Capítulo 3 GEOMETRIA DE MASSAS 3.1 INTRODUÇÃO 3.2 CENTRO DE MASSA E CENTRO DE GRAVIDADE

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1 Capítulo 3 EOMETR DE MSSS 3. NTRODUÇÃO Neste capítulo será feito o estudo de várias propriedades e características geométrico-mecânicas de linhas, superfícies e volumes, as quais constituirão uma ferramenta para a caracterização da massa, peso, distribuição da massa, inércia, etc., de sistemas de partículas discretos ou contínuos, cujo movimento será estudado nos capítulos seguintes ligados à dinâmica. Para além das características geométricas naturais, como o comprimento, área e volume (e as suas características mecânicas de massas e pesos desses comprimentos, áreas e volumes) irá referir-se os conceitos de centro de massa, centro de gravidade, momento estático relativamente a um ponto, eio ou plano, momento de inércia e produto de inércia também relativamente a um ponto, eio ou plano. 3. CENTRO DE MSS E CENTRO DE RDDE O centro de massa corresponde ao centróide de massas de um sistema de partículas. Se o sistema for discreto (constituído por partículas com coordenadas k O e massas m k ), o centro de massa, CM, localiza-se na posição determinada através da seguinte epressão: CM O M n k m k k O ; M n k m k (3.) Se o sistema for contínuo, a localização do centro de massa é obtida por: 85

2 eometria de massas r CM O R(,, z) dm(,, z) ; M M M M dm (3.) Note-se que o integral dm será simples, M duplo ou triplo, consoante o sistema de partículas seja unidimensional (D), bidimensional (D) ou tridimensional (3D), respectivamente. Figura 3. Centro de massa. Se o sistema de partículas estiver sujeito a um campo gravítico, terrestre ou não, ele estará sujeito a forças de atracção gravítica (ou pesos) pontualmente localizadas (sistema de partículas discreto) ou distribuídas (sistema de partículas contínuo). Designa-se centro de gravidade ou baricentro do sistema de partículas ao centróide da distribuição, discreta ou contínua, de pesos do sistemas de partículas. Num sistema discreto, a localização do centro de gravidade,, é dado por: O p n k p k k O ; p n k p k (3.3) Figura 3. Peso da partícula de massa m k. Num sistema contínuo, a localização do centro de gravidade,, é dado por: O p P p r R(,, z) dp(,, z) M r r R(,, z) g(,, z) dm ; Figura 3.3 Peso elementar associado a uma parcela infinitesimal de massa dm. com p dp g dm (3.4) p M 86

3 Capítulo 3 NOTS:. Se o sistema de partículas for homogéneo (isto é, de massa específica constante) e se o campo gravítico for uniforme (ou seja, a mesma aceleração gravítica para todos os pontos do sistema), então o centro de massa e o centro de gravidade localizam-se no mesmo ponto.. Se o sistema de partículas for homogéneo, então o centro de massa é coincidente com o centro geométrico. Se, além disso, o campo gravítico é uniforme, então o centro geométrico corresponde simultaneamente ao centro de massa e ao centro de gravidade. Considerando o caso de um sistema de partículas contínuo, o centro geométrico, C, é dado por: r C O ; R d d (3.5) Por sua vez, o centro de massa, CM, é dado por: CM O r r M M R dm R ρ d ; M dm M M ρ d (3.6) onde ρ representa a massa específica do sistema que pode ser constante ou variável no interior do seu volume. Se a massa específica for constante (ρ constante) então o centro de massa pode ser também definido por: CM O ρ d ρ r R d r R d C O (3.7) ou seja, quando ρ constante o centro de massa coincide com o centro geométrico. Quanto ao centro de gravidade,, ele é dado por: O r r p p R dp R γ d ; p dp P P γ d (3.8) onde, γ ρ g (3.9) 87

4 eometria de massas representa o peso específico do sistema que, também, pode ser constante ou variável no interior do sistema. Se o peso específico do sistema for constante (γ ρ g constante) então o centro de gravidade pode ser também definido por: O γ d γ r R d r R d C O (3.0) ou seja, quando γ constante o centro de gravidade coincide com o centro geométrico. 3.3 MOMENTOS ESTÁTCOS OU DE ª ORDEM Considere-se uma superfície plana homogénea num campo gravítico uniforme. Nestas condições, o centro geométrico da superfície coincide com o centro de massa e com o centro de gravidade e é dado por: r O da r da (, ) (3.) da S Designa-se momento estático, ou de ª ordem, S, da superfície relativamente ao eio OY a: S da (3.) Figura 3.4 Momento estático em relação a OY. denticamente, o momento estático, ou de ª ordem, S, da superfície relativamente ao eio OX é: 88

