ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Ficha de revisão n.º 3

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Ficha de revisão n.º 1. No referencial da figura está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que B(6,0,0) e V(,0,8) 1.1. Mostre que as coordenadas de C são (,,0). 1.. Determine uma equação do plano BCV. 1.. Calcule o volume do cone de vértice V e base inscrita na base da pirâmide Determine a área da secção produzida na pirâmide pelo plano z= Escreva uma equação da superfície esférica de centro B e que contém o ponto médio de [AV] Defina por uma condição [CV] Determine um valor aproximado, às centésimas do grau, da medida da amplitude do ângulo formado por: VB e BC VC e BA.. A figura representa uma superfície esférica que, num referencial Oxyz, tem equação x + y + z = 5 A, B e C são pontos da superfície esférica; A(0,4,) e B(0,-4,); C é um ponto de cota negativa no eixo Oz..1. Mostre que a equação do plano tangente à superfície esférica no ponto A é 4 y + z = 5... Justifique que C(0,0,-5) e determine as coordenadas do ponto de intersecção do plano da alínea anterior com a recta BC... Calcule tg ACB PROFESSORA: Rosa Canelas 1 004/005

2 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Ficha de revisão n.º proposta de resolução 1. No referencial da figura está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que B ( 6,0,0) e V,0, As coordenadas de C são (,,0 ) porque: Num quadrado as diagonais são perpendiculares e iguais. A diagonal [AC] por ser perpendicular à diagonal [OB] é paralela ao eixo Oy e situa-se sobre a recta de equação x =. Como a diagonal mede 6, C está à direita do eixo Ox unidades. Donde C por estar no plano xoy tem coordenadas C(,,0). 1.. Para determinar uma equação do plano BCV. BC = C B =,,0 6,0,0 =,,0 Comecemos por calcular os vectores BV = V B =,0,8 (6,0,0) =,0, 8 que são concorrentes. Vamos agora calcular as coordenadas de n( x,y,z) perpendicular aos dois vectores: ( x, y,z ).(,,0 y x ) 0 = = x + y = 0 y = 8 Fazendo x = 8 será e daí ( x, y,z ).(,0,8 ) = 0 x + 8z = 0 z = x z = 8 que n( 8,8,) é um vector normal ao plano. Se B( 6,0,0 ) e P(x,y,z) são pontos do plano BP.n = 0 x 6, y,z. 8,8, = 0 8x y + z = 0 8x + 8y + z = 48 e E 8x + 8y + z = 48 é a equação do plano BCV. 1.. Para calcular o volume do cone de vértice V e base inscrita na base da pirâmide, precisamos de calcular o raio da base e vamos fazê-lo, usando o teorema de Pitágoras como sugere a figura ao lado 9 x + x = 9 x = 9 x = x = x = 1 O volume do cone é dado por V = Ab a e como x x PROFESSORA: Rosa Canelas 004/005

3 Ab = πr concluímos que 1 V = π 8= 1π 1.4. Para determinar a área da secção produzida na pirâmide pelo plano z=6, temos primeiro de saber que essa secção é um quadrado semelhante ao quadrado da base da pirâmide. O plano de equação z = 6 divide a pirâmide original em dois sólidos: uma pirâmide de altura e um tronco de pirâmide de altura 6. O lado da base da pirâmide mede e a razão de semelhança é 8, razão entre as alturas das duas pirâmides. Então o lado da secção é 8 = l= l=. l A área da secção é A = A = Queremos escrever uma equação da superfície esférica de centro B(6,0,0) e que contém o ponto médio de [AV]. Como V(,0,8) e A(,-,0), M[ AV] =,, 4 e o raio da superfície esférica é dado por BM [AV] = ( 6 ) + + ( 4) = = 4 4 Uma equação da superfície esférica é 109 x 6 + y + z = 1.6. Para definir por uma condição [CV] vamos começar por definir CV. CV = 0,,8 uma equação da recta CV será: Como C(,,0) e V(,0,8), ( x,y,z) ( x,y,z) (,,0) k( 0, ) = +,8,k Uma condição para definir o segmento de recta será = (,,0) + k( 0,,8 ),k [ 0,1] Ou, usando equações cartesianas, pode ser: 9 De cos( VB, BC) = concluímos que VB, BC 104,8º 7 18 VC.BA ( 0,, 8 ).(,,0) 9 cos VC, BA = = = VC BA y z x = = 0 z Para determine um valor aproximado, às centésimas do grau, da medida da amplitude do ângulo formado por vamos usar o produto escalar: VB.BC (,0, 8 ).(,,0) 9 cos VB, BC = = = VB BC PROFESSORA: Rosa Canelas 004/005

4 De cos( VC, BA) 9 = 7 18 concluímos que VC, BA 75,6º. A figura representa uma superfície esférica que, num referencial Oxyz, tem equação x + y + z = 5; A, B e C são pontos da superfície esférica; A(0,4,) e B(0,-4,); C é um ponto de cota negativa no eixo Oz..1. A equação do plano tangente à superfície esférica no ponto A obtém-se a partir da perpendicularidade entre o OA e um AP, sendo P(x,y,z) um ponto qualquer do plano e O(0,0,0) o centro da superfície esférica. OA = (0,4,) AP= x,y 4,z e e 4y 16 + z 9 = 0 4y + z = 5 donde ( 0, 4, ).( x, y 4, z ) = 0 Ficou provado ser 4y + z = 5 uma equação que define o plano tangente à superfície esférica no ponto A... C(0,0,-5) porque C é o ponto da superfície esférica que está no eixo Oz e tem cota negativa. Então se C pertence ao eixo Oz tem coordenadas (0,0,z) e verifica a equação que define a superfície esférica. Então x + y + z = 5 x = 0 y = 0 z< 0 z = 5 z< 0 z = 5 e as coordenadas de C são (0,0,0-5). Para determinar as coordenadas do ponto de intersecção do plano da alínea anterior com a recta BC vamos começar por escrever equações cartesianas da recta BC: BC = 0,0, 5 0, 4, = 0, 4, 8 C(0,0,-5) As equações cartesianas são Agora vamos resolver o sistema: y z+ 5 x = 0 = 4 8 4y+ z = 5 x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 4y + z = 5 4y + z = 5 y = 0 y z+ 5 y = z+ 5 y z = 5 z = 5 = 4 8 Cálculos auxiliares: PROFESSORA: Rosa Canelas 4 004/005

5 4y + z = 5 4y z = 10 z = 5 e 4y + z = 5 6y z = 15 y = 40 y = 0 O ponto pedido tem coordenadas (0,-0,5).. Para calcular tg ACB vamos começar por calcular CA.CB CA CB cos ACB =. Como CA = ( 0, 4,8) 0, 4,8. 0, 4, cos( ACB) = = = cos ( ACB) que sabemos ser e CB = ( 0, 4, 8) temos que tg ( ACB) = cos ( ACB) = tg ( ACB) = 1 tg( ACB) = ± cos ACB Então 4 tg( ACB) = porque o ângulo é agudo por o coseno ser positivo. PROFESSORA: Rosa Canelas 5 004/005