Transformações de Visualização 2D: Clipping. Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro

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1 Transformações de Visualização 2D: Clipping Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro 1

2 Clipping (recorte) Qualquer procedimento que identifica porções de uma figura que estão ou dentro ou fora de uma região específica é chamada de clipping Muitos pacotes gráficos combinam a transformação window-to-viewport com clipping de primitivas gráficas de saída. Algumas aplicações: extrair parte de uma cena identificar superfícies visíveis em visões 3D operações de edição de objectos (copiar, mover) 2

3 Clipping (cont......) 3

4 Clipping (cont......) Clip window: a região na qual um objecto será clipado (geralmente uma área rectangular) Primitivas: Pontos Linhas (segmentos de recta) Áreas (polígonos) Curvas Texto 4

5 Clipping de Pontos Assumir que a clip-window é rectangular Um ponto P = (x, y) será considerado para visualizar se forem satisfeitas as seguintes condições: xw min x xw max yw min y yw max As arestas da clip window podem ser coordenadas da janela das world coordinates ou os límites da viewport. Se alguma das condições não for satisfeita, o objecto é clipped, ou seja, fica fora da zona da visualizção 5

6 Clipping de Linhas (segmentos de recta) Recorte de um linha contra uma área rectangular resulta sempre num segmento de recta. A parte que recai dentro da área de recorte é apresentada. As restantes são ignoradas Dividimos o processo de recorte (clipping) em duas fases: I. Identificar os segmentos de recta que intersectam a fronteira da janela e que portanto, necessitam de ser recortados. II. Execução do recorte 6

7 Clipping de Linhas (segmentos de recta) Como identificar os segmentos de recta que intersectam a fronteira da janela e que portanto, necessitam de ser recortados? Todos os segmentos de recta caem numa das seguintes categorias de recorte: Visível os dois pontos terminais do segmento de recta estão situados dentro da janela. Não visível se ambos os pontos extremos se encontram no exterior da área de recorte e não existe intersecção com a mesma Candidato ao recorte o segmento de recta não pertence nem à categoria visível nem à categoria não visível 7

8 Clipping de Linhas (segmentos de recta) Exemplo das categorias do segmento: Não Visível Candidato a Recorte Visível 8

9 Clipping de Linhas (segmentos de recta) Visível os dois pontos terminais do segmento de recta estão situados dentro da janela: Não visível x min <x 1, x 2 <x max ; y min <y 1,y 2 <y max o segmento de recta satisfaz alguma das seguintes desigualdades: x 1, x 2 >x max ; x 1, x 2 <x min ; y min >y 1,y 2 ;y 1,y 2 >y max Candidato ao recorte o segmento de recta não pertence nem à categoria visível nem à categoria não visível 9

10 Algoritmo de Cohen-Sutherland (clipping) Organigrama Geral Testar os pontos extremos, para verificar se o segmento está todo contido na janela de recorte, evitando cálculos de intersecção. Se o segmento é classificado como candidato a recorte então: é dividido em dois segmentos, a partir de uma das arestas da janela de recorte, de forma que um dos segmentos possa ser classificado como não-visível. repete-se o processo de divisão do segmento restante até cada um dos segmentos seja visível/não-visível 10

11 Algoritmo de Cohen-Sutherland (cont ) Para facilitar o processamento, emprega um cálculo lógico ao nível do bit da seguinte forma: Atribuição de um código de 4 bits a cada ponto extremo do segmento de recta: O código é determinado de acordo com cada uma das nove regiões possíveis, do plano à qual o ponto extremo pertence: () bit 1 setado: se x < x min bit 2 setado: se x > x max bit 3 setado: se y < y min bit 4 setado: se y > y max 11

12 Algoritmo de Cohen-Sutherland (cont...) I. Atribuição de um código de 4 bits a cada ponto extremo do segmento de recta: I. O segmento de recta: () bit 1 setado: se x < x min bit 2 setado: se x > x max bit 3 setado: se y < y min bit 4 setado: se y > y max é visível se os códigos dos dois pontos extremos são 0000, é não-visível se o AND lógico dos códigos não é 0000 e é um candidato ao recorte se o AND lógico dos códigos dos pontos terminais é

13 Algoritmo de Cohen-Sutherland (cont...) Exemplo: H H I Critérios: é visível se os códigos dos dois pontos extremos são 0000 é não-visível se o AND lógico dos códigos não é 0000 é um candidato ao recorte se o AND lógico dos códigos dos pontos terminais é

14 Algoritmo de Cohen-Sutherland (cont...) Determinam-se os pontos de intersecção dos segmentos candidatos ao recorte com a janela Estes pontos de intersecção subdividem os segmentos de recta em segmentos de recta mais pequenos, os quais podem pertencer à categoria visível ou não visível O segmento de recta da categoria visível será o segmento de recta recortado H H I 14