5 Capítulo 3 S da (3.3) Figura 3.5 Momento estático em relação a OX. Por intermédio do conceito de momento estático é possível referir algumas características e propriedades de secções planas: ª) Se um dos eios, OX ou OY, for baricentrico, isto é, se contiver o centro de gravidade,, o respectivo momento estático relativamente a esse eio é nulo. Eemplo: Figura 3.6 Eio OY baricentrico. Se OY é baricentrico, então: da S 0 S da 0 (3.4) ª) Qualquer eio de simetria de uma secção plana é baricentrico: Figura 3.7 Eio de simetria. S ( S ) + ( S ) da esquerda direita + da + da + ( + ) da 0 da 0 (3.5) 3ª) Quando se decompõe uma superfície em duas superfícies e de baricentros e, o baricentro de pertence à recta que passa por e : S ( d ) ( ) d S + S + Figura 3.8 Decomposição da superfície. como ( d ) ( d ) 0 89

6 eometria de massas ( d ) 0 ( d ) 0 S (3.6) 4ª) Se uma superfície tiver duas linhas de simetria, o centro de gravidade está no ponto de intersecção dessas linhas: Figura 3.9 Superfície com duas linhas de simetria. 3.4 TEOREM DE PPPUS-ULDN O teorema de Pappus-ulding permite determinar centróides de linhas e superfícies planas e ainda as suas correspondentes linhas e superfícies massificadas e pesadas. Mas cada parcela a que este teorema se aplica terá que ser homogénea Teorema de Pappus-ulding versão superfícies Figura 3.0 Determinação do centróide de uma linha. área da superfície lateral gerada pela revolução de uma linha curva em torno de um eio do seu plano, e que não a intersecta, é igual ao produto do comprimento da linha curva pelo perímetro percorrido pelo seu centro de gravidade durante a revolução: sup. lateral ( π ) L B d (3.7) perímetro percorrido pelo centro de gravidade versão superfícies massificadas ou pesadas (corolário do anterior) diz que a massa ou o peso da superfície lateral gerada pela revolução de uma linha plana em torno de um eio do seu plano, que não a intersecte, é igual ao produto da massa ou do peso da linha plana pelo perímetro percorrido pelo seu centro durante a revolução. 90

7 Capítulo Teorema de Pappus-ulding versão volumes O volume do sólido gerado pela revolução de uma secção plana em torno de um eio do seu plano, e que não a intersecte, é dado pelo produto da área da superfície plana pelo perímetro percorrido pelo seu centro de gravidade durante a sua revolução: Figura 3. Determinação do centróide de uma superfície. ( d ) π sólido (3.8) perímetro percorrido pelo centro de gravidade Também neste teorema se pode desenvolver um corolário para volumes massificados ou pesados. Eercícios de aplicação 9

8 eometria de massas 3.5 MOMENTOS DE ª ORDEM DE SECÇÕES PLNS 3.5. Momentos de inércia de área e de massa Considere-se uma secção plana e um eio, que tem área e massa M. Designa-se momento de inércia ou de ª ordem, da área em relação ao eio, à quantidade: ( ) r da (3.9) área Figura 3. Momento de inércia em relação a um eio qualquer. Designa-se momento de inércia, ou de ª ordem, da massa M (com superfície ) relativamente ao eio, à quantidade epressa por: ( ) r dm onde ρ é a massa específica superficial. r ρ da (3.0) massa Se a secção for homogénea (isto é, ρ constante), então: M ( ) ( ) massa r da ρ área Em relação a um referencial OXY tem-se: ρ (3.) Momento de inércia em relação ao eio OX: da (3.) Momento de inércia em relação ao eio OY: Figura 3.3 Momentos de inércia. da (3.3) 9

9 Capítulo 3 s dimensões dos momentos de inércia de área e de massa são as seguintes: 4 [( ) ] m área [( ) ] kg m (3.4) massa Note-se que enquanto os momentos de ª ordem podem ser positivos, ou negativos, ou nulos, consoante o valor da distância do centro ao eio, os momentos de inércia são sempre positivos porque correspondem à soma (ou ao integral) de produtos de áreas por distâncias quadráticas. Eercícios de aplicação 3.5. Teorema dos eios paralelos Teorema de Steiner O teorema dos eios paralelos para momentos de inércia relaciona os momentos de inércia relativos a dois quaisquer eios paralelos: (3.5) ' ' + d + d d 93

