Transformações (Cap 4.3, 4.4 e 4.6 a 4.10)

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1 4.6 a 4.) Transformações (Cap 4.3, 4.4 e 4.6 a 4.) Instituto Superior Técnico, 26/27 Sumário Revisões Transformações Elementares Coordenadas Homogéneas Composição de Transformações Transformações em OpenGL 2 Revisões Tipos de Transformações Tipos de Transformações Espaços Cartesianos Produto Escalar Produto Vectorial Polígono Conveo Envolvente Normal a um Plano Regra da Mão Direita Projectivas Afins Lineares Lineares: transformam linhas em linhas ou pontos. A imagem do vector (, ) é sempre (, ) Afins: transformam linhas paralelas em linhas paralelas. A imagem do vector (, ) nem sempre é (, ) Projectivas: Não preservam necessariamente o paralelismo das linhas. A imagem de uma linha é um ponto ou outra linha, nunca uma curva 3 4 Transformações Lineares A escala e a rotação são transformações lineares epressas pelas matrizes S S cos sin -sin cos A translação não é uma transformação linear, i.e. não se pode representar na forma = a + d =c + d É uma transformação afim (porquê?) Espaços cartesianos Eemplos: uma, duas e três dimensões R ponto em R 3 R 2 ponto em (2, 2) Z ponto em (2, -3, 3) Sistema orto-normado 5 6

2 4.6 a 4.) Espaços cartesianos (cont) Produto Escalar Números reais: entre quaisquer dois números eiste um terceiro número real Comparar com sistema de coordenadas ecrã (inteiro positivo) discretização Coordenadas normais Coordenadas de ecrã Produto Vectorial Polígono Conveo Envolvente 9 Normal a um Plano Regra da Mão Direita 2 2

3 4.6 a 4.) Transformações Planas Elementares Translação Vectores em conjunto com as operações de soma, multiplicação por um escalar e produto interno permitem transformar por translação rotação escala refleão Adição membro a membro de vectores P = P = onde = + d, = + d gltranslatef (d, d, dz); P = T + P com T = d d 3 4 Translação (e) Características da Translação Para deslocar polígonos: aplicar a translação a cada um dos vértices Preserva comprimentos (isométrica) Preserva ângulos (conforme) 5 6 Transformação de Escala Multiplicação matricial P = S. P onde P = P = = S., = S. Transformação de Escala (e) Uniforme Não - Uniformes S = S = 2 (Ampliação) S = S S S =. S S = ; S = 2 glscale (S, S, Sz); P(,) P (, ) S = 2; S = S = ; S =

4 4.6 a 4.) Características da Escala Não preserva comprimentos Não preserva ângulos (ecepção: escala uniforme) Rotação Rotação de vectores de um ângulo P = R. P onde P = P = =. cos =. sin -. sin +. cos Preserva comprimentos e ângulos Demonstração através da soma de ângulos glrotatef (angle, v, v, vz); (eio de rotação) 9 2 Rotação Rotação (e) Demonstração sin ( + ) = cos. sin + sin. cos cos ( + ) = cos. cos - sin. sin P (, ) = r. cos = r. sin = r. cos ( + ) = r. sin ( + ) P (,) = r. cos. cos - r. sin. sin = r. cos. sin + r. sin. cos Matricialmente, =. cos -. sin =. sin +. cos = cos -sin. sin cos r r P = R. P com R = cos sin -sin cos 2 22 Rotação Centro (, ) Solução Como fazer?

5 4.6 a 4.) Sistemas de equações lineares e matrizes Coordenadas Homogéneas Problema: O modelo apresentado não é uniforme Translação por soma de vectores Escala e rotação por produto de matrizes Gostaríamos de ter: Transformações como sistemas de equações = a + b = c + d Descrevem transformações 2D usando matrizes 3 3 Cada ponto (, ) é transformado num ponto 3D (,, w): P 2d (, ) P h (w, w, w), w Dois pontos no espaço de coordenadas homogéneo representam o mesmo ponto 2D se : P 2d (, ) = P 2d ( /w, /w) Coordenadas Homogéneas Matrizes P2d é a projecção de Ph no plano w= w Ph (,, w) P2d(/w, /w, ) Um número infinito de pontos corresponde a (,, ): a recta (t, t, w) Pontos 2D escrevem-se como vectores de ( 3) : [ w ] Transformações geométricas elementarescomo matrizes : (3 3) w = para transformações afins em 2D ) Translação: 2) Escala: 3) Rotação: d = d. S = S. cos -sin = sin cos Que Transformação? Transformação Shearing cos sin - sin cos Transformação Compostas Translada-se o topo do objecto segundo um eio Translada-se o outro etremo do objecto na direcção contrária = + cot