15 Algoritmo de Cohen-Sutherland (cont...) Os pontos de intersecção são determinados através da resolução das equações que representam o segmento e as linhas-fronteiras da janela Para janelas rectangulares, cujos lados são paralelos aos eixos coordenados, não precisamos de verificar a intersecção do segmento de recta com todas as quatro linhas-fronteira. O algoritmo de Cohen-Sutherland determina a(s) linha(s)-fronteira(s) apropriadas para teste: Bit 4 = 1 com y max Bit 3 = 1 com y min Bit 2 = 1 com x max H H I Bit 1 = 1 com x min 15

16 Exemplo: AD: A (0000); D(1001) candidato a recorte O algoritmo escolhe D como o ponto externo, e emprega a aresta superior para o recorte. Obtemos B(0000) AB pode é classificado como visível EI: E(0100); I (1010) candidato a recorte Requer várias iterações O primeiro extremo (E) é escolhido, a recortar com a aresta inferior. Obtemos FI, não é visível nem e não-visível. I(1010) é escolhido onde aplica recorte com a aresta direita, obtendo G(0000) FG pode ser classificado como visível 16

17 Uma questão: Não Visível Candidato a recorte, mas não vai ser recortado Visível I 17

18 Clipping 18

19 Exercício: Execute o recorte dos segmentos de recta da figura, usando o algoritmo de Cohen - Sutherland. 19

20 20

21 Clipping: Algoritmo de Liang-Barsky (1984) O algoritmo de Cohen-Sutherland é sem dúvidas um dos mais antigos e populares algoritmos utilizados no processo de clipping Porem existem algoritmos de clipping mais eficientes e que utilizam como base a equação paramétrica da recta: x = x 1 + u x; y = y 1 + u y, 0 u 1; x = x 2 x 1 ; y = y 2 y 1 Utilizando estas equações paramétricas Liang e Barsky desenvolveram o seguinte algoritmo de clipping 21

22 Clipping: Algoritmo de Liang-Barsky Seguindo a abordagem de Liang-Barsky podemos traduzir as condições de clipping da seguinte forma: xw min x 1 + u x xw max yw min y 1 + u y yw max Cada uma destas quatro inequações pode ser expressa como: up k q k, k = 1, 2, 3, 4 onde os parâmetros p k e q k são definidos como: p 1 = - x, q 1 = x 1 xw min p 2 = x, q 2 = xw max x 1 p 3 = - y, q 3 = y 1 yw min p 4 = y, q 4 = yw max y 1 22

23 Clipping: Algoritmo de Liang-Barsky p 1 = - x, q 1 = x 1 xw min p 2 = x, q 2 = xw max x 1 p 3 = - y, q 3 = y 1 yw min p 4 = y, q 4 = yw max y 1 Algumas observações Um segmento paralelo a alguma das paredes da janela de recorte tem p k = 0 onde k = 1, 2, 3 e 4 corresponde à respectiva parede: esquerda, direita, abaixo e acima. Se para além disto q k < 0, então o segmento é totalmente invisível. Se para os k tais que p k = 0 se verifica que q k 0 então o segmento está contido nas paredes paralelas da janela de recorte. Quando p k < 0 o extremo do segmento de recta vem do exterior da janela de recorte (com relação à respectiva parede definida pelo valor de k) e no caso contrário vem do interior. Para cada p k 0 devemos calcular o valor do parâmetro u que corresponde ao ponto de intersecção da recta (definida pelo segmento que estamos a analisar) com a extensão da k-parede da janela de recorte. Por definição termos que u k = q k / p k 23

24 Clipping: Algoritmo de Liang-Barsky (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) Qual a parte do segmento de que está dentro da janela de recorte? 24

25 Clipping: Algoritmo de Liang-Barsky p 1 = - x, q 1 = x 1 xw min p 2 = x, q 2 = xw max x 1 p 3 = - y, q 3 = y 1 yw min p 4 = y, q 4 = yw max y 1 Algumas observações Para cada segmento de recta podemos calcular os parâmetros u 1 e u 2 Estes parâmetros definem que parte do segmento está contido na janela de recorte. O valor de u 1 (de fora para dentro, p k < 0) u 1 = max {0, r k s}, onde r k = q k /p k O valor de u 2 (de dentro para fora, p k > 0) u 2 = min {1, r k s}, onde r k = q k /p k Se u 1 > u 2 então o segmento de recta é totalmente invisível 25

