Departamento de Matemática e Ciências Experimentais FÍSICA 12.º Ano

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1 Departamento de Matemática e Ciências Eperimentais FÍSICA 12.º Ano Teto de apoio n.º 1 Assunto: Calculo vectorial O vector é uma entidade matemática caracteriada por três elementos: módulo, (magnitude ou intensidade), direcção e sentido. Normalmente o vector é livre; se, no entanto, representar uma grandea física, cujo efeito depende do ponto de aplicação do vector, temos um vector ligado. A direcção de um vector é representada por um feie de rectas paralelas; uma dessas rectas, que constitui o suporte do vector, é a sua linha de acção. A cada direcção correspondem dois sentidos; o sentido do vector é indicado pela seta colocada na sua etremidade. Na letra de imprensa a letra é normalmente substituída por um tom mais carregado; deste modo, sempre que o símbolo de uma grandea apareça em tom mais escuro, significa que se trata de um vector. Por eemplo, v representa a grandea velocidade (vectorial), ao passo que v indica o módulo, intensidade ou magnitude da velocidade. Graficamente o módulo de um vector é representado pelo comprimento do segmento de recta orientado; corresponde, utiliando uma escala conveniente, ao valor numérico, ou seja, à medida da grandea física que representa. Por eemplo, o módulo (magnitude ou intensidade) de um vector, que represente uma força, será epresso em Newton. Entende-se por vector unitário (ou versor) de uma dada direcção, um vector de módulo igual à unidade, cuja direcção e sentido são os definidos pela direcção e sentido dados. Por eemplo, o vector unitário da tangente a uma curva será um vector de módulo igual à unidade, com a direcção da tangente (o sentido dependerá da situação particular). De acordo com o que foi dito, é fácil compreender que qualquer vector v pode ser representado em função do seu módulo v e do seu vector unitário u v, o qual também se pode designar por versor de v : v v = v u (1) ou ainda v v = v. vers (2) v v O versor de (ou ainda o vector unitário u ) pode ser calculado através da relação: v vers v = (3) v Dois vectores paralelos têm o mesmo vector unitário (ou versor). Um vector é uma unidade independente de qualquer sistema de coordenadas. Por isso é de grande utilidade na representação de leis da Física, como por eemplo, a 2.ª lei de Newton, que é válida independentemente do sistema de coordenadas utiliado. O tensor, de que o vector é um caso particular, permite ainda uma maior independência dos sistemas. O facto do vector ter uma realidade independente de qualquer sistema de eios, não impede, porém, que, por vees, tenhamos necessidade de o representar em função das suas componentes cartesianas. Trata-se de calcular a epressão vectorial de um vector ou a sua epressão cartesiana, como veremos de seguida.

2 Representação cartesiana de um vector Por uma questão de simplicidade na eposição, começaremos por referir o vector a um sistema de eios, no plano e só depois se generaliará para o espaço. Seja então o sistema de eios cartesianos X0Y representado na figura I-1 e v um vector dado. Os vectores e e e são os vectores unitários (ou versores) dos eios dos XX e dos YY, respectivamente. Figura I-1 - Representação cartesiana de um vector num plano: sistema de eios e vectores unitários. Para achar as componentes de v segundo os dois eios, teremos de projectar o vector segundo cada um dos eios, tal como está representado na figura I-2. A' -projecção da origem do vector sobre o eio dos XX B -projecção da etremidade do vector sobre o eio dos XX A B será a projecção do módulo do vector sobre o eio dos XX se lhes atribuirmos um sentido, determinado pelo vector v, teremos a componente segundo o eio dos XX A figura 1-3 apresenta o vector e as suas componentes ortogonais. Figura I-2 -Construção das componentes do vector. Para verificar se, na realidade, v e v considerar componentes do vector aplicar-lhes a regra do paralelogramo. se podem v, basta Figura I-3 -Componentes do vector segundo XX e YY. Com efeito, construindo o paralelogramo (neste caso trata-se de um rectângulo), por translação de v e v que são lados consecutivos, obtém-se como resultante, a diagonal v (figura I-4). Podemos então escrever: v = v + v (4) Figura I-4. -Verificação de que v é resultante de v e v. Seguidamente vamos representar cada uma das componentes em função do seu módulo, utiliando a epressão (1):

