Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.1. Capítulo 9

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1 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9. Capítulo 9 Teoria de Membrana. Cascas de evolução 9. Sistema de Eixos Uma casca de revolução tem uma superfície média que forma uma superfície de revolução. Esta superfície pode considerar-se gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo, o chamado eixo de revolução, a curva geratriz é um meridiano. um ponto da superfície dá-se a intercepção de um meridiano com um paralelo. O paralelo fica na intercepção de um plano normal ao eixo de revolução com a superfície média. Um meridiano é identificado pela distância angular θ do plano que contém o meridiano e o eixo de revolução com um plano meridiano de referência, plano que contém o eixo principal e o meridiano de referência. O paralelo é identificado pelo ângulo formado pela normal à superfície média no ponto com o eixo de revolução. Os meridianos são curvas para as quais é θ = constante e os planos meridianos contêm o eixo de revolução. Os paralelos são curvas para as quais é = constante, sendo os planos paralelos normais ao eixo de revolução. Esta notação está de acordo com a figura 9.a, na qual se representa uma superfície de revolução, estando também representados os planos meridiano e paralelo que passam no ponto. O raio de curvatura do meridiano é designado por e a distância de um ponto ao eixo de revolução é designada por. a figura 9.b está representado um meridiano de uma casca de revolução. A distância, medida sobre a normal à superfície média num ponto, ao eixo de

2 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9. revolução, é designada por e é o segundo raio de curvatura da superfície média. O raio do paralelo, e o segundo raio de curvatura estão relacionados entre si através do sen do ângulo, isto é: = sen 9. EIXO DE EVOLUÇÃO dθ A θ B C θ dθ θ dθ D Figura 9.: Superfície de evolução. O sistema de eixos O xyz da figura 9. é tal que o eixo dos zz é coincidente com o eixo de revolução e Oxy existem num paralelo, sendo oxz um plano que contém o plano meridiano de referência. o ponto considera-se um sistema de eixos cujos versores são i, j, k e cujas direcções são respectivamente a da tangente ao paralelo no ponto, da tangente ao meridiano no ponto e a da normal à superfície no ponto, como se representa na figura 9.. ara obter o sistema de eixos x, y, z cujo versores são i, j, k é necessário proceder a uma rotação θ no plano Oxy, obtendo-se o sistema de eixos Ox"y"z", dando uma rotação no plano O y"z" obtém-se o sistema de eixos Ox y z, a partir do qual se obtém finalmente x y z por translação O. As componentes dos versores i, j, k no sistema de eixos Oxyz são as que se representam no quadro 9.. 0

3 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9. i j k Componentes segundo xx cos cosθ - senθ cosθ Componentes segundo yy cos senθ cos cosθ Componentes segundo zz - 0 cos Quadro 9.: Componentes no sistema de eixos Oxyz dos versores i, j, k. As derivadas dos versores i, j, k em ordem a e θ são: i = k i θ = jcos j = 0 j = i cos ksen θ k = i k = θ j 9. O sistema de eixos no ponto está devidamente caracterizado, sendo a posição do ponto definida através da distância do ponto ao eixo de revolução e das coordenadas e θ. 9. Hipóteses Simplificativas Em geral a actuar numa casca existem esforços de membrana, de flexão e de corte com já foi referido. É no entanto possível considerar que só são relevantes os esforços de membrana,, Ν θ, Ν θ no caso, por exemplo, de cascas de revolução sujeitas a forças uniformemente repartidas na direcção e sentido de k. Os esforços de flexão M, Μ θ, Μ θ e

4 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.4 os esforços de corte T θ e T só serão significativos junto das ligações entre várias componentes tipo casca, junto das ligações com o exterior e/ou na presença de outras acções externas. Considera-se que a teoria de membrana é válida desde que se verifiquem as seguintes condições: - A espessura da casca é pequena quando comparada com as restantes dimensões. - As acções exteriores são tais que os esforços se desenvolvem somente na superfície média da casca. - As reacções de apoio devem estar localizadas no plano meridiano, caso contrário desenvolver-se-ão esforços transversos e esforços de flexão junto da região de fronteira. 4 - A variação do raio de curvatura da curva geratriz da superfície de revolução é lenta, não existindo descontinuidades. as zonas junto de descontinuidades existirão esforços transversos e momentos flectores. 5 - As tensões resultantes de esforços de membrana consideram-se uniformemente distribuídas ao longo da espessura da casca. ara valores de M / e 0 e para variações graduais da espessura esta hipótese pode considerar-se válida. ote-se que M é o menor dos raios de curvatura e e é a espessura da casca. 6 - A tensão radial é pequena quando comparada com as restantes, sendo possível considerar-se um estado de tensão plana. 7 - Os deslocamentos na direcção normal à superfície média, designados por W, são pequenos e dentro do domínio elástico. Valores de w aceitáveis são tais que w e/. Foram referidas algumas das situações para as quais podem considerar-se irrelevantes os esforços de flexão e corte. ote-se ainda que para se poder considerar simetria do tensor dos esforços de membrana a espessura deve da casca deve ser pequena.

