Transformações Gráficas Tridimensionais (3D) Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro
|
|
- Geraldo Martín Monsanto Batista
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Transformações Gráficas Tridimensionais (3D) Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro
2 Introdução A manipulação, visualiação e a construção de imagens gráficas tridimensionais requer a utiliação de transformações de coordenadas e de transformações geométricas em 3D. Estas transformações, em gral, são formadas pela composição das transformações primárias de translação, de variação de escala e de rotação. Como no caso de 2D, cada uma destas transformações pode ser representada por uma matri, a matri da transformação. As transformações e conceitos aqui introduidos são generaliações directas daqueles introduidos para as transformações 2D. 2
3 Introdução (cont...) Em relação a um sistema coordenado 3D, um objecto Obj é considerado como um conjunto de pontos: Obj = {P(,, )} Se o objecto é movido para uma nova posição, podemos considerá-lo como um novo Obj, no qual todos os pontos P (,, ) podem ser obtidos a partir dos pontos coordenados P(,, ) através da aplicação de uma transformação geométrica. T: P(,, )P (,, ) Da mesma forma que para o caso das transformações 2D, as transformação em 3D eploram a representação em coordenadas homogéneas isto é, o ponto P(,,) é representado na forma P(,,,W), cuja homogeneiação resulta em P(/W,/W,/W,) 3
4 Introdução (cont...) O sistema de coordenadas para 3D utiliado será o da Regra da Mão Direita, com o eio Z perpendicular ao papel e saindo em direcção ao observador, como poder ser visto na figura a seguir. 4
5 Translação A TRANSLAÇÃO em 3D pode ser vista como simplesmente uma etensão a partir da translação 2D, ou seja. Uma translação de um ponto P no espaço (,, ) realia-se pela adição em X, Y e Z do respectivo valor da translação. Na forma vectorial a TRANSLAÇÃO fica como: Assim, a equação anterior pode ser representada também como: P' = T(d, d, d ) P 5
6 Variação de Escala O processo de variação de escala altera as dimensões de um objecto. Na transformação de variação de escala o ponto P(,, ) sofre a variação de escala de S = (S, S, S ) O factor de escala S determina se a escala é uma ampliação, S >, ou uma redução, S <. Na forma vectorial a VARIAÇÃO de ESCALA fica como: Assim, a equação anterior pode ser representada também como: P' = S(s, s, s ) P 6
7 Transformações Gráficas 3D Transformações Gráficas 3D Transformações Gráficas 3D Variação Variação de de Escala Escala Caso geral: Variação de escala com relação a um ponto fio ( f, f, f ) O transformação de variação de escala neste caso pode ser representada a partir da seguinte composição de transformações: Translação do ponto ( f, f, f ) para a origem Variação de Escala com relação à origem de 7 Variação de Escala com relação à origem de coordenadas Translação da origem de volta para o ponto ( f, f, f ) Assim: = ) ( ) ( ) ( ),, ( ),, ( ),, ( f f f f f f f f f s s s s s s T s s s S T
8 Rotação A rotação em 3D é consideravelmente mais complea que a rotação em 2D. Em 2D, a rotação é determinada por um ângulo de rotação θ e um centro de rotação P. Em 3D é preciso definir um ângulo de rotação θ e um eio de rotação. Definição: A rotação em 3D é chamada canónica quando algum dos eios de coordenadas (O, O ou O) é escolhido como o eio de rotação. No caso da rotação canónica, a construção da transformação de rotação pode ser processada tal como no caso da rotação em 2D em torno da origem 8
9 Rotação (cont...) Rotação em torno do eio O Da secção das transformadas gráficas em 2D sabemos que: ' = *cos(θ ) *sin(θ ) ' = *sin(θ ) + *cos(θ ) ' = O parâmetro θ indica o ângulo de rotação. Na forma vectorial a rotação canónica em torno do eio O ficaria da seguinte forma: ' ' ' = sinθ sinθ ou como P' = R ( θ ) P 9