10 eometria de massas Considere-se uma superfície e os eios e ' paralelos. Os momentos de inércia da superfície relativamente a esses eios estão relacionados por: l da (3.6) como l' l + d, então: Figura 3.4 Teorema dos eios paralelos. ( l' + d) da (3.7a) l' da + d da + l' d da (3.7b) sendo o momento estático dado por: ' d d l' da d ' l da d (3.8) ' ' ' então a equação (3.5) é verificada, isto é: ' ' + d + d d. Quando o eio ' é baricentrico, isto é, quando ' //, o teorema dos eios paralelos designa-se por teorema de Steiner, vindo epresso por: ' (como ' d 0 ): + d (3.9) ou seja, o teorema de Steiner mostra que o momento de inércia da área de uma secção plana, relativamente a um eio qualquer, é igual à soma do momento de inércia da área da mesma secção relativamente a um eio baricêntrico paralelo ao dado, com o produto da área da superfície pelo quadrado da distância entre os dois referidos eios. 94

11 Capítulo 3 Eemplo: Momento de inércia polar Trata-se também de um momento de ª ordem relativamente a um eio perpendicular ao plano da secção num ponto fiado, sendo definido por: O r da (3.30) Figura 3.5 Momento de inércia polar. como r +, então o momento de inércia polar pode ser obtido por: O + da da + ( ) da + (3.3) ou seja, o momento de inércia polar é igual à soma dos momentos de inércia relativos a dois eios do plano da secção perpendiculares entre si e centrados em O: r + ' + ' " + " (3.3) O ' ' " " ou seja, o momento de inércia polar, O, é invariante, isto é, não depende da escolha de qualquer par de eios ortogonais centrados em O. 95

12 eometria de massas Eemplo: Raio de giração O raio de giração refere-se à posição da superfície onde se pode considerar que concentrando toda a superfície nesse ponto, pode-se obter o mesmo momento de inércia que essa superfície origina. r d da r (3.33) Figura 3.6 Raio de giração. 96

13 Capítulo 3 Num sistema de eios OXY, os raios de giração são obtidos por: r (3.34) r (3.35) Produto de inércia O produto de inércia é um momento de ª ordem, correspondendo ao produto da área da secção S (ou da massa M) relativamente ao par de eios ortogonais OX e OY e é dado por: ( ) área da (3.36) ( ) dm ρ (, ) da (3.37) massa M Figura 3.7 Produto de inércia. Se o corpo é homogéneo, então: ( ) massa ( ) área ρ (3.38) Figura 3.8 Sinais para o produto de inércia. Os valores dos momentos de inércia relativamente a um eio qualquer são sempre positivos. O produto de inércia de qualquer secção plana poderá ser positivo, nulo ou negativo, consoante a localização dessa superfície relativamente ao sentido dos eios coordenados. 97

14 eometria de massas plicação dos teoremas dos eios paralelos e de Steiner para produtos de inércia Conhecido o produto de inércia em relação a um sistema de eios ortogonais OXY, é possível, pela aplicação do teorema dos eios paralelos, obter o produto de inércia em relação a um sistema de eios O'X'Y' paralelo ao anterior: ' ' ' ' da ( + b) ( + a) da Figura 3.9 plicação do teorema dos eios paralelos. Considerando as seguintes igualdades: ' ' da + b da + a b da + a da (3.39) da (3.40a) a b a b da (3.40b) b da b da b S b (3.40c) a da a da a S b (3.40d) ssim, o teorema dos eios paralelos para produtos de inércia é epresso por: + a b + a + b ' ' (3.4) Quando os eios OX e OY são baricentricos, este teorema converte-se na versão do teorema de Steiner para produtos de inércia: (se e S S 0): ' ' + a b (3.4) 98