26 Clipping: Algoritmo de Liang-Barsky Exemplo p 1 = - x, q 1 = x 1 xw min p 2 = x, q 2 = xw max x 1 p 3 = - y, q 3 = y 1 yw min p 4 = y, q 4 = yw max y 1 u 1 = max {0, r k s}, onde r k = q k /p k ; para p k < 0 u 2 = min {1, r k s}, onde r k = q k /p k ; para p k > 0 p 1 < 0, p 3 <0 u 1 = max(0, r 1, r 3 ) = r 1 p 2 > 0, p 4 > 0 u 2 = min(1, r 2, r 4 ) = 1 r 4 r 2 (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) r 1 r 3 26

27 Clipping: Algoritmo de Liang-Barsky Exemplo (15,23) R2 (10,20) (25,20) (5,18) R1 (15,17) (5,12) (10,10) (25,10)

28 Clipping: Algoritmo de Liang-Barsky Exemplo Calcular p e q para R1 p1 = - x = -(15-5) = -10 p2 = x = 15-5 = 10 p3 = - y = -(17-12) = -5 p4 = y = = 5 q1 = x1 - x wmin = 5-10 = -5 q2 = x wmax - x1 = 25-5 = 20 q3 = y1 - y wmin = = 2 q4 = y wmax - y1 = = 8 28

29 Clipping: Algoritmo de Liang-Barsky Exemplo Calcular u1 (de fora para dentro) para R1 p1 = -10 < 0 p3 = -5 < 0 x=x 1 +u x y=y 1 +u y, 0 u 1 r1 = q1/p1 = -5/-10 = 0.5 r3 = q3/p3 = 2/-5 = u1 = max (0, r1, r3) = max (0, 0.5, -0.4) = 0.5 Substituindo na equação paramétrica: x = * 10 = 10 (o que já sabíamos) y = * 5 = 14.5 (o que não sabíamos) 29

30 Clipping: Algoritmo de Liang-Barsky Exemplo Calcular u2 (de dentro para fora) para R1 p2 = 10 > 0 p4 = 5 > 0 r2 = q2/p2 = 20/10 = 2 r4 = q4/p4 = 8/5 = 1.6 u2 = min (1, r1, r3) = min (1, 2, 1.6) = 1 Como u2 resulta 1, rejeitamos o cálculo de novos valores de dentro para fora. 30

31 Recorte de Polígonos. Introdução Definições e Notações: Um polígono é chamado convexo se o segmento de recta definido por dois quaisquer pontos interiores do polígono está situado completamente dentro do polígono. Por convenção, um polígono com os vértices P 1, P 2,..., P N é chamado positivamente orientado, se uma volta pelos vértices, numa dada ordem, produz um circuito no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (CCW) B A Convexo Não-Convexo Orientação Positiva (CCW) vs Orientação Negativa (CW) 31

32 Recorte de Polígonos. Introdução Definições e Notações (cont...): Vectores tridimensionais: Em R 3 podemos definir três vectores coordenados I, J, K. Estes vectores são vectores unitários com a direcção e sentido da parte dos eixos Ox, Oy e Oz. Então: Qualquer vector V pode ser definido por componentes em função de I, J, K: V = ai + bj + ck As componentes [a, b, c] dos vectores V são também as coordenadas de extremidade do vector V, quando a origem de V se localiza na origem do SCC. Em situação geral o vector V com extremos em P 0 e P 1 : P 0 P 1 =(x 1 -x 0 )I + (y 1 -y 0 )J + (z 1 -z 0 )K O módulo de um vector V, V é dado pela fórmula: V = a + b + c

33 Recorte de Polígonos. Introdução Definições e Notações (cont...): Produto Escalar e Produto Vectorial: Sejam V 1 = a 1 I + b 1 J + c 1 K e V 2 = a 2 I + b 2 J + c 2 K Produto Escalar: V 1 V 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 Dois vectores são perpendiculares sse V 1 V 2 = 0 Dois vectores são paralelos sse V 1 = kv 2 Produto Vectorial: V 1 x V 2 é um vector cujo módulo é V 1 x V 2 = V 1 V 2 sen (θ) onde θ é o ângulo entre V 1 e V 2 V 1 x V 2 é um vector perpendicular quer a V 1 quer a V 2 e cuja direcção é definida pela regra da mano direita: 33

34 Recorte de Polígonos. Introdução Definições e Notações (cont......): Produto Escalar e Produto Vectorial: 34

35 Recorte de Polígonos. Introdução Definições e Notações (cont...): Produto Vectorial (cont...): Por definição: V 1 x V 2 = - (V 2 x V 1 ) De notar também que V x V = 0 Finalmente: Se V 1 =a 1 I Se V 1 =a 1 I+a 2 J+a 3 K e V 2 =b 1 I+b 2 J+b 3 K então I J K a V 1 V 2 = a 1 a 2 a 3 = 2 a 3 I+ a 1 a 3 J+ a 1 a 2 K b b 1 b 2 b 2 b 3 b 1 b 3 b 1 b 2 3 (a 2 b 3 a 3 b 2 ) I+(a 1 b 3 a 3 b 1 )J+(a 1 b 2 a 2 b 1 )K 35

