Coeficiente angular. MA092 Geometria plana e analítica. Equação da reta a partir de um ponto e um ângulo. Exemplo 1
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- Afonso de Andrade Moreira
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1 Coeficiente angular MA092 Geometria plana e analítica. e perpendiculares Resultado Uma reta não vertical, y = mx + q, tem coeficiente angular m dado pela tangente do ângulo α medido no sentido anti-horário a partir da horizontal: m = tan(α) Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Novembro de 2016 m = y B y A x B x A = tan(α) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 a partir de um ponto e um ângulo Exemplo 1 Se uma reta passa pelo ponto (x 1, y 1 ) e possui um ângulo α com a horizontal, então podemos representá-la por em que y y 1 = m(x x 1 ) m = tan(α) Escreva a equação da reta que passa por (, 2) e faz um ângulo de 0 com a horizontal. y y 1 = m(x x 1 ) m = tan(0 ) = y 2 = (x ) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de 2016 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20
2 a partir de dois pontos Exemplo 2 Se uma reta passa pelos pontos (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) com x 1 x 2, então podemos representá-la por y y 1 = m(x x 1 ) [ ou y y 2 = m(x x 2 ) ] Escreva a equação da reta que passa por ( 2, 1) e (, 4) m = y 2 y 1 x 2 x 1 = 4 1 ( 2) = 5 y y 1 = m(x x 1 ) y 1 = (x ( 2)) 5 em que m = y 2 y 1 x 2 x 1 y 1 = 5 (x + 2) y = 5 x Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 Exemplo Encontre o ângulo que a reta que passa pelos pontos ( 2, 1) e (, 4) faz com a horizontal. Condição de paralelismo Se as retas não verticais r e s são paralelas, então m r = m s. Além disso, se m r = m s, as retas r e s são paralelas. m = 4 1 ( 2) = 5 Como r e s são paralelas α = arctan(/5) 0, 96 α r = α s Logo, tan(α r ) = tan(α s ) Assim, m r = m s Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20
3 Exemplo 4 Determine se são paralelas as retas r : y = x 2 e s : 15x + 5y + 4 = 0 Observamos que m r =. Para achar m s, convertemos s à forma reduzida: 5y = 15x 4 y = 15x y = x 4 5 Comparando os coeficientes angulares, notamos que m s = m r = Exemplo 5 Encontre a reta s que passa por (5, ) e é paralela a r : y = 2x + 1. Obtendo o coeficiente angular: m s = m r = 2 Fazendo a reta passar por (5, ) y = 2(x 5) Logo, as retas são paralelas. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 Demonstração Se r e s são perpendiculares, Condição de perpendicularidade Se as retas não verticais r e s são perpendiculares, então m s = 1 m r. ou Logo, α s + 90 α r = 180 α s = 90 + α r Além disso, se m s = 1/m r, as retas r e s são perpendiculares. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 tan(α s ) = tan(90 + α r ) = sen(90 + α r ) cos(90 + α r ) = sen(90 )cos(α r ) + sen(α r )cos(90 ) cos(90 )cos(α r ) sen(α r )sen(90 ) = cos(α r) sen(α r ) = 1 tan(α r ) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20
4 Exemplo 6 Exemplo 7 Mostre que são perpendiculares as retas r : y = 6x 2 e s : 2x + 12y 15 = 0 Encontre a reta s que passa por ( 4, 7) e é perpendicular a r : y = 5x 2. Convertendo s à forma reduzida: 12y = 2x + 15 y = 2x y = 1 6 x Obtendo o coeficiente angular: m s = 1 m r = 1 5 Observando que m r = 6 e comparando os coeficientes angulares: m s = 1 6 = 1 m r Fazendo a reta passar por ( 4, 7) y 7 = 1 5 (x ( 4)) y 7 = 1 (x + 4) 5 Logo, as retas são perpendiculares Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 Exercício 1 Exercício 2 Determine a equação da reta que passa pelo ponto (7, 5) e faz um ângulo de 60 com a horizontal. y + 5 = (x 7) Reescreva a equação da reta abaixo na forma reduzida e determine o ângulo que ela faz com a horizontal. y = 1 12 x 5 4 α = 4, 76 x/ 4y 5 = 0 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20
5 Exercício Exercício 4 As retas abaixo são paralelas? 2x y + 7 = 0 e 5x 4y + 1 = 0 Determine a equação da reta que passa pelo ponto (6, 4) e é paralela a uma reta que passa por ( 2, 5) e (4, 8). Não y = 1 2 x + 1 ou y 4 = 1 2 (x 6) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 Exercício 5 Exercício 6 Sejam dadas as retas r : x + ay 1 = 0, e s : 2x 4y + 4 = 0. Determine o valor de a que faz com que r e s sejam perpendiculares. a = /2 Determine a equação da reta que é perpendicular a x 2y + 4 = 0 e passa pelo ponto ( 2, ). y = 2 (x + 2) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Novembro de / 20
Exemplo: As retas r: 2x 3y = 1 e s: 10x 15y = 18 são paralelas?
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