10 Rotação (cont...) As equações da Rotação em torno aos eios O e O podem ser obtidas mediante permutações cíclicas das coordenadas dos parâmetros, e. Isto é podemos utiliar as seguintes permutações: Substituindo estas permutações na equação da rotação em torno do eio O obtemos a seguinte Equação para a rotação em torno do eio O. Em torno de O Em torno do eio O ' = *cos(θ ) *sin(θ ) ' = *cos(θ ) *sin(θ ) ' = *sin(θ ) + *cos(θ ) ' = *sin(θ ) + *cos(θ ) ' = ' = Na forma vectorial, a rotação em torno do eio O ficaria da seguinte forma: ' ' = ' sinθ sinθ
11 Rotação (cont...) De forma análoga, i.e. mediante permutações cíclicas das coordenadas dos parâmetros, e podemos obter a equação da rotação em torno ao eio O. Para isto é podemos utiliar as seguintes permutações: Substituindo estas permutações na equação da rotação em torno do eio O obtemos a seguinte Equação para a rotação em torno do eio O Em torno de O Em torno do eio O ' = *cos(θ ) *sin(θ ) ' = *cos(θ ) *sin(θ ) ' = *sin(θ ) + *cos(θ ) ' = *sin(θ ) + *cos(θ ) ' = ' = Na forma vectorial a rotação em torno do eio O ficaria da seguinte forma: ' ' = ' sinθ sinθ
12 Rotação (cont...) Rotação não canónica (Eemplo Nº ): Quando pretendemos faer uma rotação de um objecto em torno a um eio que é paralelo a um dos eios de coordenadas (O, O ou O) podemos escrever essa transformação como uma composição de transformações : Traslação do objecto de tal forma que o seu eio de rotação coincida com o eio de coordenadas paralelo a ele. Rotação do objecto em torno ao eio de coordenadas Translação do objecto de volta a sua posição original Em notação de transformação temos: P' = T Rw ( θ ) T P, onde w =, ou 2
13 Rotação (cont...) Rotação não canónica (Eemplo Nº 2): Quando pretendemos faer uma rotação de um objecto em torno a um eio que não é paralelo a um dos eios de coordenadas (O, O ou O) Eemplo: Seja L um eio de rotação especificado pelo vector dirigido V e pela localiação do ponto P. Determinar a transformação correspondente à rotação de θ em torno de L. R A transformação de rotação pode ficar como:. Translação de P para a origem 2. Alinhamento de V com o vector k 3. Rotação de θ em torno de k 4. Inversão dos passos 2 e Assim θ, L = T P AV Rθ, K A V T P k v Q..Q L.P 3
14 Rotação (cont...) Rotação não canónica (Eemplo Nº 2): Eemplo Nº 2 (cont ): A V V A matri da transformação de Alinhamento de V com o vector k pode ser obtida a partir de uma sequencia de rotações canónicas (será analisada num eercício das aulas práticas). O aspecto geral desta matri é: λ V = a V ab λ V c λ b V = ai + bj + ck; V ac λ V b λ c V = a 2 + b 2 + c 2 ; λ = b 2 + c 2 k v Q..Q L.P 4
15 Refleão A refleão em 3D pode ser realiada de duas formas: Relativamente a um eio de refleão dado Relativamente a um plano de refleão dado Em geral as matries das transformações de refleão em 3D são similares as matries de refleão em 2D. É fácil observar que as refleões relativas a um eio dado são equivalentes a uma rotação de 8º em torno desse eio Eemplo: Refleão relativamente ao plano O Neste caso é fácil observar que a refleão de P(,,) com relação ao plano O é P (,, ). Neste caso a matri de transformação será: 5
16 Distorção (Shearing) A transformação de shearing pode ser aplicada também em 3D Por eemplo: uma distorção na direcção (-shearing) é produida com a seguinte matri de transformação: SH = a b onde a e b podem tomar valores reais. O efeito dessa transformação altera as coordenadas e. 6
17 Tilting Tilting: transformação gráfica que pode ser definida como uma rotação em torno do eio O, seguida por uma rotação em torno do eio O: T = R R θ, J θ, I (a) Determine a matri de tilting Podemos determinar a transformação de tilting T concatenando duas matries de rotação: senθ senθ senθ senθ = senθ senθ senθ senθ senθ senθ 7
