcule o alcance, o tempo de percurso e a altura máxima. (b) Mostre que, além de θ 0 = 20 o, existe outro ângulo inicial em que obtemos 10

11 o mesmo alcance. Calcule este ângulo θ 0, o tempo de percurso, e a altura máxima. (a) As equações para o movimento são x = x 0 +v 0x t = (v 0 cosθ 0 )t = 21,14t, y = y 0 +v 0y t+ 1 2 a yt 2 = (v 0 senθ 0 )t 5t 2 = 7,7t 5t 2, v y = v 0y +a y t = v 0 senθ 0 10t = 7,7 10t. O tempo de percurso é dado por y = 0, ou, 0 = 7,7t 5t 2, O alcance é então, t = 7,7 5 = 1,54s. A altura máxima é A = x(1,54) = 32,56m. y m = y(t p /2) = y(0,77) = 2,96m. (b) Com a mesma velocidade inicial podemos obter o mesmo alcance, para outro ângulo inicial θ 0. De maneira geral o tempo de percurso corresponde a y=0, ou t p = v 0y 5 = 1 5 v 0senθ 0, considerango g = 10 m/s 2. A expressão geral para o alcance é então, A = x(t p ) = v 0x t p = 1 5 v2 0cosθ 0 senθ 0. Usando agora a identidade trigonométrica temos sen2x = 2senxcosx, 11

12 A = 1 10 v2 0sen(2θ 0 ). (4) Para um ângulo qualquer α < 90 o temos senα = sen(180 o α), assim os ângulos 2θ 0 e 180 o 2θ 0 têm o mesmo valor do seno. Para o mesmo valor de v 0 teremos então o mesmo alcance. Na letra (a) usamos θ 0 = 20 o e v 0 = 22,5 m/s. O alcance é 2,96 m. Na equação (4) calculamos então sen(40 o ) = 0,64. O outro ângulo com o mesmo seno é então 180 o 40 o = 140 o. Isso corresponde a θ 0 = 70 o. Usando esse ângulo inicial com o mesmo valor de v 0 temos as equações, x = x 0 +v 0x t = (v 0 cosθ 0 )t = 7,7t, y = y 0 +v 0y t+ 1 2 a yt 2 = (v 0 senθ 0 )t 5t 2 = 21,14t 5t 2, v y = v 0y +a y t = v 0 senθ 0 10t = 21,14 10t. O tempo de percurso é dado por y = 0, ou, 0 = 21,14t 5t 2, O alcance é então, t = 21,14 5 = 4,23s. A = x(4,23) = 32,34m. Se melhoramos a precisão os alcances se tornam cada vez mais próximos. A altura máxima é y m = y(t p /2) = y(2,12) = 22,34m. 23. Uma partícula é lançada com velocidade inicial v 0 = 10 m/s. Calcule o tempo de percurso, o alcance, e a altura máxima, para os seguintes ângulos iniciais: 20 o, 30 o, 60 o, 70 o (0,68 s, 6,43 m, 0,58 m; 1,0 s, 8,66 m, 1,25 m; 1,73 s, 8,66 m, 3,75 m; 1,88 s, 6,43 m, 4,41 m). 12

13 24. Uma partícula é lançada com velocidade inicial v 0 e ângulo inicial θ 0. Em y = 9 m a velocidade é dada pelo vetor v = 6î+3ĵ. Calcule v 0, θ 0, o alcance, e a altura máxima (15 m/s; 66,4 o ; 16,5 m; 9,45 m). 25. Uma bola rola do alto de uma escada com velocidade inicial 2 m/s. Os degraus têm 35 cm de largura e 20 cm de altura. Que degrau a bola tocará primeiro? (o segundo). 13