Tensores cartesianos. Grandezas físicas como funções de posição e/ou de tempo

Transcrição

1 ensores cartesianos Quantidades (grandeas) físicas: Classificação: Escalares Vectores ensores de segunda ordem... ensores de ordem ero ensores de primeira ordem ensores de segunda ordem... Relacionadas a uma dada posição e um dado tempo Campos físicos: Grandeas físicas como funções de posição e/ou de tempo Campo escalar Campo vectorial Campo tensorial de segunda ordem...

2 O tensor de segunda ordem é plenamente determinado no ponto P quando sabemos 3 vectores de pontos de aplicação P, relacionados aos 3 planos diferentes, não paralelos, que se intersectam no P Escalares 1 valor é suficiente para a descrição completa Eemplos: temperatura, massa, densidade, tempo Vectores É necessário ter 3 dados para a descrição completa de um vector livre Representação geométrica Ponto de aplicação Direcção Sentido Intensidade O vector é plenamente determinado no ponto P quando sabemos: direcção intensidade sentido ensores de segunda ordem É necessário ter 9 dados para a descrição completa

3 Descrição matemática dos tensores Componentes num dado referencial Número de componentes necessárias: 3 n em 3D n em D onde n corresponde à ordem do tensor Sistema de coordenadas ou referencial cartesiano rês eios rectos mutuamente perpendiculares Nota: Grandeas físicas: Componentes são números Campos físicos: Componentes são funções Vectores base com a norma igual Habitualmente directo Regra de mão direita i k i j j k René Descartes ( ) Dedos de para Dedos de para Dedos de para Polegar mostra o sentido positivo de Polegar mostra o sentido positivo de Polegar mostra o sentido positivo de

4 i j k 3 1 i i i e e e e k j i ( ),,,, ) ( vectorial matricial Representação geométrica no referencial cartesiano 3 1 e e k e e j e e i Vectores Representação matemática Definição A grandea física chama-se tensor quando as suas componentes obedecem à lei de transformação ensores cartesianos A lei de transformação é válida apenas no sistema cartesiano

5 Dedução da lei de transformação D α α Rotação do sistema de coordenadas α α cos sin cos sin cos sin sin cos R é uma matri ortogonal R 1 R R cos sin sin cos Para o referencial directo det R 1 Componentes de vectores base do sistema rodado, ou seja os cosenos directores dos versores dos eios rodados, formam as linhas de matri rotação [R]

6 ensores de segunda ordem Representação das componentes na forma matricial , -, A lei de transformação R R R R ensores de ordem maior...

7 A faceta e a normal à faceta são mutuamente perpendiculares A faceta corresponde a uma recta ( um corte ) onde actuam duas componentes do tensor considerado: a componente normal (diagonal, que tem o mesmo índice como a normal à faceta) e a componente tangencial (fora da diagonal, que tem dois índices) Componente normal, diagonal acetas positivas acetas negativas Componente tangencial, fora da diagonal o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o à direcção Esta representação geométrica será igual para o tensor das tensões, mas diferente para o tensor das deformações As comp. normais obedecem as regras de representação de tracção/compressão As comp. tangenciais positivas apontam para os quadrantes positivos

8 Álgebra tensorial Cálculo matricial e vectorial até tensores de segunda ordem ensores cartesianos de segunda ordem ensor simétrico ensor antisimétrico 0 ij ji ij ji ii A propriedade mantém-se, qualquer que seja o referencial Cada tensor de segunda ordem pode ser escrito como soma da sua parte simétrica e antissimétrica S A S ( )/ A ( )/ ij ij ji ij ij ji

9 Qualquer tensor pode ser escrito como a soma da sua parte esférica (isotrópica, volúmica, volumétrica) e desviadora (tangencial) I D m D i j Valor médio Valores e vectores próprios (principais) ( I) v 0 (Eq. 1) ij ij Dii ii m ( )/3 em 3D m Propriedade: o tensor desviador tem o traço nulo corresponde a n equações algébricas lineares homogéneas Eiste solução não trivial para {v} quando det ( I) 0 Os números λ que asseguram a nulidade do determinante chamam-se valores próprios, pode-se provar que são reais no caso dos tensores simétricos ( )/ em D Assim as equações (Eq. 1) são linearmente dependentes, por isso o número das soluções para {v} relacionado a cada λ é infinito m