18 Tilting (cont...) (b) A ordem das rotações é, ou não importante? Se multiplicarmos R R θ, I θ, J obtemos: Esta não é a matri da alínea (a); portanto, a ordem das matries é importante 8
19 Transformação entre Sistemas de Coordenadas (2D) As aplicações gráficas frequentemente requerem a transformação de descrições de objectos de um sistema de coordenadas para outro. Agora vamos considerar especificamente transformações entre dois Sistemas de Coordenadas Cartesianos. Para transformar pontos de um objecto dados em um sistema de coordenadas O para um sistema O com origens em (,) e (, ), com um ângulo de orientação θ entre os eios e, precisamos determinar a transformação que sobrepõe os eios O aos eios O. Isso pode ser feito em 2 passos: Transladar o sistema de modo que sua origem coincida com a origem do sistema O: T(-, - ) Rotação do eio de forma que ele coincida com o eio : R(θ ) Obtemos M, '' = R(θ ) T(-, - ) 9
Transformações Geométricas 3D
Transformações Geométricas 3D Introdução Transformações 3D são uma etensão dos métodos 2D, incluindo-se a coordenada Z. Especificação de vetores em 3D translação: vetor de translação 3D escalonamento:
Leia maisTranslação. Sistemas de Coordenadas. Translação. Transformações Geométricas 3D
Translação Transformações Geométricas 3D Um ponto (objeto) é deslocado de uma posição para outra posição no mesmo espaço 3D Rosane Minghim Maria Cristina F. de Oliveira ICMC Universidade de São Paulo 26
Leia maisTransformações Geométricas. Transformações Geométricas. Sistemas de Coordenadas. Translação: M.C.F. de Oliveira Rosane Minghim 2006
Transformações Geométricas Transformações Geométricas 2D M.C.F. de Oliveira Rosane Minghim 2006 Aplicadas aos modelos gráficos para alterar a geometria dos objetos, sem alterar a topologia Porque são necessárias:
Leia mais2 Cinemática 2.1 CINEMÁTICA DA PARTÍCULA Descrição do movimento
2 Cinemática A cinemática tem como objeto de estudo o movimento de sistemas mecânicos procurando descrever e analisar movimento do ponto de vista geométrico, sendo, para tal, irrelevantes os fenómenos
Leia maisCAPÍTULO 2 CÁLCULO VECTORIAL Grandezas escalares e vectoriais. Noção de Vector. As grandezas físicas podem ser escalares ou vectoriais.
CAPÍTULO CÁLCULO VECTORIAL.1. Grandeas escalares e vectoriais. Noção de Vector. As grandeas físicas podem ser escalares ou vectoriais. As grandeas massa, comprimento, tempo ficam completamente definidas
Leia maisTransformações (Cap 4.3, 4.4 e 4.6 a 4.10)
4.6 a 4.) Transformações (Cap 4.3, 4.4 e 4.6 a 4.) Instituto Superior Técnico, 26/27 Sumário Revisões Transformações Elementares Coordenadas Homogéneas Composição de Transformações Transformações em OpenGL
Leia maisCapítulo O espaço R n
Cálculo - Capítulo 1. - O espaço R n - versão 0/009 1 Capítulo 1. - O espaço R n 1..1 - Espaço R 3 1.. - Espaço R n Vamos, agora, generaliar o conceito de um espaço R primeiro para R 3 e depois para R
Leia maisNota de aula: Transformações Lineares
Nota de aula: Transformações Lineares Prof. Rebello out/99 rev. out/ São aplicações entre espaços vetoriais, isto é, funções onde tanto o domínio como o contra domínio são espaços vetoriais, portanto todas
Leia maisGeometria Analítica. Cônicas. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Geometria Analítica Cônicas Prof Marcelo Maraschin de Souza É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. Considere dois pontos distintos
Leia maisTransformações Geométricas
Transformações Geométricas 2D Carolina Watanabe Referências Bibliográficas FOLEY, J. D, DAM, A. V.; HUGHES, J. F. Computer Graphics Principle and dpractice, 2 a edição Material elaborado por Marcela X.