15 Capítulo ariação dos momentos de ª ordem, e resultante da rotação dos eios de referência ' i r OM i r (cosα,sen ) (3.43) r j α ( senα,cos cosα + senα α (cosα,senα) (, ) ) (3.44) (3.45) r ' j OM ( senα,cosα) (, ) (3.46) senα + cosα Figura 3.0 Rotação dos eios de referência. O momento de inércia em relação ao eio O'X', ', pode ser obtido a partir do conhecimento dos momentos de ª ordem definidos no sistema de eios ortogonal OXY (, e ) pela seguinte relação: ' ' da da sen α + ( senα + cosα) da cos α da da senα cosα (3.47a) cos α + sen α senα (3.47b) ' denticamente, o momento de inércia em relação ao eio O'Y', ', pode ser obtido a partir do conhecimento dos momentos de ª ordem definidos no sistema de eios ortogonal OXY (, e ) pela seguinte relação: ' ' da da cos ( cosα + senα) α + da sen α + da da senα cosα (3.48a) sen α + cos α + senα (3.48b) ' E ainda, de forma análoga, se obtém o produto de inércia em relação ao eio O'Y', '', a partir do conhecimento dos momentos de ª ordem definidos no sistema de eios ortogonal OXY (, e ) pela seguinte relação: 99

16 eometria de massas ' ' + ' ' da da senα cosα + da (cos ( cosα + senα) ( senα + α sen α) da senα cosα + cosα) da (3.49a) ( ) senα cosα + (cos α sen α) (3.49b) ' ' tendendo às seguintes relações trigonométricas: cos α sen α cos α (3.50a) + cos α cos α (3.50b) cos α sen α (3.50c) então as epressões (3.47) a (3.49) podem-se reescrever da seguinte forma: + ' + cos α senα (3.5) + ' cos α + senα (3.5) ' ' senα + cos α (3.53) Note-se que as epressões (3.5) e (3.5) verificam a seguinte condição: ' + ' + (ver epressão 3.3). 00

17 Capítulo 3 Eemplo: Momentos principais de inércia momentos de ª ordem máimo e mínimo. Eios principais de inércia O objectivo é determinar o valor do ângulo α para o qual os momentos de inércia são etremos, ou seja, a definição da direcção dos eios principais; e, os momentos de inércia, máimo e mínimo, que lhes estão associados. Figura 3. Eios principais de inércia. 0

18 eometria de massas Como + +, então se é máimo então é mínimo e vice-versa. Para determinar os etremos, determina-se o zero da derivada de ou : d d ( senα ) cos α 0 dα dα tgα (3.54) Como a função tangente é periódica, com período π, a epressão anterior resulta em dois valores distintos de α que anulam a derivada d dα : um torna (α) máimo e outro (α+π/) mínimo, ou vice-versa. Conhecendo as seguintes relações trigonométricas: tgα senα ± (3.55) + tg α cos α ± (3.56) + tg α pode-se obter os valores de senα e cosα a partir da epressão (3.54). Substituindo nas epressões de ' e ', (3.5) e (3.5), obtém-se as seguintes epressões que permitem calcular os momentos principais de inércia: + (3.57) + ( ) (3.58) ( ) + 4 onde representa o momento principal de inércia máimo e representa o momento principal de inércia mínimo. Se os eios principais de inércia, definidos pelo ângulo α definido pela epressão (3.54), contiverem o centro de gravidade, então estes designam-se por eios principais centrais de inércia. Note que: O produto de inércia,, associado aos eios principais de inércia é nulo: 0. 0

19 Capítulo Determinação dos eios principais de inércia por métodos gráficos Círculo de inércia de Land partir do conhecimento dos momentos de ª ordem (, e ) é possível construir o círculo de Land e definir os momentos de ª ordem em relação a outro qualquer sistema de eios e, inclusive, determinar os eios que conduzem aos momentos principais de inércia. Figura 3. Círculo de inércia de Land. + + cos α senα BC + CD DE BE ' (3.59) + cos α + senα C CD + DE E ' (3.60) ' ' senα + cos α D + E (3.6) Sabendo que os eios principais são orientados de forma a que o correspondente produto de inércia é nulo, então a definição das suas orientações no círculo de Land começa por ser feita iniciando com o traçado da linha, onde se mede os momentos de inércia (neste caso e ), que une o centro do círculo e o ponto principal. Os eios principais de inércia são então definidos unindo a origem do sistema de eios com os pontos onde a linha referida intersecta com a circunferência (ver figura 3.3). 03

