Borja ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES NOTAS DE AULA: - Prof. INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA e TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE

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Bento Aquino Lombardi
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1 INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA e TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE DIRETORIA ACADÊMICA DE CONSTRUÇÃO CIVIL TEC. EM CONSTR. DE EDIFICIOS EDIFICAÇÕES TÉCNICO SUBSEQUENTE ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES NOTAS DE AULA: - rof. Borja 06.

2 . CENTRO DE MASSA - CENTRÓIDE O centro de massa ou de gravidade () é um ponto no qual se localia o peso () resultante de um sistema de pontos materiais (figura ). Figura. laca homogênea. ara mostrar como determinar esse ponto, consideremos uma placa horiontal, dividiremos essa placa em n pequenos elementos (figura ). n Figura. Divisão placa em n elementos. As coordenadas do primeiro elemento são denominadas e, e as coordenadas do segundo elemento e, e assim, sucessivamente (figura ).

3 Figura. Coordenadas dos elementos (finitesimais) de uma placa homogênea. Sobre cada elemento (nésimo) age a ação da gravidade. A força eercida pela Terra sobre esse pequeno elemento de placa é denominada de (força peso do elemento ). Essas forças (ou pesos) estão orientados em direção ao centro da Terra; porém, por finalidades práticas, elas podem ser consideradas paralelas (figura ). A resultante dessas pequenas forças é igual ao peso total de todos os n elementos que foi dividido a placa. Isto é: F... n, ou seja (eq. 0) F dp (eq. 0) A soma dos momentos dos pesos (figura 4) de todos os elementos materiais, em relação aos eios,, é então igual ao momento do peso resultante em relação a esses eios. i i i Figura 4. Momentos dos pesos. M..... n. n (eq. 04) M..... n. n (eq. 05)

4 Então, para determinar a coordenada do centro de gravidade, podemos somar os momentos em relação ao eio e obter a seguinte equação: M.. (eq. 06) De maneira semelhante, efetuando o somatório dos momentos em relação ao eio obtemos a coordenada do centro de gravidade, isto é: M.. (eq. 07) odem-se generaliar essas fórmulas e escrevê-las simbolicamente na seguinte forma:. ;. (eq. 08) Ou seja, dp / dp ; dp / dp (eq. 09) Eemplo.. Uma laje de 5m 7,5m suporta cinco colunas que eercem sobre ela as forças indicadas na figura 5. Determine o módulo e o ponto de aplicação da única força equivalente às forças dadas. Figura 5. Laje com forças aplicadas.. BARICENTRO - CENTRO DE GRAVIDADE DE FIGURAS LANAS 4

Se levarmos em consideração que a placa trata-se apenas de uma figura plana (figura 6), ou seja, não tem massa, pode-se reescrever a equação 08 correlacionando o momento de peso com o momento

5 Se levarmos em consideração que a placa trata-se apenas de uma figura plana (figura 6), ou seja, não tem massa, pode-se reescrever a equação 08 correlacionando o momento de peso com o momento estático (de área), ou seja, troca-se a força aplicada pela área, obtendo-se a seguinte equação:.da.da ; (eq. 0) A A da / da ; da Ou seja, / da (eq. ) Figura 6. Momento estático de área. Adotaremos, a partir de então, as seguintes definições: Baricentro ou centro de gravidade:. Eios baricêntricos: Momentos estáticos: Área da figura plana: ; Ms e Ms A Admitindo a figura plana da figura 6, posicionada em relação a um par de eios de referência (,), pode-se definir seu baricentro, de coordenadas ( ; único ponto da figura plana, que obedece simultaneamente a duas condições: Ms Ms ; (eq. ) A A ), como sendo o 5

6 Da definição acima, pode-se concluir, qualquer que seja a figura plana: Ms.A ; Ms.A (eq. ) Se a figura plana for composta por diversas figuras básicas, o resultado dos momentos estáticos são a soma algébrica dos momentos das figuras componentes, bem como, a área total da figura composta é a soma das áreas das figuras componentes. (.A.A.A 4.A 4... n.an ) (A A A A 4... An ) (eq. 4) (.A.A.A 4.A 4... n.an ) (A A A A 4... An ) Nessas condições, qualquer que seja a figura plana, o cálculo do ( ; ), será: M.A A M.A A s i i i s i (eq. 5) i i SIMETRIA Simetria relativamente a eio. Quando uma superfície é simétrica relativamente a um eio, o seu momento estático relativamente ao eio é nulo e o seu centróide situa-se sobre o eio. Y B - da da B X a) b) Figura 7. com um eio de simetria de superfícies planas relativamente a um eio. Caso a superfície apresente dois eios de simetria, o centróide situa-se no ponto de intersecção destes eios. 6

7 C C C C B B B B B B B B C C C C a) b) Figura 8. com dois eios de simetria de superfícies planas. Simetria relativamente a ponto. Quando uma superfície é simétrica relativamente a um ponto, o seu centróide situa-se nesse ponto. da - da - Figura 9. com eio de simetria de superfícies planas relativamente a um ponto.. CENTROIDES DE FIGURAS LANAS DE FORMATOS USUAIS Figura Triângulo área h bh ¼ de círculo 4r 4r r Semi-círculo 0 4r r ¼ de elipse 4a 4b ab Semi-elipse 0 4b ab Semi- a 8 h 5 ah parabólica 7 4 4

8 arabólica 0 h 5 4ah Arco de a parábola 4 h 0 ah Arco geral n a n n h 4n ah n Setor circular r sen 0 r 4. CENTROIDES DE LINHAS O centro de gravidade de uma linha coincide com o centróide C de uma linha de comprimento L definido pelo formato da linha (Figura 0). As coordenadas e do centróide da linha L são obtidos a partir das equações () e (). Figura 0. Centróide de uma Linha.... equações (6) e (7) 8

Eemplo 4.. A figura abaio mostra o formato de uma peça fina e homogenia (fio). Determine as coordenadas de localiação do centro de gravidade. Segmento L

9 Eemplo 4.. A figura abaio mostra o formato de uma peça fina e homogenia (fio). Determine as coordenadas de localiação do centro de gravidade. Segmento L (in) (in) (in). L.L (in²) (in²) AB BC CA L = 60 L = 600 L = 80 Introduindo os valores obtidos, na tabela acima, nas equações define-se o centróide da forma de linha, obtendo-se: X.. Y.. L.L L.L 600 X 0 in Y in 60 Eercício : Determinar o centro de gravidade das linhas das figuras abaio. m m cm 4m X =, Y =,8 5 cm X =, Y =, cm cm (a) (b) 9

10 cm cm X = 0,0 Y = 0,4 X = 0,4 Y =,85 cm cm m m cm m 4 m (c) (d) 0

11 Eercício : Determinar o centro de gravidade das superfícies planas (região hachurada). 7 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4,0 0,5 a) 6 0,5,0 0,5, b) a) b) d) c) 0 e) 0

12 .00 I = I = b.h =. = b.h I = =. = Eercício : Calcular, para as figuras planas abaio, o baricentro posicionando os eios na figura. a) b) c) d) e)

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