TRANSFORMAÇÕES LINEARES
|
|
- Neusa Mendes Castilho
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 ransformação Linear RNSFORMÇÕES LINERES Sejam e espaços vetoriais reais Dizemos que uma função : é uma transformação linear se a função preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos: L Para quaisquer v, u, v + u) = v) + u) L Para todo v e para todo k R, k v) = k v) Exemplos: ) : R R x, a x, = x, erificando os axiomas: L x, + z, t)) = x, + z, t), para quaisquer x,, z, t) R? x, + z, t)) = x + z, y + t) = x +, y + t)) = x z, y t) x, + z, t) = x, + z, t) = x z, y t) ssim, a transformação linear preserva a operação de adição de vetores L k x, ) = k x,, para todo x, R e para todo k R? k x, ) = kx, k = kx), k) = k x), k ) = k x, = k x, ssim, a transformação linear preserva a operação de multiplicação por escalar Considere v =,) e u =,) v) =,) =, ) u) =,) =, ) v) + u) =, ) +, ) = 0, 5) v + u) =,) +,)) = 0,5) = 0, 5) v) =,)) =,4) =, 4) =, ) =,) = v) y x x, -x x, =-x, - -y ) : R R x, a x, = x, 0) é uma transformação linear erifique!) Esta transformação linear associa a cada vetor do R sua projeção ortogonal sobre o plano 6
2 Z Z x, x, =x, 0) transformação linear 0 : tal que v a 0 v) = 0 é denominada ransformação Nula Seja a transformação linear : Se os conjuntos e são iguais, =, então é denominada um Operador Linear O operador linear I : tal que v a I v) = v é denominado Operador Identidade s transformações lineares : R são denominadas Funcionais Lineares Propriedades Se : é uma transformação linear então 0 ) = 0 dem: 0 ) = ) = 0 ) + 0 ) Mas, 0 ) = 0 ) + 0, pois 0 ) e 0 é o elemento neutro em ssim,, 0 ) + 0 ) = 0 ) + 0 Logo, 0 ) = 0 Portanto, se 0 ) 0 então não é uma transformação linear No entanto, o fato de 0 ) = 0 não é suficiente para que seja linear Por exemplo, : R R tal que x, = x, y ),) =, ) =,4),5) =,5 ) = 9,5),) +,5) = 0,9),) +,5)) = 4,7) = 4,7 ) = 6,49) ssim, v + u) v) + u) Embora, 0,0) = 0,0), não é uma transformação linear Seja : uma transformação linear Então k v + k v + + k v ) = k v ) + k v ) + + k v ) para quaisquer n n n n n k, k,, k n v, v,, v e para quaisquer R Corolário: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial é possível determinar a transformação linear : 6
3 Obtendo a Lei de uma ransformação Linear Seja : R R um operador linear tal que,) =,5) e 0,) =,) Como encontrar a lei que define este operador? Solução: {,),0,)} é base para R erifique!) Portanto, qualquer vetor v R pode ser escrito como combinação linear destes vetores v = x, = k,) + k 0,) com k, k R = k,k ) + 0, k ) = k,k + k ) ssim, x = k e y = k + k x y x Então, k = e k = x y x Logo, x, =,) + 0,) plicando o operador linear, x y x x, =,) + 0,)) x y x =,) + 0,) x y x =,5) +,) x 5x y x =, ) + y x, ) 7x + 4y =, x + 7x + 4y Logo, x, =, x + Operadores Lineares no Espaço etorial R Reflexão em torno do eixo : x, = x, Reflexão em torno do eixo : x, = x, Reflexão em torno da origem: x, = x, v v+u u) u v+u) v) 6
4 Reflexão em torno da reta Reflexão em torno da reta x = y : x, = x) x = y : x, = x) Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor: Se k > : dilatação x, = kx, k com k R v+u) v) v+u v u) u Se k < : contração Se k < 0 : troca de sentido Se k = : operador identidade Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo : x, = kx, com k R, k > 0 Se k > : dilatação Se 0 < k < : contração Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo : x, = x, k com k R, k > 0 Se k > : dilatação Se 0 < k < : contração Cisalhamento na direção do eixo : x, = x + k com k R v+u v+u) u u) v v) Cisalhamento na direção do eixo : x, = x, kx + com k R 64
5 Rotação: x, = x cosθ y senθ, x senθ + y cosθ) com 0 θ π v+u) v) v u) u v+u Núcleo e Imagem de uma ransformação Linear Núcleo de uma transformação linear : é o conjunto de vetores do espaço vetorial cuja imagem é o vetor 0 Notação: N ) = Ker ) = { v v) = 0 } Imagem de uma transformação linear : é o conjunto de vetores de que são imagem dos vetores do conjunto Notação: Im ) = ) = { w v) = w, para algum v } N) Im) 0 Propriedades N ) é um subespaço vetorial de Im ) é um subespaço vetorial de eorema do Núcleo e da Imagem : dim = dim N ) + dimim ) Exemplo: Seja : R R tal que x, = 0, x + 0) N ) = { x, R x, = 0,0,0)} Então, x, = 0, x + 0) = 0,0,0) ssim, x + y = 0 x = y Portanto, N ) = { x, R x = y} = {, y R} Uma base é {, )} e dim N ) = 65
6 Representação gráfica, Z 0,0,0) N) : x+y=0 Im ) = { x, = 0, x + 0), para todo x, R } Uma base para o conjunto imagem é { 0,,0)} e dimim ) = R Z : Im) Observe que, dimr = dim N ) + dim Im ), isto é, = + ransformação Linear Injetora Uma transformação linear : é injetora, se para quaisquer v, u, se v u então v) u) O que é equivalente a, se v) = u) então v = u Exemplo: ) transformação linear = + é injetora : R R tal que x, x, x Sejam x,, z, t) R Se x, = z, t) x, x + = z, t, z + t) x = z Então y = t x + y = z + t Logo, x, = z, t) ) Seja o operador linear no R tal que x, = x,0,0), que associa a cada vetor sua projeção ortogonal no eixo 66
7 Considere os vetores,,) e,0, 4) ssim,,,) =,0, 4) =,0,0) Então, não é injetora, pois v) = u) com v u eorema: Uma transformação : é injetora se e somente se N ) = { 0 } ssim, basta verificar se N ) = { 0 } para garantir que uma transformação linear é injetora Exemplo: Seja o operador linear em no R tal que x, x, x + N ) = { x, R x, = 0,0)} = { x, R x, x + = 0,0)} ssim, x = 0 x + y = 0 Então, N ) = {0,0)} = é injetora, pois: ransformação Linear Sobrejetora Uma transformação linear Im ) = : é sobrejetora se o conjunto imagem de é o conjunto, isto é, Exemplo: O operador linear em R do exemplo anterior é injetor Então, dim N ) = 0 Pelo eorema do Núcleo e da Imagem, dimr = dim N ) + dim Im ) ssim, = 0 + dimim ) dim Im ) = Logo, Im ) = R ransformação Linear ijetora Isomorfismo Uma transformação linear : é bijetora quando for injetora e sobrejetora ransformações lineares bijetoras são também denominadas isomorfismos e, conseqüentemente, e são denominados espaços vetoriais isomorfos Exemplos: ) : R R tal que x, = x) ) : tal que I v) = v ) I x z y t 4 : Mat R) R tal que ) = t, z, x) Uma transformação : é denominada de transformação invertível quando existir uma transformação : tal que o = I e o = I transformação é denominada a transformação inversa de eorema: Seja : uma transformação transformação é bijetora se e somente se for invertível eorema: Seja : uma transformação linear invertível Então a transformação : linear é ssim, transformações lineares bijetoras são transformações lineares invertíveis 67
