Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática. Geometria. Prof. Thales Vieira

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1 Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Geometria Prof. Thales Vieira 2014

2 Geometria Euclidiana Espaço R n R n = {(x 1,...,x n ); x i 2 R} Operações entre elementos de R n Soma: (x 1,x 2,...,x n )+(y 1,y 2,...,y n )=(x 1 + y 1,x 2 + y 2,...,x n + y n ) Multiplicação por número real: (x 1,x 2,...,x n )=( x 1, x 2,..., x n )

3 Transformações Lineares Transformações L: R n 7! R n que preservam a estrutura linear do R n. Propriedades: L(u + v) = L(u)+ L(v) L( u) = L(u), u, v 2 R n e 2 R.

4 Transformações Lineares: Representação matricial Considere a base canônica do R n : Seja e 1 =(1, 0,...,0); e 2 =(0, 1,...,0);.. e n =(0, 0,...,1). a 1 = L(e 1 )=(a 11,a 21,...,a n1 ) a 2 = L(e 2 )=(a 12,a 22,...,a n2 ) Construa a matriz L e, cujas colunas são os vetores a 1,a 2,...,a n : L e = 0 a 11 a a 1n a 21 a a 2n..... a n1 a n2... a nn 1 C A Se x 2 R n, então L(x) =L e x.. a n = L(e n )=(a 1n,a 2n,...,a nn ).

5 Transformações Lineares: Representação matricial Se x 2 R n, então L(x) =L e x. Prova: x =(x 1,x 2,...,x n )= x i e i! L(x) =L x i e i = x i L(e i )= x i a i L e x = 0 a 11 a a 1n a 21 a a 2n..... a n1 a n2... a nn 1 C A 0 x 1 x 2. x n 1 C A = 0 P n a 1ix i Pn a 2ix i. P n a nix i 1 C A = x i a i = L(x)

6 Transformações Lineares: Representação matricial Se x 2 R n, então L(x) =L e x. Consequência: O espaço das transformações lineares em R n eo conjunto das matrizes de ordem n estão em correspondência biunívoca. A composição de transformações lineares corresponde ao produto de matrizes, e a soma de transformações lineares corresponde à soma de matrizes. Manipular matrizes é fácil no computador!

7 Transformações ortogonais Produto interno em R n : hu, vi = u i v i Usamos o produto interno para medir distância e ângulos: Comprimento de vetor: kuk = p hu, ui Ângulo entre dois vetores não nulos u e v: cos = hu, vi kukkvk Distância entre dois pontos x e y: d(x, y) =kx yk

8 Transformações ortogonais Uma transformação que preserva o produto interno é chamada transformação ortogonal: ht (u),t(v)i = hu, vi Vamos calcular o ângulo entre T (u) et (v): cos T = ht (u),t(v)i kt (u)k kt (v)k = hu, vi p ht (u),t(u)i p ht (v),t(v)i = hu, vi p hu, ui p hv, vi = cos Logo, transformações ortogonais preservam ângulos!

9 Transformações ortogonais Além disso: kt (u)k = ht (u),t(u)i = hu, ui = kuk Logo, transformações ortogonais preservam distância! Exemplos

10 Isometrias Transformações que preservam distância são chamadas isometrias. Dois objetos O 1 e O 2 são ditos congruentes se existe uma isometria T : R n 7! R n tal que T (O 1 )=O 2. Alternativamente, uma transformação é uma isometria sse T (u) =L(u)+v 0, onde T é uma transformação linear ortogonal e v 0 é um vetor fixo. T não é linear!

11 Geometria afim Como representar movimentos rígidos (isometrias)? Qual a diferença entre ponto e vetor? Solução: duas cópias do R n, uma para vetores e uma para pontos. Como somar ponto com ponto, ponto com vetor, vetor com vetor...?

