Transformações Geométricas para Visualização 3D

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1 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Transformações Geométricas para Visualiação 3D por Marcelo Gattass Departamento de Informática PUC-Rio (adaptado por Lui Fernando Martha para a disciplina CIV8 Sistemas Gráficos para Engenharia) Transformações Lineares R R P P T(a P + a P ) a T(P ) + a T(P ) Mostre que: A) T () B) T m m T m m m m m m Transformações Geométricas para Visualiação 3D

2 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Transformações Lineares (escala) P P Redução (< s <), Aumento (s >) s s Transformações Lineares (espelhamento) P P P P Transformações Geométricas para Visualiação 3D

3 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Transformações Lineares (rotação) P θ P.cos θ.sen θ.sen θ +.cos θ cos θ sen θ sen θ cos θ Transformações Lineares (rotação.vs. mudança de base) P v θ P P ou u v θ u u v cos θ sen θ sen θ cos θ u v u v u v A rotação de um ponto de θ tem o mesmo efeito da mudança de base por rotação de θ. A matri que implementa a mudança de base por rotação tem em cada linha as componentes dos vetores unitários da nova base descritos na base antiga. Transformações Geométricas para Visualiação 3D 3

4 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Transformações Geométricas (Translação) P P t t t P + t t?? Não pode ser?? escrito na forma t + t Ruim para implementação Vantagens das coordenadas homogêneas (Translação) w t w h h P t t [T] Matri de Translação Transformações Geométricas para Visualiação 3D 4

5 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Coordenadas homogêneas P P w w w h h w w h /w h /w w> w h E.: h Concatenação α cosα sinα α sinα cosα ' cosα sinα ' sinα cosα Transformações Geométricas para Visualiação 3D 5

6 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Concatenação de Transformações T T R R E P T R E R T P Transformações em 3D (translações e escalas) t t t s s s Transformações Geométricas para Visualiação 3D 6

7 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Transformações em 3D (rotações em torno dos eios cartesianos) θ cos θ sen θ sen θ cos θ θ θ cos θ sen θ sen θ cos θ cos θ sen θ sen θ cos θ Transformações em 3D (rotação em torno de um eio qualquer que passa pela origem) m m m 3 m m 3 m m 3 m 3 m 33 v (v, v, v ) m v + cosθ ( v ) m v v ( cosθ ) v sen θ m 3 v v ( cosθ ) + v sen θ m v v ( cosθ ) + v sen θ m v + cosθ ( v ) m 3 v v ( cosθ ) v sen θ m 3 v v ( cosθ ) v sen θ m 3 v v ( cosθ )+ v sen θ m v + cosθ ( v ) Transformações Geométricas para Visualiação 3D 7

8 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Projeções Clássicas Projeções Planas Cônicas A A p B B p realista não preserva escala não preserva ângulos Transformações Geométricas para Visualiação 3D 8

9 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Projeções Planas Paralelas A A p B B p pouco realista preserva paralelismo possui escala conhecida Classificação das projeções planas Paralelas» ortográficas dp // n plantas elevações iso-métrica» oblíquas dp não é paralela a n cavaleiras cabinet Cônicas» pto de fuga» ptos de fuga» 3 ptos de fuga Transformações Geométricas para Visualiação 3D 9

10 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Projeções de um cubo Paralelas / α α planta ou elevação iso-métrica Cabinete (α45º ou 6º) Cavaleira (α45º ou 6º) Cônicas pto de fuga ptos de fuga Projeção plana é uma transformação linear? Ou seja: V T(P+Q) T(P)+T(Q) e T(αP) αt(p)? O V V p (V) p (V p ) V V V p plano de projeção O V p cp Projeções cônicas não são TL, paralelas podem ser. cp Transformações Geométricas para Visualiação 3D

11 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Projeção plana paralela é uma transformação linear? T(P+Q) T(P)+T(Q)? P+Q P retas paralelas projetam em paralelas P p Q P p P p + Q p O Q p Q p T( )? Projeção paralela em plano que passa pela origem é uma transformação linear Matries de projeções Cavaleiras e Cabinetes M (,,) k α R 3 R T(,,) (,) T(,,) (,) T(,,) ( k cos α, k sen α ) M k.cos(α) k.sen(α) Transformações Geométricas para Visualiação 3D

12 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Matries de projeções pseudo-isométricas j M j p (,,) k i k p R 3 R i p T(,,) (cos 3º, sin 3º) T(,,) (,) T(,,) ( cos 3º, sin 3) M cos3º sin3º cos3º sin3º Transformações Geométricas para Visualiação 3D

13 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Projeções Cônicas Projeção cônica simples olho ou câmera: centro de projeção frustum ou volume de visão (tronco de pirâmide) e e p p p e p e e p p p p d p -d p e d - e e p e d - p d -e e d p - p d n p d -e e e e e Transformações Geométricas para Visualiação 3D 3

14 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Projeção cônica simples via coordenadas homogêneas e p p d e p p -e p d -e e e p -d p p p d e d e d e d e d d - - (d/- ) e (d/- ) e -d [ P ] w w Simplificação da projeção cônica: distorção do frustum de visão Projeção cônica É muito mais simples implementar uma projeção ortográfica do que uma projeção cônica. Projeção ortográfica ee plano de projeção direção de projeção plano de projeção Transformações Geométricas para Visualiação 3D 4