8 v)=w v= - w) - Obtendo a Lei da ransformação Linear Inversa Seja o operador linear : R R tal que x, = x, O operador linear inverso obtido da maneira a seguir: {,0),0,)} é uma base para R,0) =,0) e 0,) = 0, ) Portanto,,0) =,0) e 0, ) = 0,) Obtendo a lei de : x, = k,0) + k 0, ) = k,0) + 0, k ) = k, ) x = k ssim, y = k x em-se que, k = e k = y x Então, x, =,0) + 0, ) x k,0) + 0, ) ) x, = x =,0) + 0, ) x =,0) + 0, ) = x, Logo, a lei é x, = x, será Matriz ssociada a uma ransformação Linear Sejam um espaço vetorial n-dimensional, um espaço vetorial m-dimensional e : uma transformação linear Considerando as bases = { v, v,, vn} de e = { w, w,, wm } de e um vetor qualquer v, tem-se: v = k v + k v + + k n v n com k i R, para todo i =,, n plicando a transformação linear, v) = k v + k v + + k n vn ) v) k v) + k v ) + + k n vn = ) ) lém disso, v), portanto: v) = l w + l w + + l w m m ) com l j R, para todo j =,, m 68
9 Como v i ), para todo i =,, n v ) = a v ) = a v ) = a n n w w w + a w + + a + a w + + a + a w + + a n m m mn w m w w m m ) Substituindo ) em ), tem-se: v) = k a w + + a m wm ) + k a w + + a m wm ) + + kn a n w + + a v) = k a + k a + + k nan ) w + + kam + kam + + k namn ) wm 4) mn m w ) Comparando ) e 4), tem-se: Na forma matricial: ou seja, l k a k a k a = n n l k a k a k a = n n l = k a + k a + + k a m m l a l a = lm a n a a a n m [ v)] = [ ] [ v] n mn an k an k amn k n matriz [ ] é a matriz associada a transformação em relação as bases e Exemplo: Seja a transformação linear : R R tal que x, = x, x + Sendo a base canônica do R e a base canônica do R, tem-se:,0) =,0,) =,0,0) + 0 0,,0) + 0,0,) e 0,) = 0,,) = 0,0,0) + 0,,0) + 0,0,) 0 Então, [ ] = 0 Por exemplo, [,)] = 0 Obtém-se, [,)] = [,,5)] = = 0 5 Sejam as bases não canônicas = {,),,5)} e = {,,0),,,),0,,)} 7 ssim,,) =,,) =,,0) + ),,) + 0,, ) e ,5) =,5,8) =,,0) + ),,) + 0,,)
10 6 7 Então, [ ] = Por exemplo, [,)] = Obtém-se, [,)] = [,,5)] = = 0 7 s matrizes associadas a alguns dos operadores lineares no espaço vetorial R em relação a base canônica x 0 x Reflexão em torno do eixo : = y 0 y kx k 0 x Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor: = ky 0 k y x 0 x Cisalhamento na direção do eixo : = kx + y k y xcosθ ysenθ cosθ senθ x Rotação: = xsenθ + y cosθ senθ cosθ y Operações com ransformações Lineares dição Sejam : e : transformações lineares Define-se a adição de com como sendo a transformação linear: + ) : v a + ) v) = v) + ) v Matricialmente, [ +, onde é uma base de e uma base de ] = [ ] + [ ] Exemplo: Sejam : R R tal que x, = x, e x, = 0,0, ) z transformação soma é + ) : R R tal que + ) x, = x, ) 0 0 inda, [ ] = 0 0, 0 0 do R ] = e 0 0 [ z : R R tal que ] = 0 0 em relação a base canônica 0 0 [ 70
11 Multiplicação por Escalar Sejam : uma transformação linear e k R um escalar Define-se a transformação linear produto de pelo escalar k como sendo: k ): v a k ) v) = k v) Matricialmente, [ k ] = k [ ], onde é uma base de e é uma base de Exemplo: Seja [ ] = 0 e k = 0 Então, x, = x + x) e ) x, = x + 4 6x) 4 inda, [ ] = 0 = [ ] 6 0 Composição Sejam : U e : U transformações lineares Define-se a composta de com como sendo a transformação linear: o ): v a o ) v) = )) v Matricialmente, base de [ o ] C = [ ] C [ ], onde é uma base de, é uma base de U e C é uma Exemplo: Sejam os operadores lineares no R, x, = x + e x, = x + o ) x, = x, ) = x + = + x +, x + ) = x + 7 x o ) x, = x, ) = x + =, x + + ) = x 4 0 Com relação a base canônica: [ ] = e [ = 0 ] y ) ssim, [ o ] = = e [ o ] = = Propriedades de ransformações Invertíveis Sejam :, : e : U transformações lineares invertíveis e k R, k 0 ) = k ) = k o ) = o 7
12 Exercícios ) erificar se as transformações são lineares: : R R a) x, a x, = x, y + b) : R R x, a x, = x, c) : R R x, a x, = x + a, y + b), a, b R {0} d) : R R x, a x, = x y + e) : R R x, a x, = x ) Para que valores de k R a transformação no R tal que x, = x + k, é linear? ) Seja Mat n n R) o espaço vetorial das matrizes quadradas n n sobre R e M Mat n n R) uma matriz arbitrária qualquer transformação : Mat n n R) Matn n R) tal que ) = M + M é linear? 4) Sejam v = 0,), u =,0), t =,) e w =,) e : R R tal que x, = x,, que define a dilatação de fator na direção do vetor Represente v, u, t, w, v), u), t) e w) em um sistema de eixos cartesianos 5) Considere a transformação linear : x R Mat R) tal que x, = 0 y Determine,),,4) e x, 6) Encontre a lei que define a transformação linear cada vetor v = x, à sua reflexão em torno do eixo Determine, ) Represente no sistema de eixos cartesianos : R R que faz associar 7) Seja : R R uma transformação linear tal que,0,0) =,4), 0,,0) =,5) e,,) =,) Indique a lei de 8) Seja : R R uma transformação linear definida por,,) =,),,,0) =,) e,0,0) =,4) a) Determine x, b) Determine x, R tal que x, =, ) c) Determine x, R tal que x, = 0,0) 7