10 D I ( ) ( I I ) 0 det 1 ( ) I1 m traço m I det( ) I1 I 0 Invariantes Escalares que não alteram o seu valor com a rotação do referencial I 1, I são invariantes fundamentais Nota: Invariante dos vectores: norma Em D a resolução pode ser facilmente eprimida analiticamente O problema pode ser definido de três maneiras equivalentes: 1. Resolver a equação característica ->valores próprios ->vectores próprios. Encontrar o máimo e o mínimo dos valores diagonais 3. Encontrar a rotação para a qual 0 cos sin sin cos sin cos sin cos ( ) ( sin cos cos sin ) A lei de transformação

11 cos sin cos sin sin cos R para 0 ma m R 0 min m R tg ( ) de até ou de até p ( min ) ( ma ) Justificação da circunferência ( ) R m ou ( ) R m Cristian Otto Mohr ( )

12 Valores fora de diagonal m in ( ) Cada ponto da circunferência corresponde às omponentes do vector na faceta correspondente Circunferência de Mohr ( ) m tg p ( ) p ( ) Pólo das normais ma 0 ( ) ( )/ R p Valores diagonais -> positivos para baio -> positivos para cima 0 R

13 R máimo da componente fora de diagonal, neste caso as componentes diagonais não se anulam, ambas têm o valor m 0 ma 0 min,ma ( min ) R ma ( ma ) Depois da resolução dos valores e direcções principais convém verificar os invariantes (fundamentais) min m,ma m,m a,ma m,m a m Invariantes traço det ( ) ( ) Referencial original Referencial alindado com dir. principais ma min ma min

14 Determinação das componentes sabendo três valores diagonais Sabemos:,, a Devido ao referencial introduido: b a c incógnitas:,, c b a b c ( ) sin ( ) sin( ) ( ) cos cos a ( ) sin ( ) sin( ) ( ) cos cos Resolver,

15 3D Os valores principais são 3, contudo podem ser múltiplos Calculam-se como raíes da equação característica I ( ) ( 3 I I I ) 0 det I1 I I3 0 Eistem pelo menos três vectores principais normaliados (e. do sentido) Quando os valores próprios são diferentes, os vectores principais normaliados são 3 (unicamente definidos ecepto do sentido) mutuamente ortogonais Invariantes fundamentais I1 3m traço I det I 3 det ( ) ( ) det det I 1, I e I 3 são também chamados invariante linear, quadrático, cúbico Outros invariantes: combinação de I 1, I e I 3, e também por eemplo valores próprios

16 Valores próprios Os vectores próprios (ortogonais) definem um referencial em que a matri de componentes é diagonal Valores na diagonal são os valores próprios (forma canónica) O máimo dos valores próprios é o máimo de todas as componentes normais, qualquer que seja o referencial O mínimo dos valores próprios é o mínimo de todas as componentes normais, qualquer que seja o referencial A matri de rotação [R] tem as linhas formadas pelos vectores próprios normaliados A solução é única, por isso encontrando a matri de coeficientes diagonal, pode-se concluir que o referencial é formado pelos vectores próprios e que os valores na diagonal são principais, um deles o máimo e um deles o mínimo Depois de calcular os valores próprios, usa-se o sistema de equações (Eq. 1) com o valor próprio substituído, para calcular a direcção principal correspondente a este valor

17 Casos particulares No caso particular da figura ao lado, vectores () e (3) não são unicamente definidos. odos os vectores que satisfaem a equação com o valor λ λ 3 substituído, formam um plano, cuja normal coincide com a direcção (1) () (1) (3) qualquer direcção é principal A 0 D 0 D B 0 0 C Já é um valor principal Vector principal correspondente: Simplificação para o caso D ( ) v ( 0,1,0 ) A D D C

18 3D Depois da resolução dos valores e direcções principais convém verificar os invariantes e a ortogonalidade de vectores próprios I Invariantes no referencial principal I I3 1 3 Valores máimos fora de diagonal Usando as conclusões de D Círculo de Mohr 3 1 ( 1) ( 3) ( ) ,ma Círculos fundamentais 1 3