15 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Efeito de profundidade Como seria possível transformar a projeção cônica em uma projeção ortográfica considerando efeito de profundidade? e e Solução: coordenadas homogêneas (eemplo D) 3 - A D P A D O - B O infinito - B C P A A 3 - C P D D 3-4 P B B P C C Transformações Geométricas para Visualiação 3D 5

16 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Importância do efeito de profundidade: remoção de superfícies escondidas - Projeção cônica simples preservando profundidade em planaridade e p p d e p p -e p d -e e e p profundidade Condição de manutenção de planaridade de planos no espaço distorcido: p α + (β / ) p p p d d e d e -α -β -α -β e d e - - (d/- ) e (d/- ) e α+(β / ) [ P ] w w Transformações Geométricas para Visualiação 3D 6

17 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Determinação da profundidade p para garantir planaridade O espaço de coordenadas ( p, p, p ) obtido pela matri de transformação [P] é denominado espaço da tela. A transformação do objeto para o espaço da tela é conveniente porque fa com que o processo de remoção de linhas e superfícies ocultas de uma imagem seja feito com base em retas perpendiculares ao plano de projeção (projeção ortográfica). Isto é, para saber se um ponto de uma linha ou superfície é obscurecido por outro ponto basta comparar a profundidade p dos dois pontos: o que tiver a menor profundidade é o ponto que aparecerá na tela. Entretanto, para que o resultado da transformação do objeto para o sistema de coordenadas da tela seja útil para a eliminação de linhas e superfícies escondidas, é necessário que se calcule a profundidade de uma linha, não somente para os seus pontos etremos, mas também para qualquer ponto interior da linha. O mesmo se aplica para pontos interiores de um plano. Determinação da profundidade p para garantir planaridade (cont.) Portanto, para que a interpolação de um ponto interior no espaço da tela seja simples, é preciso que: Linhas retas no sistema de coordenadas do olho sejam transformadas para linhas retas no sistema de coordenadas da tela. Planos no sistema de coordenadas do olho sejam transformados para planos no sistema de coordenadas da tela. Assim: e - d p e d - p Substituindo e e e na primeira equação e dividindo por, tem-se: + Comparando esta equação com a segunda equação, vê-se que:. + p α + (β / ) Transformações Geométricas para Visualiação 3D 7

18 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Distorção do frustum de visão para um paralelepípedo de mesma altura e n e n -near -d Obs.: near e far são distâncias (> ); d near (usualmente adotado). [ P ] n+f n f -far p [ P ] Eistem infinitos valores de α e β que satisfaem a condição de planaridade p α + (β / ). Uma boa opção é manter a altura do frustum de visão na distorção. Isto fa o problema da projeção cônica recair no problema padrão de projeção ortográfica. Neste caso: α (near + far) β (near far) n near p f far p p -near p -far Geometria Projetiva e Coordenadas Homogêneas em 3D p plano de projeção p p e e p p p p olho ou câmera p p p h h h w Problema: como transformar a projeção cônica geral em uma projeção cônica simples? h /w h /w h /w m m m 3 m 4 m m m 3 m 4 m 3 m 3 m 33 m 34 m 4 m 4 m 43 m 44 [ P ][? ] p Transformações Geométricas para Visualiação 3D 8

19 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Transformação de câmera Dados: ee, ref, vup (definem o sistema de coordenadas do olho) Determine a matri que leva do sistema de Coordenadas dos Objetos para o sistema de Coordenadas do Olho o vup (direção vertical da câmera) ee ref (ponto de referência) o e e o Sistema de coordenadas dos Objetos Sistema de coordenadas do Olho Parâmetros: ee( ee, ee, ee ) ref ( ref, ref, ref ) vup( vup, vup, vup ) Calcula o sistema e e vup ee dados: ee, ref, vup ref view view ref - ee vup ee view ref view / view Transformações Geométricas para Visualiação 3D 9

20 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Calcula o sistema e e vup e ee e (vup ) / vup view ref e vup e ee view vup e ref e ee e e view Translada o ee para origem (mudança de base por translação) e e ee ref [ T c ] -ee -ee -ee e e ee A matri da mudança de base por translação para a nova origem ee é obtida aplicando-se um vetor de translação igual a -ee. ref Transformações Geométricas para Visualiação 3D

21 Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Rotaciona e e para o o o [ R ] e e e e e e e e, e ee, e, ref A matri que implementa a mudança de base por rotação tem em cada linha as componentes dos vetores unitários da nova base descritos na base antiga. Matri de transformação de Câmera [C] [ T c ] [ R ] -ee -ee -ee e e e e e e view / view e (vup ) / vup e e [ C ] [ R ] [ T c ] h h h w m m m 3 m 4 m m m 3 m 4 m 3 m 3 m 33 m 34 m 4 m 4 m 43 m 44 p p p h /w h /w h /w [ P ][ C ] Transformações Geométricas para Visualiação 3D