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais
Álgebra Linear I - Aula 19 1. Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais. 2. Matrizes ortogonais 2 2. 3. Rotações em R 3. Roteiro 1 Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais 1.1 Bases ortogonais Lembre que
Leia maisTensores cartesianos. Grandezas físicas como funções de posição e/ou de tempo
ensores cartesianos Quantidades (grandeas) físicas: Classificação: Escalares Vectores ensores de segunda ordem... ensores de ordem ero ensores de primeira ordem ensores de segunda ordem... Relacionadas
Leia maisUniversidade de Aveiro Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática. Transformações 2D
Universidade de Aveiro Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática Transformações 2D Computação Visual Beatriz Sousa Santos, Joaquim Madeira Transformações 2D Posicionar, orientar e escalar
Leia maisTransformações Geométricas para Visualização 3D
Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Transformações Geométricas para Visualiação 3D por Marcelo Gattass Departamento de Informática PUC-Rio (adaptado por Lui Fernando
Leia maisTransformações de Visualização 2D: Clipping. Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro
Transformações de Visualização 2D: Clipping Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro 1 Clipping (recorte) Qualquer procedimento que identifica porções de uma figura que estão
Leia maisUniversidade Federal de Santa Catarina. Universidade Virtual do Maranhão. Operadores Lineares Homotetia e Rotação no
Universidade Federal de Santa Catarina Universidade Virtual do Maranhão Operadores Lineares Homotetia e Rotação no R e Imagem de triângulos por estes operadores R. Por emésio Rodrigues da Silva Filho e
Leia maisComputação Gráfica. Prof. MSc. André Yoshimi Kusumoto
Computação Gráfica Prof. MSc. André Yoshimi Kusumoto andrekusumoto.unip@gmail.com Transformações Geométricas São operações que podem ser utilizadas visando a alteração de algumas características como posição,
Leia maisCÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
04 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA CAPÍTULO 0 TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO R Sejam e O os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenados com origem O(0,0).
Leia maisTransformações Geométricas
Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica Transformações Geométricas Edward Angel, Cap. 4 Questão 1, exame de 29/06/11 [1.0v] Considere o triângulo T={V 1, V 2, V 3 },
Leia maisMarcelo M. Santos DM-IMECC-UNICAMP msantos/
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência 0 anos c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Identificação de Cônicas
Leia maisaula6 Projeções Planas 2017/2 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html aula6 P p O Projeções Planas 2017/2 IC / UFF Relembrando Transformações De corpo rígido (semelhança). Distância entre 2 pontos quaisquer é inalterada.
Leia maisÁLGEBRA LINEAR A FICHA 2
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 7/Out/3 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA SOLUÇÕES SUMÁRIAS DOS EXERCÍCIOS ÍMPARES Matrizes: Inversão e Formas
Leia maisduas forças que actuam numa partícula, estas podem ser substituídas por uma única força que produz o mesmo efeito sobre a partícula.
Ao longo desta secção será abordada a análise do efeito de forças actuando em partículas. Substituição de duas ou mais forças que actuam na partícula por uma equivalente. A relação entre as várias forças
Leia maisSuperfícies e Curvas no Espaço
Superfícies e Curvas no Espaço Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 11 de deembro de 2001 1 Quádricas Nesta
Leia maisSão apresentadas as seguintes configurações básicas para um manipulador de acordo com os movimentos realizados por suas juntas.
4. Classificação dos robôs São apresentadas as seguintes configurações básicas para um manipulador de acordo com os movimentos realizados por suas juntas. 1 - Robô revoluto, antropomórfico ou articulado.
Leia maisRelatividade. Vetores, Escalares e Tensores
Relatividade Vetores, Escalares e Tensores Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 1 Grandeas Vetoriais e Grandeas Escalares A física lida com uma gama muito grande de grandeas físicas. Na mecânica
Leia maisCap. 0. Cálculo tensorial
Cap. 0. Cálculo tensorial 1. Quantidades físicas 1.1 ipos das quantidades físicas 1. Descrição matemática dos tensores 1.3 Definição dos tensores. Álgebra tensorial 3. ensores cartesianos em D simétricos
Leia maisAULA 13 { } 13. Exercícios. DETERMINAR UMA BASE DE UM SUBESPAÇO Determinar uma base do subespaço de
Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A - 6--9. Eercícios. DETERMINAR MA ASE DE M SESPAÇO... Determinar uma base do subespaço de R { } (,,, ) (,,, ) : ( ) ( ) L u u u u R ma ve que qualquer conjunto de
Leia maisProduto interno, externo e misto
Produto interno, externo e misto Definição: Chama-se norma (ou comprimento) do vector u ao comprimento do segmento de recta [OP ] e representa-se por u. Definição: Sejam a = OA e b = OB dois vectores não
Leia maiscarga do fio: Q. r = r p r q figura 1