13 9) Calcule o núcleo e o conjunto imagem das transformações abaixo: : R R a) x, a x, = x + y + z,x + y + b) : R R x, a x, = x + x x + 0) che uma transformação linear : R R cujo núcleo seja gerado pelo vetor,,0) ) Determinar um operador linear no R cujo conjunto imagem seja gerado por {,,),,,)} ) Indique a lei de para cada uma das transformações lineares: : R R a) x, a x, = x) b) I : v a I v) = v c) : Mat x z R) y t 4 R x a z y ) = t, z, x) t ) Seja o operador linear no R tal que x, = x + x + Mostre que é um isomorfismo e indique sua inversa 4) Considere = { v, u, w} uma base do R, onde v =,,), u =,5,) e w =,0,) a) che uma fórmula para a transformação linear w) = 0,) b) Encontre uma base e a dimensão do N ) c) Encontre uma base e a dimensão da Im ) d) é invertível? Justifique sua resposta : R R tal que v) =,0), u) =,0) e 5) Seja : R R tal que x, = x + x + Indique: a) [ ] considerando e bases canônicas C b) [ ] D onde C = {,0,0),0,,0),0,0,)} e D = {,),,5)} c) [ v) ] D onde v =,,0 ) 6) Sejam S e operadores lineares no R definidas por S x, = x + e x, = x, Determine: a) S + b) S) + 4 ) c) S o d) S o S 7
14 7) Escolha alguns vetores de R, represente-os no plano cartesiano Em seguida encontre a imagem de cada um deles em relação ao operador S anterior Represente essas imagens no plano cartesiano Observe o que acontece 8) Repita os mesmos passos do exercício anterior, para o operador 9) Seja a transformação linear determinada pela matriz a) Indique a lei da transformação b) Calcule,) ) Seja o operador linear no R definido por x, = y + z, x 4 x) a) Encontre a matriz de na base = {,,0),,0,),,0,0)} b) Encontre [,0, )] utilizando [ ] 0 )Seja a transformação linear associada a matriz a) che uma base para N ) b) che uma base para Im ) c) é sobrejetora? E injetora? d) Determine a matriz associada a em relação a base {,,0),0,,),0,,)} ) Seja : R R a transformação linear definida por x, = x + x,0) a) che a matriz associada a relativa as bases ={,),,4)} e = {,,),,,0),,0,0)} b) Use a matriz para calcular [ v)] onde [ v ] = ) Seja a transformação linear associada a matriz 0 a) Qual a lei que define? b) Determine o núcleo de e uma base para N ) c) Determine a imagem de e uma base para Im ) 4) Seja a transformação linear : R R tal que x, = x y + z,4x + y + a) Considerando e as bases canônicas do R e do R, encontre[ ] b) Considerando = {,,0),0,,),,0,)} uma base do R e = {,),, )} uma base do R, encontre [ ] 5) Seja a transformação linear : R R tal que x, = x + x + Encontre: a) matriz de em relação a base canônica b) matriz de em relação as bases ={, ),0, )} e = {,0,0),0,,),0,0,)} 74
15 6) Considere [ ] = 0 onde ={,0),, )} e = {,,),0,,),0,0,)} Encontre as 0 coordenadas de [ v)] sabendo que as coordenadas de v em relação à base canônica do R são 7) Sabendo que a transformação linear θ : R R, cuja matriz em relação à base canônica é cos? sen? x, aplicada a um vetor [v] = indica a rotação do vetor v de um ângulo θ sen? cos? y cosθ senθ ssim, [ θ ] = [ v] senθ cosθ Utilizando a matriz de rotação, determine o vértice C = x, de um triângulo retângulo e isósceles em, onde =,) e = 5,) 0 0 8) Seja 0 0 a matriz associada a um operador em relação à base {,0,),0,,),0,0, )} 0 0 Determine a lei de Respostas ) b) Sim ) k = 0 ) Sim 5),) = 5,4) = x + y x, = y 6) a) S + ) x, = x + 4 b) S + 4 ) x, = 6x + 44 c) S o ) x, = x + 6 d) S o S) x, = x + 4 9) a) x, = x,4x, 4 b),) = 4, 8, 4) 0) a) [ ] = 4 b) [,0, )] = 5 ) a) base N ) :{0,,0)} b) base Im ) :{,,),,,0)} c) Nem injetora nem sobrejetora d) [ ] =
16 6) x, = x, e, ) =, ) 7) x, = x + y 4z,4x + 5y 8 8) a) x, = x y z,4x y b) {,6 z,, z R} c) { 0, y,, y R} 9) a) N ) = { z, z,, z R} Im ) = R b) N ) = {0,0)} Im ) = { x, R 5x + 4 y + z = 0} ) a) x, = x) b) I = I t z c) x, z, t) = y x x + y + z 9 x y z 4) a) x, =, ) y b) N ) = {, 0), y R} base N ) :{,,0)} dim N ) = c) Im ) = R base Im ):{,0),0,)} dim Im ) = d) Não, pois não é injetora 0 5) a) [ ] = C b) [ ] D = 7 c) [ v)] D = ) a) [ ] = b) [ v)] = ) a) x, = x + x,x + b) N ) = {0,0)} c) Im ) = { x, R x + 5y 6z = 0} base Im ) :{,,),,0, )} 4) a) [ ] = b) [ ] = 5 5) a) 6) [ v)] [ ] = 0 b) [ ] 0 = 4 7) C = 0,4) ou C = 4, ) 0 = 0 8) x, = x, 4x + y
17 pêndice C eoremas eo Se : é uma transformação linear então 0 ) = 0 eo4 Seja : uma transformação linear Então k v + k v + + k v ) = k v ) + k v ) + + k v ), para quaisquer n n n n v n k, k,, k n v v e para quaisquer R dem: indução em n) ase: Para k = k v + k v ) = k v) + k v ) = k v) + k v ) por L e L Passo: Hipótese de Indução) Supor que vale a igualdade para k N, k >, isto é, k v + k v + + kn vn ) = k v) + k v ) + + kn vn ) ale a igualdade para k + vetores? k v + k v + + k n vn ) + k n+ vn+ ) = por L k v + k v + + k v ) + k v = por L n n n+ n+ ) k v + k v + + kn vn ) + k n+ vn+ ) = v ) + k v ) + + k ) + n vn kn+ vn+ ) k v + + k n vn + k n+ vn+ ) = k v) + + k n vn ) + kn+ vn+ por hipótese de indução k ssim, ) Logo, vale a igualdade para todo n N, n Corolário4: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial é possível determinar a transformação linear : eo5 Seja : é uma transformação linear Então i) v) = v), para todo v ii) v u) = v) u), para quaisquer v, u eo6 Seja : uma transformação linear e S um subespaço vetorial do espaço vetorial então S) = { w existe s S tal que s) = w} é um subespaço vetorial do espaço dem: Sub) Por hipótese, S Por Sub, 0 S Pelo eo, Logo, 0 S) 0 ) = 0 Sub) Sejam w, w S) Então, existem v, v S tais que v ) = w e v ) = w ssim, w + w = v) + v ) = v + v ) por L Como, S Pelo fechamento para operação de adição em S, v + v S Então, w + w S) Logo, vale o fechamento para operação de adição em S) Sub) Sejam w S) e k R Então, existe v S tal que v) = w ssim, k w = k v) = k v) por L Como, S Pelo fechamento para operação de multiplicação por escalar em S, k v S Então, k w S) 77