6 4.6 a 4.) Transformação Shearing (e) Matriz de Shearing cot 3 32 Matrizes Inversas Multiplicação de Matrizes Translação: T - (d, d, d z ) =? Rotação: R - ( ) =? cos(- ) = cos( ) and sin(- )=-sin( ) Escala: S - (s, s, s z ) =? Aplicar a cada vértice as várias transformações elementares versus Criar uma única matriz composta e aplicar só essa matriz a cada um dos vértices Composição de Translações Ordem de Aplicação das Matrizes P P P T T2 P = T. P e P = T2. P P = T2. (T. P) P = (T2 o T). P = (T2.T). P d2 d (d + d2) d2. d = (d + d2) q = C (B (A (p))) q = CBA (p) Se M=CBA q = M(p) Pós-multiplicação

7 4.6 a 4.) Comutatividade? Não Comutativo Produto de Matrizes não é comutativo mas: translação + translação escala + escala rotação + rotação translação + escala <> escala + translação S2 S S.S2 S2. S = S.S2 cos -sin cos -sin cos ( + ) -sin ( + ) sin cos. sin cos = sin ( + ) cos ( + ) OpenGL Sistemas de Coordenadas em OpenGL Sistemas de Coordenadas Tipos de Matrizes Stack de Matrizes No Pipeline OpenGL Modelo Mundo Câmara Recorte Normalizadas Ecrã 39 4 Coordenadas de Câmara Restantes Sistema de Coordenadas Origem no centro da lente da câmara Eios alinhados com os lados da câmara Concatenação das Matrizes Modelo, Mundo, Câmara numa única matriz -> Matriz Model- View Por defeito tem que valor? (lembrar VRML) Recorte Transformação do espaço da câmara de modo que a parte a visualizar se encontra dentro de um cubo (ou de um frustum) envolvente ao qual é aplicado um algoritmo de recorte Normalizadas Ao qual é aplicada a transformação Janela - Viewport

8 4.6 a 4.) Transformações Model-View e Projection Matrizes do Estado CTM Current Transformation Matri Matriz 44 Eistem, pelo menos, duas matrizes: GL_MODELVIEW GL_PROJECTION Em cada momento só se manipula uma das matrizes, designada por Matriz de Transformação Corrente (CTM) Matrizes Model-View e Projection Ordem da Composição de Matrizes Model-View permite: Colocar a cãmara numa posição definida em Coordenadas do Mundo Criar modelos de objectos e colocá-los no sistema de coordenadas de visualização Projection permite: Definir as caracterísiticas da lente O tipo de projecção, pelo que o tipo de volume de visualização OpenGL usa a pós-multiplicação de matrizes: Translação C CT Rotação C CR Ou a atribuição de qualquer matriz: C I C M C CM Rotação em torno de uma linha e com centro num Ponto Fio Solução glmatrimode(gl_modelview); glloadidentit(); gltranslatef(4., 5., 6.); glrotatef(8.,., 3., 5.); gltranslatef(-4., -5., -6.); Qual a ª matriz a ser aplicada? C = T (4., 5., 6.) R (8.,., 3., 5.) T(-4., -5., -6.) Matriz: T(-4., -5., -6.) Mas aplica-se C (nº de vértices elevado) Multiplicação de um matriz 44 (43) por um vector (3)

9 4.6 a 4.) Implementação da Pósmultiplicação Transformação hierárquicas Uso de um Stack: Quando uma matriz é definida é, automaticamente introduzida no stack (glpushmatri ()) Quando se define a última matriz vão sendo retiradas as matrizes e vão sendo efectuadas as multiplicações (glpopmatri()) Eiste um Stack para cada Matriz Stacks também para modelação hierárquica Aplicar uma transformação a um conjunto de objectos mas não a todos: Estrutura de dados com 6 valores (matriz definida por colunas) GLfloat marra [6]; Inicializar a matriz corrente glloadmatrif (marra); 49 5 Modelo Geométrico Construir Objectos compleos por módulos Robot Transformação Corpo Inferior Corpo Superior Base Pedestal Braço Braço Dedo Dedo Transformações Hierárquicas (e) No grafo: para g, temos C = m para p, C2 = m * m para p3, C3 = m * m2 para p4, C4 = m * m2 * m3 = C3 * m3 em que mi - matriz de transformação pi - primitiva associada ao nó i gi - sub-árvore com raíz em i p m p3 m g m2 g2 m3 p Utilização do Stack do Model- View Resumo glpushmatri (); gltranslatef (...); glscalef (...);... /* desenhar o conjunto de objectos */ glpopmatri (); Transformações elementares Coordenadas Homogéneas Concatenação de Transformações Sistemas de Coordenadas em OpenGL Transformações Model-View e Projection Ordem de aplicação das matrizes Transformações Hierárquicas

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