Uma carga Q está distribuída uniformemente ao longo de um fio reto de comprimento infinito. Determinar o vetor campo elétrico nos pontos situados sobre uma reta perpendicular ao fio. Dados do problema
Leia maisComputação Gráfica I. Conteúdo: Professor: - Transformações geométricas no plano. Instituto de Computação - UFF
Computação Gráfica I Professor: Anselmo Montenegro www.ic.uff.br/~anselmo Conteúdo: - Transformações geométricas no plano. Transformações geométricas: Introdução Na Computação Gráfica é essencial poder
Leia maisInstituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVISÃO DA PARTE III Parte III - (a) Ortogonalidade Conceitos: produto
Leia maisCAPÍTULO 9 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO ESPACIAL DE CORPOS RÍGIDOS
82 CPÍTULO 9 CINEMÁTIC DO MOVIMENTO ESPCIL DE CORPOS RÍGIDOS O estudo da dinâmica do corpo rígido requer o conhecimento da aceleração do centro de massa e das características cinemáticas do corpo denominadas
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais
Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada 4º Teste de avaliação Grupo I As
Leia maisDepartamento de Matemática e Ciências Experimentais FÍSICA 12.º Ano
Departamento de Matemática e Ciências Eperimentais FÍSICA 12.º Ano Teto de apoio n.º 1 Assunto: Calculo vectorial O vector é uma entidade matemática caracteriada por três elementos: módulo, (magnitude
Leia maisA integral definida Problema:
A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b], e tal que f(x) 0 p/ todo x [a, b]. Problema: Calcular (definir) a área, A,da região do plano limitada pela curva y
Leia maisTRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS
TRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS Parte II Transformações nos Espaços Bidimensionais GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra
Leia maisModelagem Cinemática de Robôs Industriais. Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco
Modelagem Cinemática de Robôs Industriais Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco Transformação direta de coordenadas 1 2... N Variáveis de junta Variáveis cartesianas Transformação inversa de coordenadas Transformação
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada TPC nº 9 (entregar em 11-03-011)
Leia maisTransformações Geométricas Grafos de Cena
Transformações Geométricas Grafos de Cena Edward Angel, Cap. 4 Instituto Superior Técnico Computação Gráfica 2009/2010 1 Na última aula... Transformações Geométricas Translação Escala Rotação Espaço Homogéneo
Leia maisaula8 Transformações Geométricas no Plano e no Espaço 2016/2 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html aula8 Transformações Geométricas no Plano e no Espaço 2016/2 IC / UFF Definição Transformações geométricas são operações que podem ser utilizadas para
Leia maisResultantes de um sistema de forças
Resultantes de um sistema de forças Objetivos da aula Discutir o conceito do momento de uma força e mostrar como calculá-lo em duas e três dimensões. Fornecer um método para determinação do momento de
Leia maisTRANSFORMAÇÕES LINEARES
1 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Cristianeguedes.pro.br/cefet Transformação Linear 2 Definição: Sejam U e V dois espaços vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é denominada Transformação Linear de U em
Leia maisAula 15. Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente. Quando u = (1, 0) ou u = (0, 1), obtemos as derivadas parciais em relação a x ou y, respectivamente.
Aula 15 Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente Seja f(x, y) uma função de variáveis. Iremos usar a notação D u f(x 0, y 0 ) para: Derivada direcional de f no ponto (x 0, y 0 ), na direção do vetor unitário
Leia maisCurso de CG 2018/2 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html Curso de CG 2018/2 IC / UFF Transformações Geométricas no Plano e no Espaço Esse material estáno Site do curso como : CG-Aula5-2017.pdf CG-Aula8-2016.pdf
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Ficha de revisão n.º 3
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Ficha de revisão n.º 1. No referencial da figura está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que B(6,0,0)
Leia maisCurso de CG 2019/1 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html Curso de CG 2019/1 IC / UFF Transformações Geométricas no Plano e no Espaço Esse material estáno Livro do curso no cap 2. Definição Transformações geométricas
Leia maisApontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico
Apontamentos III Espaços euclidianos Álgebra Linear aulas teóricas 1 o semestre 2017/18 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice Índice i 1 Espaços euclidianos 1 1.1
Leia maisLaboratório de Programação com Games. Conteúdo: Professor: - Transformações no plano. Instituto de Computação - UFF
Laboratório de Programação com Games Professor: Anselmo Montenegro www.ic.uff.br/~anselmo Conteúdo: - Transformações no plano Transformações geométricas: Introdução Na Computação Gráfica é essencial poder
Leia maisMudança de Coordenadas
Mudanças de Coordenadas Mudança de Coordenadas A origem O = (0, 0, 0) e os vetores i, j, k da base canônica de R determinam um sistema de coordenadas: se as coordenadas de um ponto no espaço são (x, y,
Leia maisTransformações Geométricas em C.G.