18 Logo, vale o fechamento para operação de multiplicação por escalar em S) eo7 N ) é um subespaço vetorial de eo8 Im ) é um subespaço vetorial de eo9 eorema do Núcleo e da Imagem) Seja : uma transformação linear Então dim = dim N ) + dimim ) dem: Considere dim N ) = t e v, v,, vt } N ) uma base para N ) Seja { {, w,, w } Im s u ) w, u ) = w { v,, vt, u,, us} dim Im ) = s e w s ) uma base para Im ) Existem u, u,, u tais que =,, u s ) = ws ) Considere o conjunto Se v então v) Im ) Como [ w,, ws ] = Im ), existem l,,l s R tais que v) = l w + + l s ws ) Considere o vetor u = l u + + ls us v ) ssim, u) = l u + + l u ) s s v u) l u ) + + ls us) v u) = l w + + ls ws v Pelo eo4, = ) De ), ) De ), u) = v) v) ssim, u) = 0 Então, u N ) Mas, [ v,, vt ] = N ) Então, existem k,, k t R tais que u = k v + + k t vt 4) De ) e 4), l u + + ls us v = k v + + kt vt ssim, v = l u + + ls u s k v kt vt Então, [ v,, vt, u,, u s ] = 5) Seja k v + + kt vt + kt + u + + kt+ s us = 0, com k,, k t +s R 6) ssim, k v + + k v + k u + + k u ) = 0 ) Pelo eo, Pelo eo4, t t t+ t + s s k v + + k t vt + k t+ u + + kt + s us ) = 0 v) + + k t vt ) + kt + u) + + kt + s us ) Mas, { v,, vt } N ) k = 0 Então, v ) = 0,, ) = 0 7) De ) e 7), ssim, v t k kt 0 + kt + w + + kt + s w s = 0 kt + w + + kt + s w s = 0 { s { s t + = = k t + s = k v + + k t v t = 0 { v,, v t é uma base para N ) Como, w,, w } é uma base para Im ) Então, w,, w } é linearmente independente em-se, k 0 Substituindo em 6), Como, } Então, v,, v } é linearmente independente { t = = k t = {,, vt, u,, u s em-se, k 0 Então, v } é linearmente independente 8) 78
19 De 5) e 8), { v,, vt, u,, u s} é uma base de Logo, dim = t + s = dim N ) + dimim ) eo40 Seja : é uma transformação linear é uma transformação linear injetora se e somente se N ) = { 0 } dem: ) Se é uma transformação linear injetora então N ) = { 0 }? Considere v N ) qualquer Então, v) = 0 Pelo eo, 0 ) = 0 ssim, v) = 0 ) Como é uma transformação linear injetora Se v) = 0 ) então v = 0 Logo, N ) = { 0 } ) Se N ) = { 0 } então é uma transformação linear injetora? Sejam v, u tais que v) = u) ssim, v) u) = 0 Pelo eo5, v u) = 0 Mas, N ) = { 0 } ssim, v u = 0 Então, v = u Logo, é uma transformação linear injetora eo4seja : é uma transformação linear injetora e { v, v,, vn } um conjunto de vetores linearmente independente O conjunto { v ), v ),, vn )} também é linearmente independente eo4seja : é uma transformação linear injetora e dim = dim Então a transformação linear é sobrejetora eo4seja : uma transformação transformação é bijetora se e somente se for invertível eo44 Seja : uma transformação linear e { v, v,, vn } Se [ v, v,, vn ] = então v ), v ),, v n )] = Im ) [ eo45 Sejam : e R : U transformações lineares Então a transformação composta R o ) : U tal que R o ) v) = R v)) é linear eo46 Sejam : e R : U transformações lineares bijetoras Então i) a transformação inversa : é linear ii) R o ) = o R eo47 Seja Q :, R :, S : U e : U transformações lineares e k R Então i) S + ) o Q = S o Q) + o Q) ii) o Q + R) = o Q) + o R) iii) k ) o Q = k o Q) = o k Q) 79
20 eo48sejam e espaços vetoriais e { v, v,, vn } uma base Se o vetor v i pode ser associado a um vetor w i, para todo i =,, n então existe uma única transformação linear : tal que v i ) = w, para todo i =,, n i eo49 Seja L, ) ou Hom, )) o conjunto de todas as transformações lineares de em e as seguintes operações: + : L, ) L, ) L, ), ) a + tal que + ) v) = v) + v) : R L, ) L, ) k, ) a k tal que k ) v) = k v) Então [ L, ), R, +, ] é um espaço vetorial eo50 Se dim = n e dim = m então dim L, ) = nm O conjunto L, R) ou Hom, R) ou vetorial dual de * de todos os funcionais de em R é denominado espaço eo5 Seja um R-espaço vetorial munido de um produto interno e um dado vetor função f u : R tal que f v) =< u, v > é um funcional u eo5 Seja um R-espaço vetorial munido de um produto interno função v) = é uma transformação linear f v * : tal que eo5 Sejam um R-espaço vetorial munido de um produto interno e f : R um funcional Então existe um único vetor v tal que f u) =< v, u >, para todo u, isto é, a função * : tal que v) = fv é um isomorfismo Corolário5 Se * dim = n então dim = n 80
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
rasformação Liear NSFOMÇÕES LINEES Sejam e espaços vetoriais reais Dizemos que uma fução : é uma trasformação liear se a fução preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar isto é se os
Leia maisUnidade 14 - Operadores lineares e mudança de base nos espaços euclidianos bi e tri-dimensionais
MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 14 - Operadores lineares e mudança de base nos espaços euclidianos bi e tri-dimensionais A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT -
Leia maisf) (,) = (,2) g) (,) = (,) h) (,) = (, ) i) (,) = (3, 2 ) d) (,) = (3, 2) e) (,) = 2(,) f) (,) = (, ) +2 # ' ( +
Lista de exercícios: Unidade 3 Transformações Lineares 1) Consideremos a transformação linear : ² ² definida por (,) = (3 2, +4). Utilizar os vetores = (1,2) e = (3, 1) para mostrar que (3 +4) = 3() +
Leia maisLista de Exercícios cap. 4
Lista de Exercícios cap. 4 1) Consideremos a transformação, linear T: IR² IR² definida por T(x, y) = (3x 2y, x + 4y). Utilizar os vetores u = (1,2) e v = (3, 1) para mostrar que T(3u + 4v) = 3T(u) + 4T(v).
Leia maisÁlgebra Linear Transformações Lineares
Álgebra Linear Transformações Lineares Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br cabm@cin.ufpe.br 1 Transformações Lineares Funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis
Leia maisCapítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes
6 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes Sumário 1 Matriz de uma Transformação Linear....... 151 2 Operações
Leia maisLista de exercícios para entregar
Lista de exercícios para entregar Nos problemas abaixo apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para
Leia maisINTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 7 ISOMORFISMO
INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR CAPÍULO 7 ISOMORFISMO A pergunta inicial que se faz neste capítulo e que o motiva é: dada uma transformação linear : V W é possível definir uma transformação linear
Leia mais1) A seguir são dados operadores lineares T em IR e em IR. Verificar quais são inversíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T.
