Mecânica Geral. Prof. Evandro Bittencourt (Dr.) Engenharia de Produção e Sistemas UDESC. 27 de fevereiro de 2008

Transcrição

1 Mecânica Geral Prof Evandro Bittencourt (Dr) Engenharia de Produção e Sistemas UDESC 7 de fevereiro de 008 Sumário 1

2 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Introdução 11 Princípios Fundamentais da Mecânica 1 Lei do Paralelogramo para dição de Forças Duas forças atuantes sobre um ponto material podem ser substituídas por uma única força, chamada de resultante, obtida pela diagonal do paralelogramo formado pelas forças R = F 1 + F F 1 R β F Princípio da transmissibilidade Condições de equilíbrio não se alteram se uma força que atua num dado ponto do corpo rígido for substituída por outra de mesma intensidade, direção e sentido, mas que atua em um ponto diferente, desde que as duas tenham a mesma linha de ação 3 Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia) Se a intensidade da força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este permanecerá em repouso ou permanecerá com velocidade constante e em linha reta 4 Segunda Lei de Newton (F = m a) Se a força resultante que atua sobre um ponto material não é zero, este terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção desta, com o mesmo sentido 5 Terceira Lei de Newton (ção e Reação) s forças de ação e reação entre corpos em contato têm a mesma intensidade, mesma linha de ação e sentido opostos 6 Lei de Gravitação de Newton Dois pontos materiais de massas M e m são mutuamente atraídos com forças iguais e opostas F e -F de intensidade F dada pela fórmula: r = distância G = Constante de Gravitação M = massa da terra R = Raio da terra F = G Mm r g = GM R = 9, 81 m/s P = mg

3 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Sistemas de Unidades Unidades bsolutas: m : metro (distância) kg : quilograma (massa) s : segundo (tempo) celeração: m/s força de 1 N aplicada num corpo com 1 kg de massa provoca aceleração de 1 m/s Força: kg m/s = N (Newton) aceleração da gravidade (9,81 m/s aplicada num corpo com 1 kg de massa provoca força (Peso) de 9,81 N

4 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Estática dos pontos materiais 1 Resultante de duas forças s forças (ou cargas) em estruturas, máquinas, móveis, etc são representadas por vetores, possuindo uma linha de ação, sentido e módulo Quando temos duas forças atuando num mesmo ponto material, podemos obter a sua soma pelo Critério do Paralelogramo Exemplo: Graficamente determinamos retas formando o paralelogramo, a diagonal e a força resultante: R = F 1 + F F 1 R β F naliticamente podemos determinar o módulo e a direção usando a Lei dos Cosenos e a Lei dos Senos ssim se F 1 = 300 N, F = 500 N e β = 75 o, analisando o triângulo: α Pela Lei dos Cosenos: 105 o R 300 N 500 N Pela Lei dos Senos: R = cos 105 o R = 646 N 646 sen105 o = 300 senα α = 6, 7 o

5 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Componentes soma de forças pode ser realizada através da soma das suas componentes cartesianas Exemplo: Componentes de uma força no plano Fy 300 N 75 o Fx F x = 300 cos 75 o F x = 77, 6 N F y = 300 sen 75 o F y = 89, 8 N 3 dição O uso das componentes pode simplificar a adição de forças principalmente quando temos várias forças envolvidas Exemplo: dição de forças usando as componentes R = 300 N N Fy 300 N 75 o Fx 500 N Rx = F x Rx = 300 cos 75 o Rx = 577, 6 N Ry = F y Ry = 300 sen 75 o Ry = 89, 8 N Com as resultantes cartesianas (Rx e Ry) calculamos a resultante (módulo, direção): R = Rx + Ry arc tg α = Ry Rx R = 577, , 8 arc tg α = 89, 8 577, 6 R = 646 N α =6, 6 o