Transformações Geométricas em C.G. Cap 2 (do livro texto) Aula 3, 4 e 5 UFF - 214 Geometria Euclideana : 3D Geometria Axiomas e Teoremas Coordenadas de pontos, equações dos objetos Geometria Euclideana
Leia maisCurso de Geomática Aula 2. Prof. Dr. Irineu da Silva EESC-USP
Curso de Geomática Aula Prof. Dr. Irineu da Silva EESC-USP Sistemas de Coordenadas Determinar a posição de um ponto, em Geomática, significa calcular as suas coordenadas. Calcular as coordenadas de um
Leia maisGAAL - Terceira Prova - 15/junho/2013. Questão 1: Analise se a afirmação abaixo é falsa ou verdadeira:
GAAL - Terceira Prova - /junho/3 SOLUÇÕES Questão : Analise se a afirmação abaio é falsa ou verdadeira: [ A matriz A é diagonalizável SOLUÇÃO: Sabemos que uma matriz n n é diagonalizável se ela possuir
Leia maisIntrodução à Computação Gráfica
Introdução à Computação Gráfica Desenho de Construção Naval Manuel Ventura Instituto Superior Técnico Secção Autónoma de Engenharia Naval 27 Sumário Entidades Geométricas Transformações Geométricas 2D
Leia maisAULA Exercícios. DETERMINAR A EXPRESSÃO GERAL E A MATRIZ DE UMA TL CONHECIDAS AS IMAGENS DE UMA BASE DO
Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno
Leia maisUNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL REGIME NOCTURNO - º SEMESTRE - º ANO - 7 / 8 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA º FREQUÊNCIA de Janeiro de 8 Duração:
Leia maisCAPÍTULO 9 VETOR GRADIENTE:
CAPÍTULO 9 VETOR GRADIENTE: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 9.1 Introdução Dada a função real de n variáveis reais, f : Domf) R n R X = 1,,..., n ) f 1,,..., n ), se f possui todas as derivadas parciais de primeira
Leia maisExercícios Resolvidos Variedades
Instituto Superior Técnico Departamento de atemática Secção de Álgebra e Análise Eercícios Resolvidos Variedades Eercício 1 Considere o conjunto = {(,, ) R : + = 1 ; 0 < < 1}. ostre que é uma variedade,
Leia maisIntrodução ao Processamento e Síntese de imagens - Projeções
Introdução ao Processamento e Síntese de imagens - Projeções Júlio Kiyoshi Hasegawa Fontes: Esperança e Cavalcanti (22) (UFRJ) e Traina e Oliveira (24) (USP) Antonio Maria Garcia Tommaselli - notas de
Leia maisGeometria Analítica Exercícios Cônicas em posição geral
Geometria Analítica Exercícios Cônicas em posição geral Cleide Martins DMat - UFPE Turmas E1 e E3 Cleide Martins (DMat - UFPE) Soluções Turmas E1 e E3 1 / 16 Resolução dos exercícios da aula 15 Classique
Leia maisCálculo 3A Lista 4. Exercício 1: Seja a integral iterada. I = 1 0 y 2
Eercício : Seja a integral iterada Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada Cálculo A Lista 4 I = ddd. a) Esboce o sólido cujo volume é
Leia maisTRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS
TRANSFRMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANS Parte III Transformações nos Espaços Tridimensionais GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra
Leia maisCâmara Virtual Simples
Câmara Virtual Simples Edward Angel, Cap. 5 Instituto Superior Técnico Computação Gráfica 29/2 Na última aula... Pipeline de Visualiação 3D Câmara Virtual 2, CG&M/IST e Figuras Addison Wesley Sumário Câmara
Leia mais4 Produto de vetores. 4.1 Produto Escalar. GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear
4 Produto de vetores 4.1 Produto Escalar Definição (Medida angular): Sejam u e vetores não-nulos. Chama-se medida angular entre u e a medida θ do ângulo PÔQ, sendo (O,P) e (O,Q), respectivamente, representantes
Leia maisSolução
Uma barra homogênea e de secção constante encontra-se apoiada pelas suas extremidades sobre o chão e contra uma parede. Determinar o ângulo máximo que a barra pode formar com o plano vertical para que
Leia maisNota de aula: Transformações Lineares
Nota de aula: Transformações Lineares Prof. Rebello out/99 rev. mai/0 São aplicações entre espaços vetoriais, isto é, funções onde tanto o domínio como o contra domínio são espaços vetoriais, portanto
Leia maisAnálise Vetorial na Engenharia Elétrica