Lista de Exercícios cap 5 1) A seguir são dados operadores lineares T em IR e em IR. Verificar quais são inversíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T. a) T: IR²IR², T(x, y) = (3x
Leia maisTRANSFORMAÇÕES LINEARES
1 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Cristianeguedes.pro.br/cefet Transformação Linear 2 Definição: Sejam U e V dois espaços vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é denominada Transformação Linear de U em
Leia maisMudança de base. Lista de exercícios. Professora: Graciela Moro
Lista de exercícios Professora: Graciela Moro Mudança de base. Sejam β {( ) ( )} β {( ) ( )} β { ) ( )} e β {( ) ( )} bases ordenadas de R. (a) Encontre a matrizes mudança de base: i. [I β β ii. [I β β
Leia mais1. Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares: x y z
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 657- - VIÇOSA - MG BRASIL a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 8 I SEMESTRE DE Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações
Leia maisLista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana
Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Parte A 1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem módulo v = 4, determine suas componentes.
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática
1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática Lista 4 - MAT 137 -Introdução à Álgebra Linear 2017/II 1. Entre as funções dadas abaixo, verifique quais
Leia maisParte 2 - Espaços Vetoriais
Espaço Vetorial: Parte 2 - Espaços Vetoriais Seja V um conjunto não vazio de objetos com duas operações definidas: 1. Uma adição que associa a cada par de objetos u, v em V um único objeto u + v, denominado
Leia mais5. Funções lineares em R n. ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 1 / 39
5. Funções lineares em R n ALGA (M1002) Ano letivo 2016/17 1 / 39 5.1 Definição e propriedades básicas 5.1 Definição e propriedades básicas Definição: uma função f : E F entre espaços vetoriais E e F diz-se
Leia maisLista 6: transformações lineares.
Lista 6: transformações lineares. 1) Diga, justificando, quais das seguintes funções constituem transformações lineares. a) T : R 2 R 2 tal que T (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, 3x 1 x 2 ) b) T : R 2 R 2 tal
Leia maisJorge M. V. Capela, Marisa V. Capela. Araraquara, SP
Vetores no Espaço Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2017 1 Vetores no Espaço 2 3 4 Vetor no espaço Vetores no Espaço Operações
Leia mais3 a. Lista de Exercícios
Última atualização 07/05/008 FACULDADE Engenharia Disciplina: Álgebra Linear Professor(: Data / / Aluno(: urma a Lista de Exercícios Dentre as aplicações, as mais importantes são as aplicações lineares
Leia mais1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica 2 o semestre de 2016
1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica o semestre de 16 1 Para que valores de t R a função definida por (x 1, x ), (y 1, y ) = x 1 y 1 + tx y é um produto interno em R? Para cada par de
Leia maisMudança de bases. Juliana Pimentel. juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2
Mudança de bases Juliana Pimentel juliana.pimentel@ufabc.edu.br http://hostel.ufabc.edu.br/ juliana.pimentel Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2 Um corpo se movendo no plano xy, com trajetória descrita pela
Leia maisficha 5 transformações lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha 5 transformações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 5 Notação
Leia maisÍNDICE MATRIZES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA
ÍNDICE MATRIZES Definição 1 Igualdade 2 Matrizes Especiais 2 Operações com Matrizes 3 Classificação de Matrizes Quadradas 9 Operações Elementares 11 Matriz Equivalente por Linha 11 Matriz na Forma Escalonada
Leia maisINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
EXERCÍCIOS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2458 Álgebra Linear para Engenharia II Primeira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina 1. Em R 3, sejam S 1
Leia maisÁLGEBRA LINEAR. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial. Prof. Susie C. Keller
ÁLGEBRA LINEAR Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Prof. Susie C. Keller Base de um Espaço Vetorial Um conjunto B = {v 1,..., v n } V é uma base do espaço vetorial V se: I) B é LI II) B gera V Base de
Leia maisÁlgebra Linear. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 20 de março de 2019
Álgebra Linear ECT2202 Prof. Ronaldo Carlotto Batista 20 de março de 2019 AVISO O propósito fundamental destes slides é servir como um guia para as aulas. Portanto eles não devem ser entendidos como referência
Leia maisApontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico
Apontamentos III Espaços euclidianos Álgebra Linear aulas teóricas 1 o semestre 2017/18 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice Índice i 1 Espaços euclidianos 1 1.1
Leia maisMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 7 II SEMESTRE DE 00 Professores: Flávia, Gustavo e Lana. Suponha que uma força
Leia maisMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 17 1. Suponha que uma força de 1 newtons é aplicada em um objeto ao longo do
Leia mais(c) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
Q1. Considere o espaço vetorial R 4 munido do seu produto interno usual. Sejam B uma base de R 4, A M 4 (R) uma matriz e T : R 4 R 4 a transformação linear tal que [T ] B = A. Considere as seguintes afirmações:
Leia maisTransformações geométricas planas
9 Transformações geométricas planas Sumário 9.1 Introdução....................... 2 9.2 Transformações no plano............... 2 9.3 Transformações lineares................ 5 9.4 Operações com transformações...........