6 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Exercício: Calcule a resultante das forças: F 1 = 550 N F = 400 N F 3 = 500 N F 4 = 450 N F 1 F 3 55 o 8 o F F 4 3 Equilíbrio de um ponto material Um ponto material se encontra em equilíbrio quando a resultante de forças aplicadas é nula Exemplo Calcular a força de tração nos cabos C e BC Desenho esquemático 3 m 4 m B 3 m C 100 N O ponto C em equilíbrio será utilizado para análise

7 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Ponto material 3 m 4 m 3 m F C F BC C 100 N Para a resultante do ponto em equilíbrio ser nula, as duas componentes ortogonais também devem ser iguais a zero (R x = 0, R y = 0), desta maneira montamos um sistema de equações considerando as componentes das forças envolvidas: { Rx = 0 31 Exercícios { Ry = 0 F BCx F Cx = 0 F BCy + F Cy 100 = 0 F BC 4 5 F BC 3 5 F C = 0 + F C 100 = 0 F BC = 71, 4 N F C = 80, 8 N 1 O barco está seguro pelos dois cabos B e CB, sabendo que o rio faz uma força de 15 kn no barco, calcular a força de tração nos cabos

8 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral m 10 m 30 m 30 m B C Barco Rio Figura 1: Exercícios 1 e (Desenho anterior) Sabendo que o cabo B está sujeito a uma força de 10 kn, calcular a força no cabo CB e no barco pelo rio 4 Momento de uma força Uma força, além de provocar um movimento de translação nos corpos rígidos, também provoca uma ação de rotação num determinado ponto material do corpo rígido que está fora da linha de ação da força Esta ação de rotação é chamada de momento de uma força em relação a um ponto Sendo resultado do produto do módulo da força e a distância entre a linha de ação da força e o ponto onde estamos calculando o momento, medida esta feita na projeção ortogonal do ponto sobre a linha de ação O momento provocado pode ser anti-horário ou horário, no plano define-se o sinal positivo para o momento anti-horário (Regra da Mão-Direita) F 1 d 1 ΣM = M 1 + M ΣM = F 1 d 1 F d F d Figura : Momento de uma força em relação a um ponto

9 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Exercícios 1 manivela está sujeita a força vertical indicada (a) Calcular o momento no eixo da manivela () (b) Calcular a força horizontal aplicada em C necessária para produzir o mesmo momento da força vertical (c) Calcular a força vertical aplicada em B necessária para produzir o mesmo momento (d) Determinar a direção e a menor força aplicada em C necessária para produzir o mesmo momento 5 cm C 15 cm B 150 N 30 o Figura 3: Exercício 1 Calcular o momento na prateleira fixa na parede: 50 N 30 N 60 N 0 cm 10 cm 10 cm 4 Momento de um Conjugado (Binário) ação de duas forças com o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentido contrário é um momento igual ao módulo multiplicada pela distância entre as linhas de ação

10 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral d 1 M = F 1 d F 1 F 1 Figura 4: Momento de uma conjugado O momento de um conjugado é um vetor livre, tendo o mesmo efeito em todos os pontos materiais do corpo rígido 41 Exercícios 1 Calcular a força exercida em cada parafuso usado para fixar a prateleira na parede (posição e B): 50 N 30 N 3 cm B 60 N 0 cm 10 cm 10 cm

11 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Centróide e Baricentro O cálculo de centro de áreas (centróide) e centro de forças (baricentro) de uma figura qualquer é realizado usando o conceito de momento 51 Centróide de Figuras Conhecidas Retângulo Triângulo reto b b h b c h h c b 3 h 3 Círculo Semi-Círculo Quarto de Círculo d d d c c c d 3 π d 3 π d d 3 π 5 Cálculo do centróide O centróide de uma figura qualquer pode ser determinado pela divisão desta em figuras conhecidas pós a fixação de eixos de referência, estes são usados para o cálculo do momento das áreas das diversas figuras divididas que por sua vez deve ser igual ao momento da figura total em relação ao mesmo eixo ssim o cálculo da posição do centróide em relação aos