3 v v = ve = v e Finalmente, da conjunção de (4) e (5) obtemos a epressão cartesiana (ou a representação cartesiana) do vector v, no plano: v = v e + v e (6) Generaliando para o espaço tridimensional, consideremos o triedro triortogonal directo, figurado na figura I-5. Figura I-5 -Representação cartesiana de um vector no espaço: triedro triortogonal directo. O eio dos XX roda de 90 no sentido directo, no plano X0Y; até encontrar o eio dos YY. Por sua ve o eio dos deverá rodar, no plano Y0Z, também 90 e também no sentido directo até encontrar o eio dos. É esta a raão por que se chama a um referencial como o da figura I-5, um triedro triortogonal directo. Para calcular as três componentes do vector v, vamos começar por projectar o vector, suposto aplicado em 0, para maior simplicidade, no plano XOY (figura I-6). Figura I-6 -Projecção XOY OP ' do vector no plano OP' será a projecção de OP no plano XOY. Seguidamente vamos projectar P' sobre o eio dos XX e sobre o eio dos YY (figura I-7). Figura I-7 -Projecção do ponto P' sobre o eio dos XX e sobre o eio dos YY.

4 É fácil de reconhecer que OP" representará o módulo da componente do vector segundo o eio dos XX e que OP"' representará o módulo da componente segundo o eio dos YY (figura I-8). Figura I-8 -Componentes do vector segundo os eios dos XX e dos YY. Pode então escrever-se que: OP' = v + v Finalmente. na figura I-9. representa-se a componente segundo o eio dos ZZ. Figura I-9 -Componente do vector segundo o eio dos ZZ. Reunindo numa só figura (figura I-10) o resultado da decomposição do vector v, segundo os três eios ortogonais, pode observar-se também a posição que ele ocupa em relação ao paralelepípedo rectângulo, cujas arestas concorrentes em 0, são as componentes v, v e v. Então: Se designarmos por e, v = v + v + v (7) e e e vectores unitários dos eios dos XX, dos YY e dos ZZ, respectivamente, podemos escrever: v v e + v e + v e os Figura I-10 -O vector v é a diagona1 do paralelepípedo cujas arestas são as componentes segundo os três eios. = (8) Convida-se o leitor a observar, na figura I-10, a aplicação sucessiva da regra do paralelogramo: no plano X0Y em que a soma de v com v dá o vector OP ' (projecção

5 de v sobre o plano X0Y); no plano diagonal 0APP', em que a soma de v com OP ' dá o vector v. Relações entre o módulo de um vector e os das suas componentes. Cosenos directores 1) No plano Considerando a figura 1-11, onde a representa o ângulo formado pela linha de acção do vector com a parte positiva do eio dos XX; tem-se: e v =vcosα (9) v =vcosβ. Aos valores cosα e cosβ dá-se o nome de co-senos directores da direcção do vector e costuma-se designá-los por a e b, respectivamente. Assim, e a= cosα Figura I-11 Co-senos directores da direcção do vector. b= cosβ. O módulo do vector está relacionado com o módulo das componentes, pelo teorema de Pitágoras: II) No espaço v v + v = (10) Introduindo mais um ângulo, γ, que a direcção do vector fa com o eio dos ZZ, ter-seá: v =vcosα a= cosα v =vcosβ b=cosβ (11) v =vcosγ c=cosγ Aplicando por duas vees o teorema de Pitágoras (ao triângulo rectângulo do plano XOY e ao triângulo rectângulo do plano APP' da figura I-10) chega-se à relação: v v + v + = v. (12) 2 Verifica-se ainda, recorrendo à relação fundamental da trigonometria, que: a 2 +b 2 +c 2 =1. (13)

6 Operações sobre vectores I) Adição A regra do paralelogramo para somar, graficamente, 2 vectores, é de todos conhecida; como simplificação desta regra usa-se, também, a do triângulo (figura I-12). Figura I-12 -Adição de dois vectores: regra do triângulo. Quando se precisa de somar mais de dois vectores é pouco cómodo aplicar sucessivamente a regra do paralelogramo. Usa-se então a regra indicada na figura I-13 que não é mais que uma aplicação sucessiva da regra do triângulo: Figura I-13 -Adição de vários vectores: regra prática. Analiticamente e sempre que os vectores se apresentam na sua forma cartesiana, somam-se vectores, somando as componentes relativas aos mesmos eios; deste modo, dados a e b, segundo: a = ae + a e + ae b = b e + b e + b e calcula-se o vector soma a +b através da operação: a + b = a + b e + a + b e + a ( ) ( ) ( + b ) e Deve chamar-se a atenção do leitor para o facto de que o módulo do vector soma não é igual à soma dos módulos dos vectores parcelas. Só no caso, muito particular, da direcção dos vectores ser a mesma é que isso acontece.