20 eometria de massas Figura 3.3 Determinação dos eios principais de inércia pelo círculo de Land Círculo de inércia de Mohr O círculo de Mohr, vulgarmente utilizado para estudar estados planos de tensão (σ, σ, τ ), permite também obter os momentos de ª ordem em qualquer sistema de eios ortogonais. figura 3.4 ilustra como se constrói o círculo de Mohr e como se pode determinar os momentos de ª ordem noutro referencial ortogonal qualquer, conhecida a sua orientação, ou como se determina as direcções principais de inércia. O traçado do círculo de Mohr é obtido, conhecido, e, percorrendo os seguintes passos: º) Traça-se um sistema de eios ortogonal, em que na abcissa (com sentido positivo para a direita) se marca os valores dos momentos de inércia e nas ordenadas (com sentido positivo para baio) se marca os valores dos produtos de inércia. º) Marca-se o ponto X, por onde passará o eio OX, com as seguintes coordenadas: abcissa igual a e ordenada, ou seja, X(, ). 3º) Marca-se o ponto, por onde passará o eio OY, com as seguintes coordenadas: abcissa igual a e ordenada, ou seja, Y(, ). 04

21 Capítulo 3 4º) O segmento de recta que une os pontos X a Y corresponde ao diâmetro do círculo de Mohr, sendo o seu centro, C, definido pela intersecção do segmento XY com o eio das abcissas. 5º) Depois de se efectuar o traçado da circunferência, define-se o pólo P (que está associado ao ponto que define a origem dos eios de inércia representados no círculo de Mohr) fazendo o seguinte: traça-se uma linha paralela ao eio OX (geralmente horizontal) que passe no ponto X, o pólo P encontra-se no outro ponto de intersecção com a circunferência; ou, em alternativa, traça-se uma linha paralela ao eio OY (geralmente vertical) que passe no ponto Y, o pólo P encontra-se no outro ponto de intersecção com a circunferência. Figura 3.4 Círculo de Mohr. Os valores dos momentos principais de inércia, e, determinam-se medindo a abcissa dos pontos que se encontram na intersecção da circunferência com o eio das abcissas. Os respectivos eios principais de inércia são traçados ligando o pólo P com cada um desses pontos de intersecção. 05

22 eometria de massas 3.6 CRCTERÍSTCS MECÂNCS DE ELEMENTOS DE CONSTRUÇÃO METÁLC determinação da resistência e da deformabilidade de elementos estruturais, vulgarmente utilizados na construção civil, eige o conhecimento das suas características mecânicas associadas à geometria de massas. Dado que as secções correntemente utilizadas em elementos estruturais de construção metálica não apresentam geometrias elementares, é vulgar a utilização de tabelas que indicam os valores associados às diferentes grandezas abordadas neste capítulo. ssim, nesta secção apresenta-se a nomenclatura e as convenções que são utilizadas nas tabelas correntes de perfis (secções) usados na construção metálica e a sua utilização de forma a etrair a informação necessária para as caracterizar mecanicamente. Os elementos de construção metálica (figura 3.5) consistem em perfis em aço laminado a quente. Os perfis correntemente utilizadas têm a forma de, L, U, T e Z, para secções abertas (figura 3.6); e, perfis tubulares de secção circular, quadrada ou rectangular (figura 3.7). Figura 3.5 Sistemas de eios de referência segundo o EC3 e EC4. a) Perfil b) Perfil L c) Perfil U d) Perfil T e) Perfil Z Figura 3.6 Perfis de elementos metálicos de secção aberta. 06

23 Capítulo 3 a) Secção circular b) Secção quadrada c) Secção rectangular Figura 3.7 Perfis tubulares de elementos metálicos. s características geométricas destes tipos de perfis encontram-se tabeladas (ver figura 3.8 e aneo ). O sistema de eios de referência utilizado nessas tabelas é definido de acordo com as normas europeias de projecto de estruturas, nomeadamente, o Eurocódigo 3 (Projecto de estruturas de aço) e o Eurocódigo 4 (Projecto de estruturas mistas aço-betão). ssim, o sistema de eios de referência é definido de forma que (ver figura 3.5): a sua origem passa pelo centro de gravidade; o eio OY (ou na nomenclatura da tabela) é o eio de maior inércia; o eio OZ (ou zz) é o eio de menor inércia; e, o eio OX (ou ) é o eio longitudinal da barra, perpendicular à secção. Eemplo: Determinar o momento de inércia do perfil PE-40 relativamente ao eio que passa pela fibra inferior da secção. Da tabela que está na figura 3.8 tira-se que: 54cm 4, 6.4cm e a distância entre os eios e é d 7cm. Então, aplicando o teorema de Steiner, epressão (3.9), calcula-se o momento de inércia : + d cm m 07

24 eometria de massas 08 Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis,.C. (000) Tabelas Técnicas, Edições Técnicas E.T.L., L. da. Figura 3.8 Características geométricas de perfis metálicos do tipo PE (NP-6 e DN-05).