12 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral eixos de referência são calculados: n x i i x = i=1 y = n i i=1 n y i i i=1 n i=1 i Exemplo: c 1 c Posicionando os eixos de referência no canto inferior esquerdo da figura temos: Calculando x: 1 x y Calculando y: x = = 3, 33 y = = 6, Exercício Posicionar de forma adequada no tampo da mesa os pés no formato de um triângulo equilátero de 10 cm:

13 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral cm 100 cm Tampo 80 cm Pés 80 cm 10 cm

14 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Equilíbrio de um corpo rígido Um corpo sujeito a um conjunto de forças se mantém em equilíbrio quando, além da resultante das forças for nula, a somatória de momentos das forças em relação a um ponto determinado for também igual a zero 61 Tipos de apoios O cálculo do equilíbrio dos corpos rígidos é feito considerando a conexão deste com seu sistema através de apoios, sendo que a ação do corpo rígido sobre o sistema é resultado das reações nos apoios Os apoios restringem determinados movimentos, a cada movimento impedido está relacionado uma reação ssim os tipos de apoios estão divididos dependendo do número e tipo de reação que ele fornece 611 poio simples O apoio simples impede o movimento de translação na direção perpendicular do apoio, sendo substituido por uma reação nesta direção R 61 poio rotulado O apoio rotulado impede o movimento de translação nas duas direções ortogonais, sendo substituído por duas reações R x R y 613 poio fixo (engastado) O apoio engastado além de impedir totalmente a translação, impede também o movimento de giro, sendo substituído por duas reações e uma reação de momento

15 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral M R x R y 6 Tipos de cargas lém das cargas concentradas, podemos ter outros tipos de carregamentos como cargas distribuídas, uniforme ou não, momentos aplicados e outros 61 Carga distribuída carga distribuida pode ser uniforme: 00 N/m 4 m O valor da carga distribuída é fornecido por unidade de comprimento: 00 N/m Para o cálculo do equilíbrio do corpo rígido a carga distribuída é substituída por uma carga concentrada posicionada no centróide da carga distribuída com o mesmo valor da área da carga distribuída ssim para o exemplo: 4 00 = 800 N 800 N 4 m

16 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral carga distribuída pode ser triangular ou ainda parabólica 150 N/m 3 m Substituindo por uma carga concentrada: = 5 N 5 N m 1 m 6 Momento aplicado Os corpos rígidos podem estar sujeitos ao efeito de momentos aplicados, provenientes de conjugados ou algum eixo submetido a um momento torçor 100 Nm m 1 m 63 Exemplos Os exemplos a seguir são baseados principalmente em vigas, mas a condição de equilíbrio serve para todos os outros tipos de corpos rígidos 1 Calcular as reações de apoio da viga:

17 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral N/m 6 m B Substituindo os apoios pelas reações correspondentes, além da carga distribuída por uma concentrada equivalente (P = = 3000 N): 3000 N R x 3 m 3 m R y R By plicando as condições de equilíbrio: ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣM = 0 R x = 0 (1) R y + R By 3000 = 0 () R By = 0 (3) Da (3) resulta R By = 1500 N, aplicando o valor na () temos R y = 1500 N Calcular as reações de apoio da viga engastada: 100 N/m 3 m m Substituindo os apoios pelas reações correspondentes, além das cargas distribuídas por cargas concentradas equivalentes:

18 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral N 00 N M m m 1 m R By R Bx plicando as condições de equilíbrio: ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣM B = 0 R Bx = 0 (1) R By 45 = 0 () M = 0 (3) Da () resulta R By = 45 N, e da (3) M = 875 N m 64 Exercícios 1 Calcule as reações de apoio da viga 500 N/m 6 m B m Calcule as reações de apoio da viga 00 N 100 N/m B m m 4 m