7 Cálculo do módulo do vector soma, no caso geral Na figura I-14 estão representados os vectores a e b cuja soma se pretende calcular. Figura I-14 -Cálculo do vector soma: módulo e inclinação. Aplicando conhecimentos de trigonometria temos que: e também: S 2 =a 2 +b 2 +2abcosψ (15) S sen ou, o que é o mesmo: S sen b a = = ψ senϕ sen + b a = = ψ senϕ sen + [ π ( ϕ ψ )] ( ϕ ψ ) Desta última relação tira-se o factor cosψ que, substituído em (15), permite calcular S., II) Subtracção Usando o mesmo processo que adoptámos na adição, vamos separar a resolução geométrica da resolução analítica. Geometricamente aplica-se a regra do paralelogramo, após se ter invertido o segundo vector, ou seja, após se ter transformado a operação "diferença de dois vectores" na operação "soma algébrica de dois vectores", a+(-b). A figura I-15 apresenta as fases desta operação geométrica. Figura I-15 -Três fases da regra geométrica para subtrair dois vectores.

8 Um processo mais epedito de obter o mesmo resultado é fechar o triângulo com um vector dirigido da etremidade de b para a etremidade de a, tal como se representa na figura I-16. Analiticamente e conhecendo a representação cartesiana de cada um dos vectores a e b tal como se segue, a = ae + a e + ae b = b e + b e + b e obtém-se o vector a -b da maneira indicada: a b = a b e + a b e ( ) ( ) + ( a b ) e Figura I-16 Subtracção de dois vectores: regra do triângulo. O módulo do vector diferença, a que podemos chamar D, para simplificar, é dado por: D 2 =a 2 +b 2-2abcosθ (18) sendo θ o ângulo agudo que se opõe a D. III) Produto Nas operações efectuadas sobre escalares o produto é uma operação uniforme, isto é, obtém-se sempre o mesmo resultado desde que se mantenham os factores. No Cálculo Vectorial eistem dois processos diferentes de multiplicar vectores; temos assim o produto interno ou produto escalar e o produto eterno ou produto vectorial. A raão pela qual se chama produto escalar ao produto interno é porque o resultado desse produto é um escalar; raão análoga para o nome de produto vectorial, no qual se obtém um vector. a) Produto interno (ou escalar) Define-se o produto a.b de dois vectores a e b através da seguinte igualdade: a.b =abcos( a,b ), (19) em que a e b são os módulos dos vectores a e b ; por sua ve cos(a,b) é o co-seno do ângulo formado pelos dois vectores. Também podem ser usadas as epressões ( a,b ) e a b para designar o produto interno. No entanto a epressão que adoptaremos no decorrer do curso será a.b Se o ângulo formado pelos vectores não for conhecido e se, em contrapartida, se conhecer a representação cartesiana dos mesmos, ou seja:

9 a = ae b = b e + a e + b e o produto interno é dado por: + ae + b e a.b =a b +a b +a b, (20) como se pode provar sem grande dificuldade, partindo das epressões dos vectores na sua forma cartesiana, aplicando a propriedade distributiva em relação à soma e resolvendo as situações que forem surgindo por aplicação da definição de produto interno. O produto interno goa das seguintes propriedades: 1) É comutativo 2) É uniforme 3) Passa por valores máimos e mínimos, de acordo com a variação do co-seno, que depende, por sua ve, da posição relativa dos vectores. 4) Pode anular-se. O anulamento do produto interno, que se verifica se os dois vectores são perpendiculares, pode ser utiliado como condição de perpendicularidade de dois vectores dados. Cálculo do ângulo de dois vectores Pode utiliar-se o produto interno de dois vectores, para conhecer o ângulo que eles faem. Sejam os vectores a e b, dados por: a = ae + a e + ae b = b e + b e + b e e calcule-se o seu produto interno. Será: a.b =a b +a b +a b Por outro lado, aplicando a definição, tem-se: a.b =abcos( a,b ). (22) Igualando os segundos membros das equações (21) e (22), obtém-se: a b +a b +a b =abcos( a,b ), donde se tira o valor do co-seno do ângulo: a b + a b + ab cos( a, b) =. ab