5 Teoria da Membrana. Cascas de evolução Equações de Equilíbrio Considere-se um elemento ABCD da superfície média da casca de revolução, formado por dois meridianos θ e θ dθ e por dois paralelos e d como se representa na figura 9.. ote-se que os dois paralelos e os dois meridianos são considerados infinitamente próximos. Os esforços unitários actuantes em AB são θ e θ, os esforços de membrana que actuam em BC são e θ. Os segmentos AB e BC têm de comprimento d e dθ respectivamente. A área do elemento ABCD é dθd. C B θ j d θ i k D θdθ θ A θ Figura 9.: Esforços de Membrana. A equação vectorial de equilíbrio de esforços no elemento ABCD é: ( dθi θ dθ j) d ( θ di θ d j) dθ ( i j k) dθd = θ 0 9. Tendo em conta as equações vectoriais 9., pode-se substituir a equação vectorial 9. por três equações escalares que traduzem o equilíbrio de esforços na direcção do versor i, do versor j e do versor k, estas equações são:

6 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.6 ( ) ( θ) θ cos = 0 θ ( θ ) ( ) θ θ cos = 0 θ θ = Estas são as equações de equilíbrio dos esforços de membrana no caso das cascas estarem sujeitas a carregamentos arbitrários. o caso das acções exteriores serem axissimétricas, as derivadas em ordem a θ podem ser consideradas nulas e as equações anteriores tomam a forma seguinte: ( ) ( θ ) cos = 0 θ cos = 0 θ a) b) θ = c) 9.5 A equação 9.5b) é independente das restantes, no caso das cascas finas carregadas simetricamente e sujeitas a esforços de membrana, esta equação fornece directamente o esforço θ = θ. 9.4 Deformações e Deslocamentos o caso das cascas finas de revolução no contexto da Teoria de Membrana, as deformações a considerar são εθ, sendo ε θ a extensão segundo o paralelo, ε a ε e εθ extensão segundo o meridiano e ε θ a distorção; o ângulo inicialmente recto formado pela

7 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.7 tangente ao paralelo com a tangente ao meridiano sofre uma variação igual a ε θ após a ocorrência de deformação. Estas deformações, para uma casca fina de espessura e, relacionam-se com os esforços θ, e θ, tendo em conta a lei de Hooke e a definição dos esforços unitários a partir das tensões, equações 9.6, do seguinte modo: ε = E e ( υ ) θ εθ = E e ( υ ) θ ε θ υ = E e θ 9.6 sendo E o módulo de Young e ν o coeficiente de oisson. As deformações εθ, podem ser calculadas a partir dos deslocamentos U ε e εθ segundo a direcção do versor i, V segundo a direcção do versor j e W segundo a direcção do vector k, tendo em conta as mudanças de geometria que ocorrem durante o processo de deformação. Considere-se um segmento AB segundo o meridiano e sobre a superfície média da casca e um segmento AC do paralelo também sobre a superfície média. O segmento AB depois de deformado passa a ocupar a posição A B e o segmento AC passa a ocupar a posição A C como se representa na figura 9.. O ponto A sofre o deslocamento U, V e W segundo i, j, k respectivamente.