Leia maisQ1. Seja V um espaço vetorial e considere as seguintes afirmações: um conjunto de geradores de um subespaço S 2 de V, então A 1 A 2
Q1. Seja V um espaço vetorial e considere as seguintes afirmações: (I) se A 1 é um conjunto de geradores de um subespaço S 1 de V e A 2 é um conjunto de geradores de um subespaço S 2 de V, então A 1 A
Leia maisÁlgebra linear A Primeira lista de exercícios
Álgebra linear A Primeira lista de exercícios Prof. Edivaldo L. dos Santos (1) Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R. {[ ] a b
Leia maisNota: Turma: MA 327 Álgebra Linear. Segunda Prova. Primeiro Semestre de T o t a l
Turma: Nota: MA 327 Álgebra Linear Primeiro Semestre de 2006 Segunda Prova Nome: RA: Questões Pontos Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 T o t a l Questão 1. A matriz de mudança da base ordenada
Leia maisexercícios de álgebra linear 2016
exercícios de álgebra linear 206 maria irene falcão :: maria joana soares Conteúdo Matrizes 2 Sistemas de equações lineares 7 3 Determinantes 3 4 Espaços vetoriais 9 5 Transformações lineares 27 6 Valores
Leia mais1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear Prof. Vyacheslav Futorny
1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear - 213 - Prof. Vyacheslav Futorny 1 a parte: Resolução de sistemas de equações lineares, matrizes inversíveis 1. Para cada um dos seguintes sistemas de equações
Leia maisReferências principais (nas quais a lista foi baseada): 1. G. Strang, Álgebra linear e aplicações, 4o Edição, Cengage Learning.
1 0 Lista de Exercício de Mat 116- Álgebra Linear para Química Turma: 01410 ( 0 semestre 014) Referências principais (nas quais a lista foi baseada): 1. G. Strang, Álgebra linear e aplicações, 4o Edição,
Leia maisUniversidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática
Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica e Álgebra Linear - GCI004 Assunto: Espaços vetoriais
Leia maisNota de aula: Transformações Lineares
Nota de aula: Transformações Lineares Prof. Rebello out/99 rev. out/ São aplicações entre espaços vetoriais, isto é, funções onde tanto o domínio como o contra domínio são espaços vetoriais, portanto todas
Leia maisMAT ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA II 1 a Lista de Exercícios - 2 o semestre de 2006
MAT 2458 - ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA II 1 a Lista de Exercícios - 2 o semestre de 2006 1. Sejam u = (x 1, x 2 ) e v = (y 1, y 2 ) vetores de R 2. Para que valores de t R a funcão u, v = x 1 y 1 +
Leia mais1. Não temos um espaço vetorial, pois a seguinte propriedade (a + b) v = a v + b v não vale. De fato:
Sumário No que se segue, C, R, Q, Z, N denotam respectivamente, o conjunto dos números complexos, reais, racionais, inteiros e naturais. Denotaremos por I (ou id) End(V ) a função identidade do espaço
Leia maisSegunda prova de Álgebra Linear Aplicada - 20/02/2013 Prof. Juliana Coelho - 11h00-13h00
Segunda prova de Álgebra Linear Aplicada - 20/02/2013 Prof. Juliana Coelho - 11h00-13h00 QUESTÃO 1 (1,2 pts) - Determine os valores de a R para os quais os vetores u = (1, 0, a), v = ( 2, 1, 0) e w = (a,
Leia maisFicha de Trabalho 08 Transformações Lineares. (Aulas 19 a 22).
F I C H A D E R A B A L H O 0 8 Ficha de rabalho 08 ransformações Lineares. (Aulas 19 a ). Produto interno em R n. Vectores livres: Ângulo de dois vectores. Vectores ortogonais. Vectores em R n : Produto
Leia maisESPAÇOS LINEARES (ou vetoriais)
Álgebra Linear- 1 o Semestre 2018/19 Cursos: LEIC A Lista 3 (Espaços Lineares) ESPAÇOS LINEARES (ou vetoriais) Notações: Seja A uma matriz e S um conjunto de vetores Núcleo de A: N(A) Espaço das colunas
Leia maisFicha de Trabalho 06 e 07
Ficha de rabalho 06 e 07 Produto Interno. (Aulas 1 a 18). Produto interno em R n. Vectores livres: Ângulo de dois vectores. Vectores ortogonais. Vectores em R n : Produto interno. Norma. Desigualdade de
Leia maisINSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFRJ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Professor Felipe Acker parte 1 - o plano
1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFRJ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Professor Felipe Acker parte 1 - o plano Exercícios - transformações lineares determinante e
Leia mais0.1 Matrizes, determinantes e sistemas lineares
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PARFOR MATEMÁTICA Lista de Exercícios para a Prova Substituta de Álgebra Linear 0.1 Matrizes, determinantes e sistemas lineares 1. Descreva explicitamente
Leia maisÁlgebra Linear II - Poli - Gabarito Prova SUB-tipo 00
Álgebra Linear II - Poli - Gabarito Prova SUB-tipo 00 [ ] 4 2 Questão 1. Seja T : R 2 R 2 o operador linear cuja matriz, com respeito à base canônica de R 2, é. 1 3 [ ] 2 0 Seja B uma base de R 2 tal que
Leia maisObjetivos. Definir os conceitos de transformação matricial e linear; Apresentar vários exemplos de transformações lineares.