36 Recorte de Polígonos. Introdução Como podemos determinar se um ponto P(x, y) está localizado à esquerda ou à direita de um segmento orientado definido pelos pontos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 )? Solução: Sejam AB e AP dois vectores. Por definição de produto vectorial: Se P está a esquerda de AB então o vector AB x AP aponta segundo a direcção do vector K, que é perpendicular ao plano xoy; Se P está a direita de AB então o produto vectorial aponta segundo a direcção K Sendo AB= (x 2 -x 1 )I + (y 2 -y 1 )J e AP = (x-x 1 )I + (y y 1 )J então AB x AP = [(x 2 -x 1 ) (y-y 1 ) - (y 2 -y 1 ) (x-x 1 )]K Sendo C = (x 2 -x 1 ) (y-y 1 ) - (y 2 -y 1 ) (x-x 1 ), então: Se C > 0, então P está à esquerda de AB Se C < 0, então P está à direita de AB 36

37 Recorte de Polígonos 37

38 Recorte de Polígonos Algoritmo de Sutherland-Hodgman Seja P 1, P 2,..., P N a lista de vértices do polígono a ser recortado. Seja a aresta a, determinada pelos pontos extremos A e B, qualquer aresta da janela de recorte (orientada positivamente). Recortamos cada uma das arestas do polígono em função da aresta a do polígono de recorte, construindo assim um novo polígono cujos vértices são determinados como segue: Considere a aresta do polígono P i-1 P i : C D P i-1 B A P i 38

39 Recorte de Polígonos Algoritmo de Sutherland-Hodgman 1. Transição Interior-Interior: (ambos os vértices estão contidos no semi-plano interior da janela de recorte) Se ambos P i-1 e P i estão à esquerda da aresta a, então o vértice P i é colocado na lista de vértices de saída 39

40 Recorte de Polígonos Algoritmo de Sutherland-Hodgman 2. Transição Exterior-Exterior: (ambos os vértices estão contidos no semi-plano exterior Se ambos P i-1 e P i estão à direita da aresta a, nada é colocado na lista de vértice de saída 40

41 Recorte de Polígonos Algoritmo de Sutherland-Hodgman 3. Transição Interior-Exterior: (quando ocorre uma transição do semi-espaço interior para o exterior) Se P i-1 está a esquerda e P i está à direita da aresta a, é calculado o ponto de intersecção I do segmento da recta P i-1 P i com a aresta estendida a, e depois colocado na lista de vértices de saída 41

42 Recorte de Polígonos Algoritmo de Sutherland-Hodgman 4. Transição Exterior-Interior: (quando ocorre uma transição do semi-espaço exterior para o interior) Se P i-1 está a direita e P i está à esquerda direita da aresta a, é calculado o ponto de intersecção I do segmento da recta P i-1 P i com a aresta estendida a, e depois ambos I e P i são colocados na lista de vértices de saída 42

43 Recorte de Polígonos Algoritmo de Sutherland-Hodgman O algoritmo de Sutherland-Hodgman processa-se por fases, em cada uma das quais o polígono recortado é novamente sujeito ao recorte de uma das arestas da janela. Organigrama do Algoritmo: O algoritmo começa por fazer entrada dos vértices de um polígono, um de cada vez. Para cada vértice de entrada serão gerados zero, um o dois vértices de saída, dependendo da relação dos vértices de entrada com a aresta a de recorte (ver algoritmo). Atenção: O processo inverso do clipping é denominado supressão ocultação de uma parte da cena, de forma a torná-la invisível. O algoritmo de Sutherland-Hodgman pode ser modificado para produzir supressão de imagem. 43

44 Algoritmo de Sutherland-Hodgman (Exemplo 1) C P 2 C B P 2 B. I 1 D A P 1 D i = 2, S = {I 1, P 2 } A P 1 P 3 P 2 P 2 C B. I 1 C B. I 1. I 2 D A D A P 3 i=3, S = {I 1, P 2, P 3 } P 3 i=4, S = {I 1, P 2, P 3, I 2 } 44

45 Algoritmo de Sutherland-Hodgman (Exemplo 2) 45

46 Algoritmo de Sutherland-Hodgman (Exemplo 2) 46

47 Algoritmo de Sutherland-Hodgman (Exemplo 2) 47