8 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.8 A w B B' w w d u A' u u d θ' d v A A' dθ w C v v θ dθ w w θ dθ Figura 9.: Segmentos Sobre o Meridiano e aralelo. O comprimento do segmento AB é d e o comprimento do segmento AC é dθ. O d i u i v j w k d. A deformação ε comprimento do segmento A B é: ( ) é: ( A B AB) i ε = 9.7 AB C' Tendo em conta o valor dos comprimentos de A B e AB, as relações 9. e desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira, a igualdade 9.7 toma a forma: ε u w = 9.8 O elemento de arco A C é definido pelas seguintes componentes: dθ j ( u i v j w k) dθ. A deformação ε θ θ é: ( A C AC) j ε θ = 9.9 AC

9 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.9 ou seja, desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira: v εθ = u cos w θ 9.0 A A γ C B γ C B Figura 9.4: Segmentos sobre a Superfície Média. A distorção γ γ obtém-se considerando: A C A B ε θ = 9. AC AB ou seja, desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira: εθ u v v = θ cos 9. Tendo em conta as relações entre deformações e os deslocamentos, 9.8, 9.0, 9. e a Lei de Hooke, obtém-se as equações seguintes para os esforços em função dos deslocamentos:

10 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.0 Ee u v ν = w u cos w υ θ Ee v u cos w sen v u θ = w υ θ Ee u v v = υ θ cos 9. Conhecidos os esforços unitários 9. é possível calcular as tensões a partir das expressões Cascas de evolução Carregadas de Forma Simétrica - Solução de Membrana 9.4. Equações Significativas o caso das cascas de revolução serem carregadas simetricamente em condições de aplicação da Teoria de Membrana, as equações de equilíbrio são: ( ) cos = 0 θ a) θ = b) ( θ ) cos = 0 θ c) 9.4 A equação 9.4c) é independente das equações 9.4a) e 9.4c) donde se constata que os esforços θ só dependem de = (). A equação 9.4a) pode ser substituída pela equação de equilíbrio de esforços acima do paralelo, ou seja:

11 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9. π = onde de acordo com a figura 9.5 é a resultante das forças exteriores na direcção do eixo de revolução da casca acima do paralelo. A partir da equação 9.5 obtém-se directamente os esforços e a partir da equação 9.4 b) obtém-se os esforços θ uma vez conhecidos os esforços. Figura 9.5: Forças acima de um aralelo. As deformações obtém-se a partir das equações 9.8, 9.0 e 9., tendo em conta que por existir simetria geométrica e das acções, os deslocamentos são independentes de θ, pelo que as deformações são: ε u w = a) εθ = ( u cos w ) b) ε θ = v v cos c) 9.6

12 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9. A lei de Hooke mantém a forma definida pelas equações 9.6. ote-se que v pode ser obtido por integração da equação 9.6c) e que w pode ser eliminado nas equações.a) e.b) obtendo-se uma equação em u que pode ser integrada Cúpula Esférica Considere-se uma cúpula esférica de raio a sujeita a uma distribuição de forças que possa ser equivalente ao peso próprio, como se representa na figura 9.6. d=ad p α a Figura 9.6: Cúpula Esférica. O raio de curvatura para a cúpula esférica é neste caso obtido do seguinte modo: = = a 9.7 A equação de equilíbrio de forças acima do paralelo é: π = 0 9.8

13 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9. o caso presente o valor de é: π = p a d a 0 0 dθ = π a ( cos) p 9.9 sendo p a força equivalente ao peso próprio por unidade de superfície. Substituindo a equação 9.9 na equação 9.8 e resolvendo em ordem a, obtém-se: = a p ( cos) sen a p = cos 9.0 Substituindo o valor de acabado de obter na equação 9.4b) e resolvendo em ordem a θ obtém-se: θ = a p cos 9. cos Verifica-se que é sempre um esforço de compressão e que θ é um esforço de compressão para valores de < 0 e é um esforço de tracção para > 0 ; sendo 0 um ângulo tal que: cos cos = 0 9. ou seja 0 5 o 50. o caso das reacções serem tangentes aos meridianos estas formulas fornecem boas aproximações para as tensões σ e σ θ. As deformações ε e ε θ obtidas através da lei de Hooke são:

14 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.4 pa ν ε = ν cos Ee cos pa ν εθ = cos Ee cos 9. Eliminando w entre as duas equações 9.6a) e 9.6b) obtém-se: u u cos = ε εθ 9.4 ou seja: u = C ε sen ε θ d 9.5 Tendo em conta as expressões 9. para as deformações, obtém-se: ( ν ) pa u = C Ee cos d cos ou seja: u = C ( ν) p a E e n ( cos) 9.7 cos Sendo a constante C determinada através das condições de bordo que no caso da cúpula representada na figura 9.6 são u = 0 para = α ao longo do paralelo do apoio. A partir da equação 9.6 b, obtém-se w definido do seguinte modo:

15 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.5 w = a εθ u cot ang 9.8 Outro caso de tratamento simples é o caso da cúpula com uma abertura para = β como se representa na figura 9.7. Q Q β α Figura 9.7: Cúpula Esférica com Abertura. o caso de se considerar que a cúpula está sujeita ao peso próprio, a carga é: = p a d β π 0 dθ ou seja: ( cosβ ) = π p a cos 9.9 A equação de equilíbrio de forças acima do paralelo, implica que seja: = = 9.0 π π a sen ou seja tendo em conta a equação 9.9:

16 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.6 ( cosβ cos) p a = 9. sen or outro lado tendo em conta a equação de equilíbrio 9.4 b), obtém-se: θ = p a cos o caso da cúpula estar sujeita a uma força distribuída ao longo do paralelo = β, como se representa na figura 9.7, os esforços e θ são: senβ = θ = 9. sen Uma vez que a cúpula não pode estar sujeita senão a esforços no plano tangente, é necessário considerar ao longo do paralelo superior um anel de compressão que equilibra uma densidade de força radial Q = tang β, sendo o esforço de compressão F = Q sen b. o caso das solicitações serem tais que não produzam reacções somente na direcção tangencial é necessário considerar os efeitos de flexão junto das ligações Cascas Cónicas que: o caso das cascas cónicas, de acordo com a figura 9.8, o ângulo é constante e é tal = π α 9. sendo α o ângulo de abertura do cone.

17 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.7 A s S A α B α A B Figura 9.8: Casca Cónica. O raio do paralelo que passa por B na figura 9.8 a) é e pode exprimir-se em função do Ângulo de abertura α e do comprimento do meridiano até B que é S, do seguinte modo: = S senα 9.4 O raio de curvatura da casca é =, o raio é tal que = S tang α. As equações de equilíbrio de forças 9.4 a) e 9.4 b) podem ser reescritas em termos de S e α do seguinte modo: ( ) S S S S = θ 0 = s Tangα 9.5 θ A estas equações de equilíbrio pode dar-se a forma seguinte: = θ ( ) S S S S Tangα ( α ) = Tang S 9.6

18 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.8 o caso da casca estar sujeita à carga, como se representa na figura 9.8a), esta última equação pode ser substituída pela equação de equilíbrio de forças acima de um paralelo, que é: π S senα cosα = ou seja: S = 9.8 π S senβ cosα O esforço q é para a casca cónica da figura 9.8a) nulo. A cúpula cónica representada na figura 9.8b) está sujeita ao peso próprio, sendo este representado por duas componentes: = cosα = senα 9.9 As equações de equilíbrio 9.6 conduzem aos esforços seguintes: θ = ps sen α cosα e = S SA S cosα 9.40 Em qualquer dos casos de carga considerados admitiu-se ser válida a Teoria de Membrana.

19 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.9 α Figura 9.9: Cúpula Cónica Apoiada num ilar. Outras solicitações são possíveis, nomeadamente podemos considerar a hipótese de a cúpula cónica estar sujeita ao peso próprio e apoiada num pilar como se representa na figura Casca em Forma de Toro Um toro é obtido por rotação de um circulo de raio a em torno de um eixo de rotação como se representa na figura 9.0. Os esforços em A são horizontais, os esforços ao longo do circulo BB são obtidos considerando o equilíbrio de forças acima do paralelo BB, obtendo-se a equação seguinte: ( b ) π = p π 9.4 o caso da casca estar sujeita a uma carga uniformemente distribuída de intensidade p, a equação 9.4 toma a forma: = ( b ) p 9.4

20 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.0 b B A A B a A A Figura 9.0: Casca Em Forma de Toro. Substituindo este valor na equação 9.4 b), obtém-se: p a = θ 9.4 Um toro de secção elíptica pode ser tratado de forma análoga. 9.5 Cascas de evolução Carregadas de Forma não Simétrica. Solução de Membrana 9.5. Equações Fundamentais As equações de equilíbrio 9.4 podem ser modificadas, tendo em conta a equação 9.4 c) que pode ser resolvida em ordem a θ. Substituindo o valor de θ obtido nas outras duas equações, obtém-se duas equações em e θ que são: = θ θ ( ) cos ( cos ) θ θ cos = θ θ 9.44