nálise Vetorial na Engenharia Elétrica ula 13/03/09 1.3 - Medida algébrica de um segmento Segmento: um segmento é determinado por um par ordenado d de pontos. figura 1.8 apresenta um segmento Figura 1.8
Leia maisESC. SEC. ALBERTO SAMPAIO BRAGA TRIGONOMETRIA E COMPLEXOS (EM 20 AULAS)
º ANO ESC. SEC. ALBERTO SAMPAIO BRAGA PROPOSTA DE PLANIFICAÇÃO DA UNIDADE DIDÁCTICA TRIGONOMETRIA E COMPLEXOS (EM 0 AULAS) 00/004 ESAS 00_004 Página º ANO CONTEÚDO DA UNIDADE DIDÁCTICA TRIGONOMETRIA E
Leia maisModelagem Cinemática de Robôs Industriais. Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco
Modelagem Cinemática de Robôs Industriais Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco Transformação direta de coordenadas 1 2... N Variáveis de junta Variáveis cartesianas Transformação inversa de coordenadas Transformação
Leia maisGeometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido
Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II Ficha de trabalho nº 4 1 Resolva o exercício 11 da página 80 do seu manual Considere
Leia mais1 Matrizes Ortogonais
Álgebra Linear I - Aula 19-2005.1 Roteiro 1 Matrizes Ortogonais 1.1 Bases ortogonais Lembre que uma base β é ortogonal se está formada por vetores ortogonais entre si: para todo par de vetores distintos
Leia maisGAAL - Exame Especial - 12/julho/2013. Questão 1: Considere os pontos A = (1, 2, 3), B = (2, 3, 1), C = (3, 1, 2) e D = (2, 2, 1).
GAAL - Exame Especial - /julho/3 SOLUÇÕES Questão : Considere os pontos A = (,, 3), B = (, 3, ), C = (3,, ) e D = (,, ) (a) Chame de α o plano que passa pelos pontos A, B e C e de β o plano que passa pelos
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 12. Roteiro. 1 Exemplos de Transformações lineares (continuação)
Álgebra Linear I - Aula 12 1. Rotações no plano. 2. Projeções 3. Espelhamentos 4. Caso geral. Roteiro 1 Exemplos de Transformações lineares (continuação) 1.1 Rotações no plano A Rotação no plano de ângulo
Leia maisCoordenadas Homogêneas no Plano e no Espaço
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html Curso de CG 2019/1 IC / UFF Coordenadas Homogêneas no Plano e no Espaço (AB) T = B T A T Esse material estáno Livro do curso no cap 2. Resumindo transformações
Leia maisAula 7 Equação Vetorial da Reta e Equação Vetorial do plano
Aula 7 Equação Vetorial da Reta e Equação Vetorial do plano Prof Luis Carlos As retas podem estar posicionadas em planos (R 2 ) ou no espaço (R 3 ). Retas no plano possuem pontos com duas coordenadas,
Leia maisSISTEMAS LINEARES. Obs 1. Quando o termo independente é nulo, como no exemplo, dizemos que é uma equação linear homogênea:
Disciplina: Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso: Engenharia Mecânica Professora: Valéria Lessa APOSTILA SISTEMAS LINEARES Muitos problemas em várias áreas da Ciência recaem na solução de sistemas
Leia maisficha 6 espaços lineares com produto interno
Exercícios de Álgebra Linear ficha espaços lineares com produto interno Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico o semestre 011/1 Notação
Leia maisP4 de Álgebra Linear I de junho de 2005 Gabarito
P4 de Álgebra Linear I 25.1 15 de junho de 25 Gabarito 1) Considere os pontos A = (1,, 1), B = (2, 2, 4), e C = (1, 2, 3). (1.a) Determine o ponto médio M do segmento AB. (1.b) Determine a equação cartesiana
Leia maisTensores Cartesianos
Tensores Cartesianos Mecânica II Notas de apoio à disciplina de Mecânica II Vitor Leitão Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura Instituto Superior Técnico Lisboa, 2011 vitor@civil.ist.utl.pt -
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. TPC nº 5 (entregar no dia 6 ou )
Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II TPC nº (entregar no dia 6 ou 7 1 010) 1. Considere, num cubo de 8 cm de aresta, a secção que resulta
Leia maisFicha de Exercícios nº 1
Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 1 Espaços Vectoriais 1 Qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) Um espaço vectorial pode ter um número ímpar de elementos.