Transformações lineares MÓDULO 3 - AULA 18 Aula 18 Transformações lineares Objetivos Definir os conceitos de transformação matricial e linear; Apresentar vários exemplos de transformações lineares. Introdução
Leia mais4 Produto de vetores. 4.1 Produto Escalar. GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear
4 Produto de vetores 4.1 Produto Escalar Definição (Medida angular): Sejam u e vetores não-nulos. Chama-se medida angular entre u e a medida θ do ângulo PÔQ, sendo (O,P) e (O,Q), respectivamente, representantes
Leia mais(x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ); e α (x, y) = (x α, y α ), α R.
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2457 Álgebra Linear para Engenharia I Terceira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Considere as retas
Leia maisAulas práticas de Álgebra Linear
Ficha 3 Aulas práticas de Álgebra Linear Licenciatura em Engenharia Naval e Oceânica Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 1 o semestre 2018/19 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática,
Leia maisJOSÉ ROBERTO RIBEIRO JÚNIOR. 9 de Outubro de 2017
9 de Outubro de 2017 Vetores Ferramenta matemática que é utilizada nas seguintes disciplinas dos cursos de Engenharia: Física; Mecânica Resistência dos materiais Fenômenos do transporte Consideremos um
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Espaços Vetoriais Reais
universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 4 Espaços Vetoriais Reais Definição de espaço vetorial real [4 01] O conjunto
Leia mais1. Considere a seguinte matriz dos vértices dum triângulo D = 0 2 3
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 7 a LISTA DE PROBLEMAS E EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE 1 o semestre 2006/07 - aulas práticas de 2006-12-04 e 2006-12-06
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática
1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2017/II 1. Sejam u = ( 4 3) v = (2 5) e w = (a b).
Leia maisÁlgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP
Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocabaunespbr Espaços Vetoriais 1 Definição; 2 Subespaços; 3 Combinação Linear, dependência
Leia maisINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2458 Álgebra Linear para Engenharia II Segunda Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Verdadeiro ou falso?
Leia mais0 1. Assinale a alternativa verdadeira Q1. Seja A = (d) Os autovalores de A 101 são i e i. (c) Os autovalores de A 101 são 1 e 1.
Nesta prova, se V é um espaço vetorial, o vetor nulo de V será denotado por 0 V. Se u 1,...,u n forem vetores de V, o subespaço de V gerado por {u 1,...,u n } será denotado por [u 1,...,u n ]. O operador
Leia maisAULA Exercícios. DEMONSTRAR QUE UMA TRANSFORMAÇÃO É LINEAR Se A é uma matriz real m n e. u R, a aplicação T : R R tal que
Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno
Leia maisMAT Álgebra Linear para Engenharia II
MAT2458 - Álgebra Linear para Engenharia II Prova Substitutiva - 04/12/2013 Nome: Professor: NUSP: Turma: INSTRUÇÕES (1) A prova tem início às 7:30 e duração de 2 horas. (2) Não é permitido deixar a sala
Leia maisPrograma Princípios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais
Programa Princípios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Representação gráfica de vetores Graficamente, um vetor é representado por uma flecha: a intensidade é o comprimento da flecha; a direção
Leia maisResolução das objetivas 3ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período
www.engenhariafacil.weebly.com Resolução das objetivas 3ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período 2013.2 OBS: Todas as alternativas corretas são as letras A. 1) Para encontrar o autovetor associado
Leia maisESPAÇO VETORIAL REAL. b) Em relação à multiplicação: (ab) v = a(bv) (a + b) v = av + bv a (u + v ) = au + av 1u = u, para u, v V e a, b R
ESPAÇO VETORIAL REAL Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é: u, v V, u + v V a R, u V, au V O conjunto V com estas duas operações
Leia maisMAT Álgebra Linear para Engenharia II - Poli 2 ō semestre de ā Lista de Exercícios
MAT 2458 - Álgebra Linear para Engenharia II - Poli 2 ō semestre de 2014 1 ā Lista de Exercícios 1. Verifique se V = {(x, y) x, y R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação
Leia mais1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0
Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A
Leia maisMudança de Coordenadas
Mudanças de Coordenadas Mudança de Coordenadas A origem O = (0, 0, 0) e os vetores i, j, k da base canônica de R determinam um sistema de coordenadas: se as coordenadas de um ponto no espaço são (x, y,
Leia maisESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS
ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto interno em espaços vetoriais Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e ângulos entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma
Leia maisTRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS
TRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS Parte II Transformações nos Espaços Bidimensionais GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra
Leia maisCM005 Álgebra Linear Lista 3
CM005 Álgebra Linear Lista 3 Alberto Ramos Seja T : V V uma transformação linear. Se temos que T v = λv, v 0, para λ K. Dizemos que λ é um autovalor de T e v autovetor de T associado a λ. Observe que λ
Leia maisPLANO DE ENSINO E APRENDIZAGEM
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA PARFOR PLANO E APRENDIZAGEM I IDENTIFICAÇÃO: PROFESSOR (A) DA DISCIPLINA:
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 14. Roteiro
Álgebra Linear I - Aula 14 1 Matrizes 2 Forma matricial de uma transformação linear 3 Composição de transformações lineares e produto de matrizes 4 Determinante do produto de matrizes Roteiro 1 Matrizes
Leia maisMAT3458 ÁLGEBRA LINEAR II 2 a Lista de Exercícios 2 o semestre de 2018
MAT3458 ÁLGEBRA LINEAR II 2 a Lista de Exercícios 2 o semestre de 2018 1. Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas. (i) Existe uma transformação linear T : P 3 (R) M 2 (R) cuja matriz em relação
Leia maisEspaços Vetoriais e Produto Interno
Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Álgebra Linear Prof o. Edson 1 o Semestre 1 a Lista de Exercícios 2009 Data: Sexta-feira 27 de Fevereiro Prof o. Edson Espaços Vetoriais e
Leia mais1 Espaços Vetoriais. 1.1 Base e Dimensão. 1.2 Mudança de Base. 1 ESPAÇOS VETORIAIS Álgebra Linear. Álgebra Linear Prof.