21 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9. o caso das cargas, e serem funções arbitrárias de e θ, podem ser representadas do seguinte modo: = cos nθ sen nθ n n 0 = sen(n θ ) cos(n θ) n n = cos nθ sen nθ n n 0 onde n, n,..., n, n são funções de. As primeiras parcelas destes somatórios representam a parte simétrica do carregamento e as segundas parcelas representam a parte do carregamento Anti-simétrica. ara efeitos de solução das equações 9.44 pode considerar-se separadamente os carregamentos simétricos e anti-simétricos, Assim considerando um termo típico do carregamento simétrico, por exemplo: = n cos nθ, = n sen nθ e = n cos nθ 9.46 ara um inteiro arbitrário n, a solução do sistema de equações 9.44 pode ser procurada com a forma: = n cos nθ ; θ = θn cos nθ e θ = θn sen nθ 9.47 onde n, θn e θn são funções de. Introduzindo as equações 9.46 e 9.47 nas equações 9.44 e eliminando cos nθ na ª equação e sen nθ na ª equação, obtém-se: dn d n cotang n θn = ( cotang) n n

22 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9. d θn d θn cotang n n = n n n 9.48 que são as equações a resolver. o caso do carregamento antissimétrico procede-se de modo análogo Casca Esférica. Solução Geral o caso da casca esférica os raios de curvatura e são iguais entre si e iguais ao raio da superfície esférica a, ou seja = = a. As equações 9.48 tomam a forma seguinte: d n d n cotang n θn = a ( cot ang) n n d θn d θn cotang n n = a n n n 9.49 rocedendo à seguinte mudança de variáveis: U = n θn e V = n θn 9.50 e somando e subtraindo as equações 9.49, obtém-se: cotang du d n U = a n cos n n n dv d cotang n sen V = a n cos n n n 9.5 Estas equações são duas equações diferenciais de ª ordem do tipo:

23 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9. dw d f ( ) w g ( ) = cuja solução geral é da forma: w = C g exp ( f d) d exp ( f d) 9.5 Aplicando esta fórmula às equações 9.5, obtém-se para U e V as fórmulas seguintes: U n cotang / n cos n = C a sen cotang d n n n n sen V n cotang / n cos n = D a sen cotang d n n n n sen Tendo em conta a mudança de variáveis 9.50, os esforços unitários são: 9.54 U V e U V n = θn = 9.55 As equações 9.54, 9.55 e 9.47 representam a solução do sistema de equações de equilíbrio 9.44 para as cascas esféricas Casca Esférica Sujeita à Acção do Vento A acção do vento numa casca esférica, admitindo que é uma acção com a direcção horizontal em relação á casca pode ser representada pela seguintes forças: = = 0 e = p cos 9.56 A solução procurada é da forma:

24 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.4 = cosθ e θ = θ senθ 9.57 As equações 9.48, tendo em conta = = a tomam neste caso a forma seguinte: d θ cotang d = pa cos dθ θ cotang d = pa 9.58 rocedendo à mudança de variáveis: U = θ e V = θ 9.59 e somando e subtraindo as equações 9.58 entre si, obtém-se: du d cotang sen U = pa ( cos) dv d cot ang sen V = pa ( cos) 9.60 Estas equações são integráveis sendo a sua solução: cos U = C pa cos cos sen cos V = C pa cos cos sen 9.6

25 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.5 onde as constantes C e C são constantes de integração que podem ser calculadas a partir das condições de contorno. As equações 9.59 e 9.6 conduzem ás expressões dos esforços e θ que são as seguintes: U V C = = C C C 4 cos pa cos cos sen U V C = = C C C θ cos pa cos cos 9.6 sen Tendo em conta as equações 9.57 e 9.6 obtém-se: = cosθ sen C C C C cos pa cos 4 cos senθ C = C C C θ cos pa cos cos 9.6 sen ara = 0 o valor dentro de parêntesis recto deve ser nulo, ou seja: C = pa 9.64 ara = π/ a resultante dos esforços deve ser nula e portanto deve ser: = C ou seja C pa 9.65 C = estas condições os esforços, θ e θ são definidos de acordo com 9.6, 9.64, 9.65 e 9.5c) e são:

26 Teoria da Membrana. Cascas de evolução 9.6 = pa ( cos)( cos) ( cos) cos cosθ θ = pa ( cos)( cos) ( cos) senθ θ = pa ( 4 cos cos ) ( cos) ( cos) cosθ 9.66 Os esforços numa cúpula esférica com abertura superior podem ser calculados de modo análogo.

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