Exercícios Resolvidos Integral de Linha de um Campo Escalar
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- Adriano Câmara Benevides
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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Eercícios Resolvidos Integral de Linha de um ampo Escalar Eercício onsidere o caminho g : [, ] R definido por g(t) = (e t cos(πt), e t sen(πt)). a) alcule o comprimento L(g) do caminho g. b) alcule a coordenada do centróide da curva representada por g. Resolução: Na Figura encontra-se representada a linha descrita pelo caminho g. Figura : a) Dado que g é de classe, o comprimento é dado pelo integral Sendo e então, L(g) = g (t) dt. g (t) = (e t cos(πt) πe t sen(πt), e t sen(πt) + πe t cos(πt)) L(g) = g (t) dt = g (t) = + π e t + π e t dt = + π (e ). b) Por definição, a coordenada do centróide é dada pelo integral = L(g) (g(t)) g (t) dt = Integrando por partes duas vees obtemos = (e ) e (e )( + π ). e t cos(πt)dt.
2 Eercício Um aro circular de raio rola sem desliar ao longo de uma linha recta. alcule o comprimento da trajectória descrita por um ponto do aro entre dois contactos consecutivos com o solo. Resolução: Podemos colocar o aro no plano O a rolar ao longo do eio O de tal forma que, no início do movimento, o centro se encontra no ponto (, ) e o ponto do aro em questão se encontra na origem. O facto de o aro rolar sem desliar significa que quando o centro se desloca uma distância s ao longo do eio O, o ponto no aro descreve, em relação ao centro do aro, um arco de circunferência de comprimento s. Por eemplo, num quarto de volta do aro, o centro sofrerá um deslocamento de comprimento π. A curva assim descrita por um ponto do aro chama-se ciclóide. s s π Figura : Esboço da ciclóide O movimento do ponto do aro pode ser decomposto em dois: o movimento do centro do aro e o movimento do ponto em relação ao centro. Se usarmos a distância percorrida pelo aro como parâmetro, a trajectória do centro é descrita pelo caminho g : [, π] R definido por g (s) = (s, ). Por outro lado, a trajectória do ponto no aro em relação ao centro é descrita pelo caminho g : [, π] R definido por g (s) = (cos( π s), sen( π s)) = ( sen s, cos s), já que o vector que une o centro ao ponto do aro começa por faer um ângulo de π com o eio O e roda no sentido dos ponteiros do relógio. Portanto, a trajectória do ponto no aro é descrita pela soma destes dois caminhos g(s) = g (s) + g (s) = (s sen s, cos s). O comprimento deste caminho é dado pela epressão π = g (s) ds onde = g([, π]). omo g (s) = ( cos s, sen s)
3 temos g (s) = cos s + cos s + sen s = ( cos s) e, portanto, = = π = ( cos s)ds du ( u) u du + u = 8 ( ) onde na passagem da primeira para a segunda linha se usou a mudança de variável u = cos s. Eercício 3 Um avião a hélice desloca-se em linha recta a uma velocidade constante igual a. A hélice do avião tem raio r e roda a velocidade constante, efectuando ω voltas por unidade de tempo. Determine o comprimento da trajectória descrita por um etremo da hélice quando o avião se desloca L unidades de comprimento. Resolução: Podemos imaginar o avião a deslocar-se ao longo do eio O e de tal forma que, no instante inicial, o centro da hélice se encontra na origem. Então a trajectória percorrida pelo centro da hélice é descrita pelo caminho g : [, L] R 3, definido por g (t) = (t,, ). Por outro lado, a hélice roda a uma velocidade constante em relação ao centro, num plano perpendicular ao eio O. Na Figura 3 apresenta-se a trajectória do etremo da hélice e a respectiva projecção no plano =. = π Figura 3: Trajectória do etremo da hélice 3
4 Em relação ao centro, um etremo da hélice descreve uma circunferência definida pelo caminho g : [, L] R 3 g (t) = (, r cos(πωt), r sen(πωt)). Assim, a trajectória de um etremo da hélice é descrita pela soma dos dois caminhos em R 3, ou seja, é descrita pelo caminho g : [, L] R 3, definido por g(t) = (t, r cos(πωt), r sen(πωt)). O comprimento deste caminho é dado pelo integral L = g (t) dt onde = g([, L]). Sendo então g (t) = (, πωr sen(πωt), πωr cos(πωt)), g (t) = + π r ω sen (πωt) + π r ω cos (πωt) = + π r ω e, portanto, = L + π r ω Eercício Um fio, com densidade de massa ρ(,, ) = ( + ), tem a configuração da intersecção das superfícies alcule a massa de. S = {(,, ) R 3 : = + } P = {(,, ) R 3 : + = }. Resolução: Na Figura encontra-se representada a intersecção do cone S com o plano P que é paralelo ao eio O. A massa do fio é dada pelo integral de linha m = ρ. Para calcular este integral de linha é conveniente determinar um caminho de classe que descreva a curva. omecemos por determinar a equação da projecção de no plano O, que designamos por : { = + = + = ( ) + + (+) =. Portanto, a projecção é uma elipse centrada no ponto (,, ) com eio maior de comprimento e eio menor de comprimento tal como se representa na Figura. Assim, a curva pode ser descrita pelo caminho g(t) = (cos t, sen t, sen t), t [, π],
5 S P S P Figura : Intersecção do cone S com o plano P e respectiva projecção no plano = onde se usou o facto de que, quando t percorre o intervalo [, π], a função (cos t, sen t, ) descreve a projecção, e Então, temos e, portanto, = ( (g(t))) = ( ( sen t )) = sen t. m = g (t) = ( sen t, cos t, cos t) g (t) = sen t + cos t + cos t = + cos t ρ(g(t)) = cos t( sen t + ) = sen(t), π ρ(g(t)) g (t) dt = π sen(t) + cos tdt = π = = sen(t) + cos tdt [ ( + cos t) (3 3 ). ] π 5
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