Introdução ao Processamento e Síntese de imagens - Projeções

Transcrição

1 Introdução ao Processamento e Síntese de imagens - Projeções Júlio Kiyoshi Hasegawa Fontes: Esperança e Cavalcanti (22) (UFRJ) e Traina e Oliveira (24) (USP) Antonio Maria Garcia Tommaselli - notas de Aula de CG (29)

2 Projeções Geométricas: Definição Projeções permitem a visualização bidimensional de objetos tridimensionais. Isso exige a conversão de coordenadas 3D em coordenadas 2D, o que resulta em uma visão do objeto em uma posição específica. Propósito da projeção: definir um volume de visualização que determine como um objeto é projetado sobre a tela e quais objetos ou porções de objetos serão cortados da imagem final.

3 Projeções Geométricas: Definição Plano de projeção: superfície onde será projetado o objeto (representação 2D). Raios de projeção: retas (virtuais) que passam pelos pontos do objeto e pelo centro de projeção. Centro de projeção: ponto de onde os raios de projeção partem. y Centro de Projeção Projetante z Objeto x Plano de Projeção Um ponto se projeta no plano de projeção quando o raio de projeção intercepta o plano de projeção.

4 Projeções Geométricas: Classificação A classificação das projeções depende das relações entre o centro de projeção, o plano de projeção e a direção das linhas ou raios de projeção. O método de projeção controla como os objetos da cena são mapeados no plano de imagem. Projeções podem ser: paralelas perspectivas.

5 Projeções na projeção ortográfica, ou projeção paralela, o processo de mapeamento é paralelo: assume-se que todos os raios de luz que atingem a câmara são paralelos ao vetor de projeção; Na projeção perspectiva, todos os raios convergem para um ponto comum, denominado ponto de observação, ou centro da projeção. Nesse caso, deve-se determinar o ângulo de visão da câmara

6 Projeções Geométricas: Definição Três elementos básicos são considerados: plano de projeção, raio projetante e centro de projeção. y Organização dos parâmetros na Projeção em Perspectiva z Plano de Projeção x Organização dos parâmetros na Projeção Paralela

7 Projeções Paralelas Projetantes paralelas Perspectivas Projetantes convergentes Ortográfica Projetantes perpendiculares ao plano de projeção Múltiplas Vistas Plano de projeção paralelo aos planos principais Axométricas Plano de projeção não paralelo aos planos principais Obliqua Projetantes não perpendiculares ao plano de projeção Cavaleira Cabinet 1 ponto de Fuga 2 pontos de Fuga 3 pontos de Fuga Isométrica Dimétrica Trimétrica

8 Projeções Geométricas: Paralela Centro de Projeção no infinito: as linhas de projeção são paralelas entre si. Há apenas indicação da direção para os raios projetantes

9 Projeções Paralelas Quando a direção projeção é perpendicular ao plano de projeção tem-se uma projeção ortográfica, caso contrário tem-se uma projeção oblíqua; As projeções ortográficas são muito comuns em engenharia e arquitetura para gerar vistas frontais, laterais e traseiras de objetos Se o plano de observação está posicionado em z vp ao longo do eixo z v, então a descrição de qualquer ponto P = (x,y,z) em coordenadas do sistema de observação é transformada para as coordenadas de projeção

10 Projeções Geométricas: Paralela Ortográfica: as linhas de projeção são paralelas entre si e perpendiculares ao plano de projeção.

11 Projeções Geométricas: Paralela Ortográfica (múltiplas vistas): mostra o objeto visto do topo (planta baixa), de frente e de lado (elevação). Plano xy = Z Y X Z Y X

12 Projeções Geométricas: Paralela Ortográfica (Axométrica): considera medidas antes e depois da projeção. Isométrica (mais comum): a direção de projeção faz ângulos iguais com os 3 eixos principais. XYZ:do objeto: mesma mudança nas métricas

13 Projeções Geométricas: Paralela Ortográfica (Axométrica): vetor de projeção tem a direção normal ao plano de projeção. Isométrica: a direção de projeção faz ângulos iguais com os 3 eixos principais. Dimétrica: a direção de projeção faz ângulos iguais com dois dos eixos principais. Trimétrica: a direção de projeção faz ângulos desiguais com os 3 eixos principais.

14 Projeções Geométricas: Paralela Ortográfica (Isométrica): projeção em XY 1 cos(θ) -sen(θ) sen(θ) cos(θ) 1 cos(β) sen(β) 1 -sen(β) cos(β) x y z 1. plano xy (z=) Utilizar três vetores unitários ((1,,); (,1,); (,,1)) para obter os ângulos que resultam em uma projeção isométrica

15 Projeções Geométricas: Paralela Oblíqua: as linhas de projeção são paralelas entre si e inclinadas em relação ao plano de projeção

16 Projeções Geométricas: Paralela Oblíqua Cavaleira: as linhas de projeção são paralelas entre si e ângulo de 45 em relação ao plano de projeção direção de projeção é escolhida de modo que não haja encurtamento de retas perpendiculares ao plano xoy. Preserva medida original nas direções não paralelas ao plano de projeção