12 Geometria afim Espaço afim: Par (P, V), onde P é o espaço de pontos e V é o espaço de vetores, e P = V = R n. Sendo V um espaço vetorial, temos as combinações lineares a i ~u i 2 V, a i 2 R e transformações lineares! T a i ~u i = a i T ( ~u i )

13 Geometria afim Soma ponto-vetor: p + ~u = q 2 P Subtração ponto-ponto: q p = ~u, q = p + ~u Generalização (combinação linear de pontos): a i p i 2 V, a i = 0.

14 Interpolação de pontos: Geometria afim q =(1 )q 1 + q 2 = q 1 + (q 2 q 1 ), 2 [0, 1]. Alternativamente: q = 1 q q 2, com 1, 2 2 [0, 1], = 1. Generalização (combinação afim de pontos): i p i 2 P, i =1 Exemplo: equação paramétrica da reta r(t) =a + t(b a) =(1 t)a + b, t 2 R Combinação afim de pontos, portanto o resultado é um ponto.

15 Geometria afim Resumo: a i ~u i 2 V, a i 2 R a i p i 2 V, a i = 0. i p i 2 P, i =1

16 Transformações afins Uma transformação T : A 1 7! A 2 entre dois espaços afins A 1 =(P 1, V 1 )ea 2 =(P 2, V 2 ) é chamada de transformação afim sse: 1. T preserva vetores, e além disso a restrição T V : V 7! V é linear; 2. T preserva pontos, e além disso T (p + ~v) =T (p)+t (~v). 2. (Alternativa) T preserva combinação afim de pontos:! a i =1 =) T a i p i = a i T (p i ) Uma transformação afim preserva retas. Seja r(t) =(1 t)a + tb. Então: T (r(t)) = T ((1 t)a + tb) =T ((1 t)a)+t (tb) =(1 t)t (a)+tt (b), ou seja, a imagem da reta r(t) que passa pelos pontos a e b é a reta que passa pelos pontos T (a) et (b).

17 Transformações afins Translação: T (p) =p + v 0 é uma transformação afim. Para provar, precisamos mostrar que! a i =1 =) T a i p i = a i T (p i ) Considere uma combinação afim t 1 u + t 2 v de pontos, t 1 + t 2 = 1, temos T (t 1 u + t 2 v)=t 1 u + t 2 v + v 0 = t 1 u + t 2 v +(t 1 + t 2 )v 0 = t 1 (u + v 0 )+t 2 (v + v 0 ) = t 1 T (u)+t 2 T (v)

18 Afim vs. Linear Seja T (x) =L(x)+~v 0, onde L é linear. É fácil mostrar que T é afim (similar ao slide anterior). Por outro lado, considere T uma transformação afim qualquer. Seja T (0) = p 0. Seja ~x um vetor qualquer. T (~x) =T (0 + ~x) = T (0) + T (~x) = p 0 + T (~x) 1. T aplicado a ~x é linear, por definição. 2. p 0 é constante, portanto funciona como uma translação. Logo, toda transformação afim é a soma de um ponto com uma transformação linear: T (x) =L(x)+p 0.

19 Afim vs. Linear Logo, toda transformação afim é a soma de um ponto com uma transformação linear: T (x) =L(x)+p 0. Os movimentos rígidos são transformações afins.

20 Coordenadas afins Seja A um espaço afim, o um ponto do espaço, e {~v 1, ~v 2,...,~v n } uma base de A. A lista F =(o, ~v 1, ~v 2,...,~v n ) é chamada referencial de A. Seja p = o + ~v 2 A. Podemos escrever ~v = c 1 ~v 1 + c 2 ~v c n ~v n. Daí ~p = o + c 1 ~v 1 + c 2 ~v c n ~v n. Os n + 1 escalares 1,c 1,c 2,...,c n representam as coordenadas de p no referencial e são representados pela lista (c 1,c 2,...,c n, 1). Geometricamente, estamos colocando uma cópia de R n no hiperplano z n+1 =1doR n+1.

