Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial

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1 1/9 Resistência dos Materiais 003/004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial 5ª Aula Duração - Horas Data - 6 de Outubro de 003 Sumário: Caso Particular do Estado Plano de Tensão. Circunferência de Mohr. Objectivos da Aula: Apreensão da construção Gráfica de Mohr para um Estado Plano de Tensão. Completar o estudo do Estado de Tensão num ponto e resolver as dúvidas ainda existentes respeitantes ao mesmo. Resumo do Conteúdo da Aula 1- Caso Particular do Estado Plano de Tensão: As tensões no sistema de eixos O são xx, yye como se representa na figura 4.. Pretendem-se as tensões no sistema de eixos Ox y definido de tal modo que os ângulos formados por Ox e Ox e Oy e Oy têm a grandeza,, como se representa na referida figura. O referido ângulo é medido a partir do eixo dos xx (sentido positivo) e no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Considerando o elemento triangular ABC e considerando o equilíbrio de forças na direcção do eixo dos x x, F x = 0, obtém-se: x x da = xxdacoscos+ yydasensen+ dacossen+ dacossen (5.1) ou seja: x x = xxcos + yysen + cossen (5.) tendo em conta que: 1 cos 1 cos cos = +, sen = e sencos= sen a equação 4.8 pode escrever-se com a forma 1+ cos 1 cos x x = xx + yy + sen (5.3)

2 /9 simplificando obtém-se: + xx yy xx yy x x = + cos+ sen (5.4) Considerando o equilíbrio de forças segundo o eixo dos y y no elemento ABC de espessura unitária, obtém-se a tensão tangencial ou de corte na faceta BC como sendo: yy xx x y = sen+ cos (5.5) y y D C A yy F E B xx x y xx y 90º x x x y y x yy x (a) (b) Figura 5.1: Mudança de Eixos. De forma análoga, considerando o elemento DEF se obtém as tensões y y. A fórmula que permite a obtenção de, pode ser obtida de 5.4 substituindo por +90º, ou seja: y y + xx yy xx yy y y = cos sen (5.6) Adicionando as equações 5.4 e 5.6 obtém-se:

3 3/9 xx + yy = x x + y y (5.7) donde se conclui que a soma dos elementos da diagonal de cada um dos tensores e é idêntica qualquer que seja o ângulo considerado ou seja o tr() é um invariante do tensor das tensões. Resultados análogos aos anteriores podem ser obtidos considerando o produto matricial representado pela equação 4.6, tendo em conta que no estado plano de tensão não existem tensões na faceta perpendicular ao eixo dos zz. A tensão normal x x tem um valor máximo para um certo ângulo. A determinação dos valores extremos de x x pode ser feita derivando em ordem a a expressão 5.4 e igualando a zero, ou seja dx x xx yy = sen+ sen= 0 donde: d tan gp = (5.8) xx yy / ( ) O ângulo p representa o ângulo formado pela direcção principal máxima ou mínima com a direcção do eixo dos xx como se representa na figura 5.1. Existem dois valores possíveis para p desfasados de 90º, como se mostra na referida figura. Note-se que as facetas com as orientações definidas pelos ângulos p e p são facetas em que a tensão tangencial ou de corte é nula, como se constata substituindo os valores de p e p na expressão 5.4. Os planos definidos pelos referidos ângulos são planos principais e as tensões actuantes nestes planos são tensões principais. As grandezas das tensões principais obtêm-se substituindo os valores dos senos e cosenos dos ângulos p e p definidos pela equação 5.8, na expressão 5.4, obtendo-se os valores máximos e mínimos das tensões x x : ( ) + xx yy = ± + xx yy max x x min (5.9) Estas tensões são usualmente designadas por 1 e correspondendo 1 ao valor da tensão principal máxima e ao valor da tensão principal mínima. Estes valores também podem ser calculados a partir do tensor das tensões calculando os valores próprios do referido tensor.

4 4/9 B p xx yy xx yy O p A xx yy OA = OB = + sen P = sen P = xx yy + ( xx yy) / cosp = cos P = xx yy + Figura 5.: Ângulos p para as Tensões Principais. - Circunferência de Mohr Considerando as fórmulas obtidas para as tensões no processo de mudança de eixos, ou seja: xx + yy xx yy x x = + cos+ sen yy xx x y = sen+ cos (5.10) Estas equações podem ser escritas com a forma xx + yy xx yy x x = cos+ sen xx yy x y = sen+ cos (5.11) Elevando ao quadrado as duas expressões, adicionando e simplificando, obtém-se: xx+ yy xx yy x x + = + x y (5.1)

5 5/9 Uma vez que as tensões no sistema de eixos O são conhecidas e as tensões no sistema de eixos Ox y são desconhecidas e variáveis, a equação anterior é equivalente à equação de um círculo no plano,. xx+ yy xx yy x x + = + x y (5.13) Representa um círculo no plano (,), de raio b e coordenada do centro (a,0), ou seja: ( ) a x y b x x + = onde xx + yy a = OC= xx yy b= R = + (5.14) Os pontos E e F da Figura 5.3 representam as tensões principais 1 e. As observações seguintes podem ser feitas no círculo de Mohr construído a partir das tensões xx, yy, num ponto: 1 - As Tensões Principais são 1 e e ocorrem nos pontos F e E respectivamente. Para estes valores das Tensões normais não existem tensões de Corte. - A tensão de corte mais elevada ocorre no ponto G e corresponde a max e é 1. A tensão normal numericamente igual ao raio do circulo ou igual a ( ) correspondente é: ( 1+ ). 3- No caso de 1 = o círculo de Mohr degenera num ponto e não se desenvolvem tensões de corte no ponto no plano O. 4- No caso de ser xx yy 0 + =, o centro do círculo de Mohr coincide com a origem do sistema de eixos O e um estado de corte puro existe.