17 Projeções Geométricas: Paralela Oblíqua Cabinet: ângulo específico com o plano de projeção 63,4, reduzindo à metade o tamanho do objeto. direção de projeção é escolhida de modo que os seguimentos de retas perpendiculares ao plano xoy sejam encurtados pela metade dos seus comprimentos. Somente a face paralela ao plano de projeção permanece com o seu tamanho sem distorção

18 Perspectiva É o estudo de transformações projetivas O problema consiste em projetar pontos no espaço d dimensional no plano d -1 dimensional usando um ponto especial chamado de centro de projeção Centro de Projeção

19 Perspectiva projeções perspectivas com um ponto de fuga. Somente as linhas paralelas ao eixo z convergem, e as linhas paralelas aos eixos x e y continuam paralelas! Plano de projeção é perpendicular a um dos eixos principais (X, Y, Z)

20 Perspectiva As projeções perspectivas com 2 pontos de fuga (quando 2 eixos principais são interceptados pelo plano de projeção) são mais comumente usadas em arquitetura, engenharia, desenho publicitário e projeto industrial

21 Perspectiva Projeções perspectivas com 3 pontos de fuga são bem menos utilizadas, pois adicionam muito pouco em termos de realismo comparativamente às projeções com 2 pontos de fuga, e o custo de implementação é bem maior.

22 Transformações Projetivas Transformações projetivas transformam retas em retas mas não preservam combinações afim P P Q Q é o ponto médio de PR, mas Q não é o ponto médio de P R Q R Centro de Projeção R

23 Perspectiva O encurtamento perspectivo, é a ilusão de que os objetos e comprimentos são cada vez menores à medida que sua distância ao centro de projeção aumenta; conjuntos de linhas paralelas que não são paralelas ao plano de projeção, convergem para um ponto de fuga; Denominam-se pontos de fuga principais, quando dá-se a aparência de haver uma intersecção entre um conjunto de retas paralelas com um dos eixos principais Ox, Oy ou Oz. O número de pontos de fuga principais é determinado pelo número de eixos principais intersectados pelo plano de projeção. Por exemplo: se o plano de projeção intercepta apenas o eixo z (então é perpendicular ao eixo z), somente o eixo z possui um ponto de fuga principal, pois linhas paralelas aos eixos x e y, são também paralelas ao plano de projeção, e dessa forma não ocorre a ilusão de convergência.

24 Transformações projetivas: Origem no CP z Plano de projeção y d P =(P x,p y,p z ) Por semelhança de triângulos, vemos que P=(P x,p y,p z ) P P P y y.d Py = P y = = P d Pz ( Pz / d) y z Se o plano de projeção é perpendicular ao eixo z, está a uma distância d do C.P. (que está na origem) e intercepta o semieixo z negativo, então a projeção de um ponto P é dada por P P x y P = d Pz / d Pz / d 1 T

25 Transformação perspectiva em coordenadas homogêneas Exercício: Gerar um cubo definir as coordenadas dos vértices e calcular as coordenadas projetadas. Obs: câmara na origem do sistema e o cubo afastado de 3 unidades da face + próxima. = = = 1 / / / 1 1/ d d P P d P P d P P P P P P P d P z y z x z z y x z y x

26 Perspectiva: Origem no espaço objeto Plano de projeção em z vp centro de projeção em z prp Para determinar as coordenadas (x,y,z ), que são as coordenadas de ponto qualquer ao longo da reta. O parâmetro u assume valores no intervalo [,1]: quando u =, estamos em P = (x,y,z), e quando u = 1 temos exatamente o centro de projeção (,, z prp )

27 Perspectiva: Origem no espaço objeto Definição de perspectiva através de matrizes 4x4, o que é interessante para a composição de transformações juntamente com a projeção; No plano de observação, sabemos que z'= z vp, e podemos resolver a equação de z' para obter o valor do parâmetro u nessa posição ao longo da linha de projeção:

28 Perspectiva: Origem no espaço objeto Substituindo o valor de u nas equações de z' e y', obtemos as equações de transformação perspectiva: Usando coordenadas homogêneas pode-se escrever a transformação na forma matricial:

29 Perspectiva Nesta representação o fator homogêneo é E as coordenadas do ponto projetado no plano de observação são obtidas a partir das coordenadas homogêneas dividindo-se por h:

30 Perspectiva: Origem no espaço objeto Exercício: Gerar um cubo definir as coordenadas dos vértices e calcular as coordenadas projetadas. Obs: o centro da face do cubo na origem do sistema (lados com 1 unidade), centro de projeção com 5 unidades e plano de projeção com 3 unidades.

31 Perspectiva Observa-se que o valor original da coordenada z precisa ser mantido nas coordenadas de projeção para uso por algoritmos de remoção de linhas ocultas. Em geral, o centro da projeção não precisa ser posicionado ao longo do eixo z v, e as equações acima podem ser generalizadas para considerar o centro em um ponto qualquer. Existem vários casos especiais a serem considerados para as equações acima. Por exemplo, se o plano de projeção coincide com o plano uv, i.e., z vp =, então dp = z prp. Em alguns pacotes gráficos é assumido que o centro de projeção coincide com a origem do sistema de coordenadas de observação, i.e., nesse caso z prp =.