21 Representação matricial das transformações afins Considere dois referenciais F =(~u 1, ~u 2,...,~u n,o)eg =(~v 1, ~v 2,...,~v n,o 0 ). x = x 1 ~u 1 + x 2 ~u x n ~u n + o um ponto no espaço afim; Seja T uma transformação afim, e suponha que: T (u j )= a ij v i, T(o) = a in+1 v i. Daí x = x j ~u j + o =) T (x) = x j T (~u j )+T(o) j=1 0 j=1 1 a ij x j + a in+1 A v i

22 Representação matricial das transformações afins De forma matricial, no referencial G, temos: parte linear translação T (x) = a a a 1n a 1 n+1 a 21 a a 2n a 2 a ij x j + a in+1 A v i =. B C B a n1 a n2... a nn a nn x 1 x 2. x n 1 1 C A Uma transformação afim pode ser representada por uma matriz de ordem n+1. T (x) =L(x)+p 0

23 Paralelismo das transformação afim Considere duas retas r(t) =a + t(b a), passando por a e b. s(t) =c + t(d c), passando por c e d, paralela a r, ou seja: b a = (d c) Seja T transformação afim. Então: T (r(t)) = T (a + t(b a)) = T (a)+tt (b a) = T (a)+ tt (d c) Por outro lado: T (s(t)) = T (c + t(d c)) = T (c)+tt (d c) Logo, T (r(t)) k T (s(t).

24 Paralelismo das transformação afim Mas para realizar projeções em Computação Gráfica, não queremos manter paralelismo!

25 Espaço Projetivo Seja O 2 R n+1 e R n+1 um hiperplano, onde O/2. A projeção cônica de P 2 R n+1,p 6= O em é o ponto P 0 onde a reta r definida por OP intersecta. Obs.: todos os pontos de r serão projetados em P 0. Logo, r será considerado um ponto projetivo. O conjunto de retas passando pela origem O de R n+1 é chamado espaço projetivo, indicado por RP n. Representaremos o ponto (x 1,x 2,...,x n,x n+1 ) como (x,x n+1 ), x 2 R n.

26 Partição dos pontos do Espaço Projetivo RP n = {(x, 1) [ (x, 0)}, x 6= O. (x, 1): plano z = 1, chamados pontos afins do plano projetivo. (x, 0): pontos ideais ou pontos do infinito. Uma reta no espaço projetivo define um plano pela origem no espaço euclidiano. Duas retas no plano afim se encontram num ponto do infinito.

27 Coordenadas Homogêneas Dado p 2 RP n, podemos tomar p 0 2 R n+1 na reta r que representa p. Se p 0 =(x 1,x 2,...,x n,x n+1 ), então p 0 = (x 1,x 2,...,x n,x n+1 ), 6= 0 também representa p. Essas coordenadas projetivas são chamadas coordenadas homogêneas. [x 1,x 2,...,x n,x n+1 ]= [x 1,x 2,...,x n,x n+1 ], 6= 0. Normalmente, tratamos cada um destes pontos normalizando a última coordenada: [x 1,x 2,...,x n,x n+1 ]= h x 1 x n+1, x 2 x n+1,..., i x n x n+1, 1

28 Transformações projetivas Devem transformar pontos de RP n em pontos de RP n. Do ponto de vista euclidiano, devem transformar retas pela origem, em retas pela origem. Logo, trata-se de uma transformação linear invertível T : R n+1 7! R n+1 do espaço euclidiano R n+1. Pode ser representada por uma matriz de ordem n + 1. T é definida a menos de um escalar não nulo: ( T )P = T ( P )=T (P )

29 Anatomia das transformações projetivas Seja T : RP 2 7! RP 2 dada pela transformação linear T : R 3 7! R 3. Seja T pode ser representada por uma matriz invertível de ordem 3. M = 0 a d g t 1 b e h t 2 c f i t 3 p 1 p 2 p 3 s 1 C A onde A = a d g b e h c f i 1 A P = p 1 p 2 p 3 T = t 1 t 2 t 3 1 AS = s