6 6/9 xx yy G A( xx, ) O C E p F B( yy, ) xx yy + xx + yy a = OC = Figura 5.3: Circulo de Mohr 3- Mudança de Eixos usando a Construção de Mohr A transformação de um estado de tensão definido no sistema de eixos Oz noutro correspondente a um sistema de eixos Ox y pode ser feito recorrendo à aplicação directa das equações de equilíbrio da estática como foi referido anteriormente usando as equações 5.4,5.5 e 5.6. Pode facilmente fazer-se um programa para computador para efeitos de utilização destas equações. É possível como foi referido construir o circulo de Mohr e fazendo uso do referido circulo determinar as tensões no novo sistema de eixos.

7 7/9 Existe mais que um método para esse efeito, não vamos descrever todos os métodos possíveis, mas somente o método que designaremos por método das facetas. Este método pode ser facilmente justificado. Começa por desenhar-se o círculo de Mohr a partir do conhecimento existente do estado de tensão no Sistema de Eixos O, xx, yy, e pretende determinar-se o estado de tensão no plano a-a representado na figura 5.4. A posição do Centro está assinalada, assim como o ponto A correspondente ao Estado de Tensão Inicial xx, yy,. É possível mostrar que traçando uma paralela a a-a passando por A se obtém o ponto B cujas coordenadas são as tensões x x, x y na faceta que tem a orientação a-a e a qual tem normal Ox. Este método requer alguma justificação. y y a yy x xx x x x y xx x a O C A B( x x, x y ) p α E xx + yy xx yy Figura 5.4: Mudança de Eixos O ângulo ACE é como se viu anteriormente igual a p. Por outro lado AB é perpendicular a Ox, dividindo ao meio o ângulo ACB, α, ou seja α = p -. Consequentemente o ângulo BCE é α = - p. As tensões no novo sistema de eixos são, como se viu anteriormente, as seguintes: xx + yy xx yy x x = + cos+ sen yy xx x y = sen+ cos

8 8/9 Tendo em conta que xx yy = Rcos p xx yy = Rsen p sendo R = + as equações das tensões no novo sistema de eixos tomam a forma: + ou seja x y = Rcos psen+ Rsenpcos= Rsen( p) xx yy xx yy x x = + R ( cos pcos+ sen psen) = x x = + R cos( p) Note-se que os segundos membros destas equações têm a ver com a posição do ponto B na figura 5.4. Só há que ter em atenção a questão do sinal da tensão tangencial que é contrário ao valor que tem na figura, mas se se estabelecer uma regra por forma a tornar compatível o sinal então podemos utilizar a construção representada na figura 5.4 para efeitos de obtenção das tensões de corte no novo sistema de eixos. A regra que se propõe é a seguinte: Se o ponto de intersecção da linha considerada a partir de A intersecta o círculo de Mohr acima do eixo O, as tensões de corte no elemento provocam um momento com o sentido dos ponteiros do relógio, caso contrário provocam um momento com o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. 5. Problemas Propostos - Circulo de Mohr (Problemas a resolver nas Aulas Práticas) 1. Considere um estado de tensão plano cujas componentes das tensões são: = ij 60 0 a)desenhe um elemento de dimensões infinitesimais, dx e dy e represente as tensões a actuarem no elemento. b)desenhe o círculo de Mohr correspondente ao estado de tensão referido. c)indique no círculo de Mohr os pontos A e B que correspondem ao estado de tensão que se obtém nas direcções x e y que fazem 40º no sentido dos ponteiros do relógio com o sistema de eixos inicial. d)determine o tensor das tensões no sistema de eixos Ox y. e) Determine as tensões principais. +. Considere um estado de tensão plano cujas componentes das tensões são :

9 9/9 = ij MPa a)desenhe um elemento de dimensões infinitésimais, dx e dy e represente as tensões a actuarem no elemento. b)desenhe o círculo de Mohr correspondente ao estado de tensão referido. c)indique no círculo de Mohr os pontos A e B que correspondem ao estado de tensão que se obtém nas direcções x e y que fazem 35º no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio com o sistema de eixos inicial. d)determine o tensor das tensões no sistema de eixos Ox y. e) Determine as tensões principais. 3. Considere um estado de tensão plano cujas componentes das tensões são : = psi ij a) Desenhe um elemento de dimensões infinitésimais, dx e dy e represente as tensões a actuarem no elemento. b) Desenhe o círculo de Mohr correspondente ao estado de tensão referido. c) Indique no círculo de Mohr os pontos A e B que correspondem ao estado de tensão que se obtém nas direcções x e y que fazem 60º no sentido dos ponteiros do relógio com o sistema de eixos inicial. d) Determine o tensor das tensões no sistema de eixos Ox y 5- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995, Páginas - Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, Páginas. - J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia. No Final da Aula deve estar capaz de Responder a questões tais como: - Deduza uma expressão que permita determinar o tensor das tensões no Sistema de Eixos Ox y a partir das tensões no sistema de Eixos O. - Justifique a Construção de Mohr para um Estado Plano de Tensão. - Determine Graficamente as tensões no sistema de Eixos Ox y conhecido o tensor das Tensões no Sistema de Eixos O. - Construa o círculo de Mohr para um Estado Uniaxial de Tensão. - etc.