ESPAÇOS VETORIAIS Álgebra Linear Espaços Vetoriais Base e Dimensão Álgebra Linear Prof Ânderson Vieira Definição Um conjunto S = {u,,u n } V é uma base do espaço vetorial V se (I) S é LI; (II) S gera V
Leia maisMatriz de mudança de coordenadas: S B1!B 2. (como se faz e para que serve) transformação linear. (como se faz e para que serve)
Matriz de mudança de coordenadas: S B!B (como se faz e para que serve) Transformação linear A matriz de T em relação às bases B e B 0 : M(T ; B; B 0 ) (como se faz e para que serve) As 3 formas (equivalentes)
Leia maisTRANSFORMAÇÕES LINEARES
Capítulo 4 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Denição 56 Sejam e dois espaços vetoriais. Uma Transformação Linear (aplicação linear) é uma função de em : que satisfaz as seguintes condições: Qualquer que sejam e
Leia mais1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0.
MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 5x 3, onde a = 5 e b = 3 (função afim)
Leia maisEscalar: Grandeza à qual se associa um valor real independentemente da direção, ex: massa, comprimento, tempo, energia.
1 2. Vetores Força 2.1- Escalares e Vetores Escalar: Grandeza à qual se associa um valor real independentemente da direção, ex: massa, comprimento, tempo, energia. Vetor: Grandeza a qual se associa um
Leia mais. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1
QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,
Leia maisCÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
04 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA CAPÍTULO 0 TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO R Sejam e O os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenados com origem O(0,0).
Leia maisTópicos de Álgebra Linear
Tópicos de Álgebra Linear - 2010 Prof Dr Pedro Levit Kaufmann Lista I 1. Em R n dena as operações a b = a b e a = a. As operações à direita são as usuais. Quais axiomas, que denem um espaço vetorial, estão
Leia maisFACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO INTRODUÇÃO Cumpre de início, distinguir grandezas escalares das grandezas vetoriais. Grandezas escalares são aquelas que para sua perfeita caracterização basta informarmos
Leia maisUniversidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática
Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Álgebra Linear Professor: André Luiz Galdino Aluno(a): 4 a Lista de Exercícios 1. Podemos entender transformações lineares
Leia maisCAPÍTULO 13 (G F )(X) = X, X A (F G)(Y ) = Y, Y B. F G = I da e G F = I db,
CAPÍTULO 3 TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA 3 Introdução A função identidade em R n é a função que a cada elemento de R n associa o próprio elemento ie I d : R n R n X x x n I d X X x x n A função identidade
Leia maisGeometria Analítica. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Geometria Analítica Prof Marcelo Maraschin de Souza Vetor Definido por dois pontos Seja o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade no ponto B(x 2, y 2 ). Qual é a expressão algébrica que
Leia mais6. Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais):
a Lista. Sejam u = ( 4 ) v = ( 5) e w = (a b). Encontre a e b tais que (a)w = u + v (b)w = 5v (c)u + w = u v. Represente os vetores acima no plano cartesiano.. Sejam u = (4 ) v = ( 4) e w = (a b c). Encontre
Leia mais2.1 Fundamentos Básicos
.1 Fundamentos Básicos Recordemos que uma aplicação (ou transformação) entre espaços vetoriais T : V! W é linear quando: (a) T (u + v) = T (u) + T (v) ; u; v V: (b) T ( u) = T (u) ; u V e F: Podemos condensar
Leia mais2 Álgebra Linear (revisão)
Teoria de Controle (sinopse) 2 Álgebra Linear (revisão) J. A. M. Felippe de Souza Neste capítulo vamos citar os principais tópicos de Álgebra Linear que são necessários serem revistos para o acompanhamento
Leia maisficha 6 espaços lineares com produto interno
Exercícios de Álgebra Linear ficha espaços lineares com produto interno Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico o semestre 011/1 Notação
Leia maisÁlgebra Linear. Transformações Lineares
Álgebra Linear Transformações Lineares Fórmulas e Resumo Teórico Para fins gerais, considere V um espaço vetorial e uma transformação T: V W. Propriedades de Transformações Lineares - T é linear se: Para
Leia maisGeometria Analítica. Cônicas. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Geometria Analítica Cônicas Prof Marcelo Maraschin de Souza É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. Considere dois pontos distintos
Leia maisSoluções dos trabalhos de 1 a 7
Universidade Federal Rural do Semiárido-UFERSA Departamento de Ciências Exatas e Naturais Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia e Computação Disciplina: Álgebra Linear Aluno(a): Soluções dos trabalhos
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 11. Roteiro
Álgebra Linear I - Aula 11 1. Transformações lineares. 2. Exemplos de Transformações lineares. Roteiro 1 Transformações lineares Definição 1 (Transformação linear). Uma transformação linear T definida
Leia maisGAAL - Exame Especial - 12/julho/2013. Questão 1: Considere os pontos A = (1, 2, 3), B = (2, 3, 1), C = (3, 1, 2) e D = (2, 2, 1).
GAAL - Exame Especial - /julho/3 SOLUÇÕES Questão : Considere os pontos A = (,, 3), B = (, 3, ), C = (3,, ) e D = (,, ) (a) Chame de α o plano que passa pelos pontos A, B e C e de β o plano que passa pelos
Leia maisPARES DE SUBESPAÇOS EM R n. Luciana Cadar Chamone
PARES DE SUBESPAÇOS EM R n Luciana Cadar Chamone Monografia apresentada ao Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas da Universidade Federal de Minas Gerais como parte dos requisitos para
Leia maisaula6 Curvas de Hermite 2016/2 IC / UFF Criadas por Charles Hermite ( ) https://pt.wikipedia.org/wiki/charles_hermite
Criadas por Charles Hermite (1822-1901) https://pt.wikipedia.org/wiki/charles_hermite aula6 Vetor é : Na matemática - um elemento com de um espaço vetorial Em Física em oposição as grandezas escalares,
Leia maisProf. Drª Marília Brasil Xavier REITORA. Profª. Drª. Maria das Graças Silva VICE-REITORA
Prof. Drª Marília Brasil Xavier REITORA Profª. Drª. Maria das Graças Silva VICE-REITORA Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida PRÓ-REITOR DE ENSINO E GRADUAÇÃO Profª. M.Sc. Maria José de Souza Cravo
Leia mais