19 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Esforços em Vigas Em uma viga, submetida a um determinado carregamento, aparecem dois tipos de esforços, o momento fletor e o esforço cortante (cisalhamento) M M Q Momento Fletor (M) Q Esforço Cortante (Q) 71 Combate aos esforços Os esforços em vigas de madeira, aço e outros materiais são combatidos através da determinação de geometria e propriedades adequados 7 Relação entre cargas aplicadas e esforços Existe uma relação diferencial entre as cargas aplicadas e os esforços nas vigas Dada uma viga submetida a uma carga distribuída qualquer: M Q x q Q+ Q M+ M P x plicando as condições de equilíbrio: { ΣF y = 0 ΣM P = 0 { Q + Q Q q x = 0 (1) Q x + q x x + M + M M = 0 () Da Equação (1): q = Q x plicando limite x 0

20 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Da Equação (): Q q = lim x 0 x q = dq dx Q = q x M x plicando limite x 0 q x Q = lim M x 0 x Q = dm dx 73 Método de determinação dos esforços Dentre os diversos métodos, a análise dos esforços ao longo de uma viga pode ser feita genericamente, formando as funções que descrevem momento fletor e esforço cortante, utilizando diversas seções (Método das Seções) Ou ainda, utilizando o Método dos Pontos, onde se determina o momento fletor e esforço cortante nos pontos principais da viga 731 Método das seções determinação de onde e quantas seções devam ser utilizadas depende do tipo de carregamento, a cada variação de carga distribuída uniforme, ou carga e momento concentrado, determinamos uma nova seção Exemplo: S 1 S S 3 00 N 100 N/m B m m 4 m 74 Exemplos 1 Dada a viga, determinar os esforços:

21 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral N m m Determinação das reações e seções: S 1 S 800 N 400 N m m 400 N Esforços na Seção S 1, considera-se as cargas à esquerda da seção e os esforços à direita: S N x Q M Calculando o equilíbrio na Seção S 1 : { ΣF y = 0 ΣM S1 = 0 { Q = 0 M 400 x = 0 { Q = 400 M = 400 x função Q na Seção S 1 é válida para 0 < x <, devido a descontinuidade causada pelas forças concentradas no esforço cortante Por outro lado, a função M na Seção S 1 é válida para 0 x, já que, somente momento aplicados causam descontinuidade no momento fletor

22 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Esforços na Seção S 1, considera-se as cargas à esquerda da seção e os esforços à direita: 800 N S Q M 400 N m x { Q = 0 M 400 x (x ) = 0 { Q = 400 ( < x < 4) M = x ( x 4) Note, que a condição da relação diferencial Q = dm, pode ser utilizada para encontrar a função esforço cortante a partir da função momento fletor pela derivada, ou dx de outro modo, encontrar a função momento fletor a partir da função esforco cortante pela integral Dada a viga, determinar os esforços: 100 N/m 4 m Determinação das reações e seções: S N/m 00 N 4 m 00 N Esforços na Seção S 1 :

23 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral S N/m Q 00 N x M 3 Dada a viga, determinar os esforços: { Q = 100 x 00 (0 < x < 4) M = 00 x 50 x (0 x 4) 100 Nm m m Determinação das reações e seções: S 1 S -5 N 100 Nm m m 5 N Esforços na Seção S 1 : S 1-5 N x Q M

24 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Esforços na Seção S : { Q = 5 (0 < x ) M = 5 x (0 x < ) S -5 N m x 100 Nm Q M { Q = 5 ( x < 4) M = x ( < x 4) É importante notar os intervalos para o momento fletor, que tem uma descontinuidade no ponto onde o momento é aplicado, sendo portanto indefinido neste ponto (x = ), o mesmo não acontece para o esforço cortante que é independente do momento aplicado