Leia maisForma Canônica de Matrizes 2 2
Forma Canônica de Matrizes Slvie Olison Kamphorst Departamento de Matemática - ICE - UFMG Versão. - Novembro 5 a b Seja A c d induzida por A uma matriz real e seja T a transformação operador linear de
Leia maisRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 Marcel Merlin dos Santos
6/0/07 RESISTÊNIA DOS MATERIAIS Marcel Merlin dos Santos ÍRULO DE MOHR O estado plano de tensões pode ser representado por uma solução gráfica. Além disso, essa abordagem nos permitirá visualizar como
Leia maisMECÂNICA APLICADA II
Escola Superior de Tecnologia e Gestão MECÂNICA APLICADA II Engenharia Civil º ANO EXERCICIOS PRÁTICOS Ano lectivo 005/006 Ano lectivo: 005/006.º semestre MECÂNICA APLICADA II I - Teoria do estado de
Leia maisGabarito P1 - Cálculo para FAU Prof. Jaime Angulo
Gabarito P1 - Cálculo para FAU Prof. Jaime Angulo 1 a Questão [1.5] Note que x quando x ou x e x < quando < x
Leia maisRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II MOMENTO DE INÉRCIA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II MOMENTO DE INÉRCIA Prof. Dr. Daniel Caetano 2013-2 Objetivos Apresentar os conceitos: Momento de inércia Momento polar de inércia Produto de Inércia Eios Principais de Inércia
Leia mais-INF Aula 17 Visualização 3D: Projeções
Visualiação 3D -INF147- Aula 17 Visualiação 3D: Projeções Modelo geométrico Pipeline de visualiação Imagem Modificado de M.M. Oliveira Visualiação 3D Projeções paralelas e perspectiva câmera Projeção ortográfica
Leia mais: v 2 z = v 2 z0 2gz = v 2 0sen 2 θ 0 2gz. d = v 0 cosθ 0.t i) v0sen 2 2 θ 0 = 2g ii) v 0 senθ 0 =gt iii)
Questão 1 a) valor = (2,0 pontos) Durante a trejetória do atleta no ar este sofre a ação apenas de uma única força, a força peso, que está orientada no sentido negativo do eixo Z e produz uma aceleração
Leia maisTRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS
TRANSFRMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANS Parte I Conceitos gerais GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná
Leia maisRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II MOMENTO DE INÉRCIA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II MOMENTO DE INÉRCIA Prof. Dr. Daniel Caetano 2012-2 Objetivos Apresentar os conceitos: Momento de inércia Momento polar de inércia Produto de Inércia Eios Principais de Inércia
Leia mais1 Geometria Analítica Plana
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria
Leia maiscom 3 Incógnitas A interseção do plano paralelo ao plano yz, passando por P, com o eixo x determina a coordenada x.
Interpretação Geométrica de Sistemas Lineares com 3 Incógnitas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática Instituto de Ciências Eatas Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi
Leia maisTransformações Geométricas
Computação Gráfica 5385: Licenciatura em Engenharia Informática Cap. 2 Transformações Geométricas Transformações Geométricas Sumário Transformações geométricas Geometria Projectiva (projecções) Geometria
Leia mais1 Espaços Vectoriais
Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Espaço Vectorial Conjunto de elementos que verifica as seguintes propriedades: Existência de elementos: Contém pelo menos um
Leia maisRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II MOMENTO DE INÉRCIA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II MOMENTO DE INÉRCIA Prof. Dr. Daniel Caetano 2013-1 Objetivos Apresentar os conceitos: Momento de inércia Momento polar de inércia Produto de Inércia Eios Principais de Inércia
Leia maisSeja f um endomorfismo de um espaço vectorial E de dimensão finita.
6. Valores e Vectores Próprios 6.1 Definição, exemplos e propriedades Definição Seja f um endomorfismo de um espaço vectorial E, com E de dimensão finita, e seja B uma base arbitrária de E. Chamamos polinómio
Leia mais