10 b) Produto eterno (ou vectorial) Como neste caso o produto é um vector, não pode ser definido tão simplesmente como o produto interno. Eige a definição de uma direcção, de um sentido e de um módulo (ou intensidade), para ficar completamente identificado. Definição da direcção A direcção do vector produto eterno de dois vectores a e b complanares (se não o forem, não eiste produto eterno) é perpendicular ao plano definido por eles. Definição do sentido O sentido do vector produto eterno, a b é tal que o triedro formado pelos três vectores a b, a e b por esta ordem, seja um triedro directo. Entende-se que por triedro directo o sistema de três eios Z, X, Y (X, Y não são necessariamente perpendiculares entre si) orientados de tal forma que o eio dos XX deve rodar no sentido directo para encontrar o eio dos YY. Figura I-17 -Triedro directo e triedro retrógrado. Na figura I-17 estão representados, um triedro directo, em a) e um triedro retrógrado, em b). Na figura 1-18, apresentam-se eemplos de produtos eternos com orientações diferentes. Figura I-18 -Quatro eemplos da atribuição do sentido ao produto eterno. Definição do módulo ab = absen a, b (24) ( ) Como se vê a definição do módulo do produto eterno é semelhante à definição do produto interno; em ve do co-seno aparece o seno do ângulo formado pelos dois vectores. Também pode ser representado por b a,. a [ ] e por b

11 Anulamento Quando os vectores são paralelos ou quando têm a mesma linha de acção, o seu produto eterno é nulo. Semelhante ao que se viu no produto interno, esta propriedade pode servir para impor uma condição de paralelismo de dois vectores. Se os vectores forem conhecidos na sua epressão cartesiana a = ae + a e + ae b = b e + b e + b e o produto eterno calcula-se como se indica a seguir. Constrói-se um determinante de 3. a ordem, no qual a 1. a linha é formada pelos vectores unitários dos três eios (X, Y, Z), a 2. a linha pelas componentes do primeiro vector e a 3. a linha pela componentes do segundo vector. e e e ab = a a a. (25) b b b O desenvolvimento deste determinante condu a: ab = a b a b e + a b a b e + a b a b e. (26) ( ) ( ) ( ) Significado geométrico O significado geométrico de um produto eterno é uma área. Com efeito, supondo os vectores a e b aplicados no mesmo ponto O, podemos considerá-los lados consecutivos de um paralelogramo (figura 1-19). Figura I-19 -Significado geométrico do produto eterno. Atendendo, seguidamente, à definição de um módulo do produto eterno dos dois vectores a e b, o qual se representa por a b = absenα, virá que a b = ah, ou seja, a área do paralelogramo referido. Quanto ao carácter vectorial do produto eterno, aplica-se também à área, A direcção do vector área é perpendicular à superfície que se considera; o sentido é dado pelo produto eterno; com efeito, cada superfície tem duas faces, o que condu à eistência de dois vectores área, conforme se considera uma ou outra face,

12 Aplicações A grandea trabalho de uma força que desloca o seu ponto de aplicação ao longo de uma direcção é definida como um produto interno da força pelo vector deslocamento. A grandea momento de uma força em relação a um ponto é definida através de um produto eterno, tal como a grandea momento cinético, ambas estas grandeas desempenham um importante papel no estudo dos movimentos de rotação. IV) Derivação vectorial Como qualquer função contínua cumprindo as condições de derivabilidade, impostas pela matemática, um vector pode admitir derivada. Considerando o vector v uma função contínua da variável, define-se derivada desse vector em ordem a, pela epressão: dv v( + ) v( ) v = lim = lim (27) d 0 0 Como se vê, as operações envolvidas nesta definição são possíveis; com efeito em numerador figura uma diferença de dois vectores, já definida; por outro lado a divisão de um vector por um escalar já foi também apresentada na relação entre um vector, o seu módulo e o vector unitário da sua direcção. Na derivação dos vectores são aplicáveis todas as regras de derivação estudadas para os escalares.