25 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Forças e Tensões força atuante geralmente é considerada para efeito de dimensionamento como um força distribuída por unidade de área, chamada de Tensão, dada em N/m, ou em Pascal (P a = N/m ) Para o dimensionamento, as tensões atuantes são comparadas com as tensões admissíveis para o material considerado 81 Tensões xiais Quando a área considerada para o cálculo da tensão é perpendicular ao eixo da força temos uma tensão axial, que pode ser de Tração ou de Compressão s tensões axiais são representadas pela letra grega σ σ = F F σ 8 Tensões de Cisalhamento Quando a área considerada para o cálculo da tensão é paralela ao eixo da força temos uma tensão de cisalhamento s tensões de cisalhamento são representadas pela letra grega τ τ = F 83 Tensões na Flexão Uma peça flexionada apresenta uma configuração de tensões axiais Para o momento fletor positivo, temos a parte inferior da peça sofrendo tração e a parte superior sofrendo compressão

26 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Compressão M M Tração Sendo assim, existe um ponto intermediário na seção flexionada, onde o esforço é nulo

27 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Momento de Inércia de Figuras Planas O Momento de Inércia da área em relação a um eixo é um propriedade das figuras planas I x = y d I y = x d y x d y O x 91 Exemplo y b d y dy h O x I x = y d = h y 0 (b dy) = b [ y 3 3 ] h 0 = b h3 3

28 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Teorema dos Eixos Paralelos I x = I x + d C x d x 93 Exemplo b h x x I x = I x ( ) h (b h) = b h3 3 b h3 4 = b h3 1

29 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Momento de Inércia de Figuras Conhecidas Retângulo Triângulo reto b b h b y c h x h y c b 3 x h 3 I x = b h3 1 I y = h b3 1 I x = b h3 36 Círculo Semi-Círculo Quarto de Círculo d d d y c x c y x y c d 3 π x d 3 π d d 3 π I x = I y = π r4 4 I x = I y = π r4 8 I x = I y = π r Cálculo do Momento de Inércia O Momento de Inércia de uma figura qualquer pode ser determinado pela divisão desta em figuras conhecidas pós o cálculo do centróide o Momento de Inércia é calculado usando o teorema dos eixos paralelos e somando a contribuição de cada subfigura Exemplo:

30 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral ,0 m 3,0m 6,0 m c 1 c Posicionando os eixos de referência no canto inferior esquerdo da figura temos: Calculando x: 1 x 1,5 4,0 y 3,0,0 18,0 9,0 Calculando y: x = 1, 5 18, 0 + 4, 0 9, 0 18, 0 + 9, 0 =, 333 m Calculando I x : y = 3, 0 18, 0 +, 0 9, 0 18, 0 + 9, 0 =, 667 m I x = I 1 + I I x = (3, 667) (3 6) (, 0, 667) (1, 5 6) I x = 78, 00 m 4 Calculando I y : I y = I 1 + I I y = (1, 5, 333) (3 6) (4, 0, 333) (1, 5 6) I y = 55, 50 m 4 96 Exercício Calcular o Momento de Inércia das figuras:

31 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral ,0 m 5,0 m 4,0 m 4,0 m 1 5,0 m 1,0 m,0 m,0 m 5,0 m 80 cm 100 cm 80 cm 80 cm 3 97 Produto de Inércia O Produto de Inércia da área em relação as eixos coordenados é um propriedade das figuras planas

32 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral P xy = yxd y x d y O x O valor para o Produto de Inércia de figuras simétricas é zero 98 Teorema dos Eixos Paralelos para o Produto de Inércia y y P xy = P x y + dx dy d x C x d y x

33 Prof Evandro Bittencourt - Mecânica Geral Eixos e Momentos Principais de Inércia Os momentos de inércia para eixos u e v podem ser calculados considerando o ângulo de rotação φ do sistema x e y v y u x d v y u O x I u = I x + I y I v = I x + I y P uv = I x I y + I x I y I x I y cos φ P xy sen φ cos φ + P xy sen φ sen φ + P xy cos φ Fazendo P uv = 0 ou di u d φ = 0 tg φ m = P xy I x I y I max,min = I x + I y ± (Ix I y ) + P xy