Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. (Positividade do produto interno) Raíz quadrada. Formas quadráticas.

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1 Aplicações: Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal (Positividade do produto interno) Raíz quadrada Formas quadráticas Mínimos quadrados Produto externo e produto misto (Área do paralelogramo. Volume do paralelepípedo.) Matrizes elementares e factorização triangular

2 Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal Considere-se o produto interno usual A M nn (C) A H A T A H H A (A + B) H A H +B H (AC) H C H A H A é hermitiana se A H A A é simétrica se A T A Se A M nn (R), A hermitiana, A simétrica Todos os valores próprios de uma matriz simétrica ou hermitiana são reais Se A fôr simétrica ou hermitiana então os vectores próprios associados a valores próprios distintos, são ortogonais Os subespaços próprios de A simétrica ou hermitiana são ortogonais entre si

3 Dem A M nn (C), A hermitiana. valor próprio de A e u vector próprio associado. hau; ui (Au) H u u H A H u u H Au u H u kuk : Por outro lado, hau; ui (u) H u kuk : Então, uma vez que kuk 0. Logo é real. Sejam u e v vectores próprios associados (respectivamente) a valores próprios distintos e. Então hau; vi (Au) H v ( u) H v é real hu; vi hau; vi (Au) H v u H Av u H v hu; vi Como então u e u são ortogonais. hu ; u i 0

4 P é ortogonal : P T P, isto é, P P T I (as colunas de P T são uma base ortonormada de R n ) U é unitária : U H U, isto é, UU H I (as colunas de U H são uma base ortonormada de C n ) Se A M nn (R) A ortogonal, A unitária

5 A diz-se unitariamente diagonalizável se existir U H unitária e D diagonal tais que D UAU H isto é, se existir uma base o.n. de C n formada só por vectores próprios de A A diz-se ortogonalmente diagonalizável se existir P T ortogonal e D diagonal tais que D P AP T isto é, se existir uma base o.n. de R n formada só por vectores próprios de A

6 Teorema de Schur. Seja A uma matriz n n. Então, existe uma matriz unitária U H tal que UAU H é triangular superior (inferior). Dem. A demonstração será efectuada por indução em n. O resultado é óbvio para n. Suponhamos que a hipótese é válida para matrizes k k e seja A uma matriz (k + ) (k + ). Sejam um valor próprio de A e w um vector próprio associado de norma. Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, seja w ; : : : ; w k+ uma base ortonormada para C k+. Seja W H a matriz cuja coluna i é igual ao vector w i, para i ; : : : ; k +. Então, por construção, a matriz W H é unitária. Por outro lado, a primeira coluna de W AW H é igual a W Aw, tendo-se W Aw W w W w

7 e assim W AW H onde M é uma matriz k k. j j 0 j. j M 0 j ; Pela hipótese de indução, existe uma matriz kk unitária (V ) H tal que V M (V ) H T, onde T é uma matriz triangular superior. Seja V H Então V H é unitária e tem-se j 0 0 j 0 j. j (V ) H 0 j (V W ) A (V W ) H V W AW H V H.

8 j j 0 j. j V M (V ) H 0 j j j 0 j. j T 0 j T, onde T é uma matriz triangular superior. Como a matriz (V W ) H é unitária, pondo U H (V W ) H, tem-se UAU H T, com T triangular superior e U H unitária.

9 Exemplo A " valores próprios de A : e N (A I) L (f(; )g) N (A I) L (f(; )g) U H p p p p Gram-Schmidt UAU H T p p p p " p p p p " 0 {z } T

10 TEOREMA (triangularização) A M nn (C): Então existe U H unitária tal que UAU H é triangular superior (inferior). TEOREMA A é hermitiana ) A é unitariamente diagonalizável Dem. existe U H unitária tal que UAU H é triangular. Seja T UAU H. Logo T H T e como T é triangular então T é diagonal. A M nn (R) A é simétrica ) A é ortogonalmente diagonalizável A matriz P T é a matriz cujas colunas são os vectores próprios de A que formam uma base ortonormada de R n

11 A hermitiana ) A unitariamente diagonalizável (D UAU H ) A hermitiana : A unitariamente diagonalizável A simétrica, A ortogonalmente diagonalizável (D P AP T )

12 A é normal : A H A AA H (ou A T A AA T se A M nn (R)) fa : A é simétricag fa : A é normalg fa : A é ortogonalg fa : A é normalg fa : A é hermitianag fa : A é normalg fa : A é unitáriag fa : A é normalg A M nn (R) tal que A é normal com todos os valores próprios reais + A simétrica

13 Se A M nn (C) é normal tem-se para todo o u kauk A H u A normal ) A I normal e k(a I) uk (A I) H u A H I u Logo Au u ) A H u u

14 Os vectores próprios associados a valores próprios distintos, de uma matriz normal, são ortogonais Dem. Seja A M nn (C) tal que A é normal. Sejam ; valores próprios de A tais que e sejam v e v vectores próprios de A associados respectivamente a e. Tem-se Av v ) A H v v e Av v ) A H v v A H v H v v H v (v ) H v hv ; v i A H v H v (v ) H (Av ) (v ) H v hv ; v i Logo ( ) hv ; v i 0: Assim, como, tem-se hv ; v i 0:

15 A é normal, A é unitariamente diagonalizável Dem. ()) A normal, existe U H unitária e T triangular superior T tais que T UAU H. T T H T H T Logo T é normal. T t ij n n. As entradas das diagonais principais de T T H e T H T : jt j + jt j + jt j + + jt n j jt j jt j + jt j + + jt n j jt j + jt j jt nn j jt n j + jt n j + jt n j + + jt nn j e assim, t ij 0 sempre que i j. Logo T é diagonal e A é unitariamente diagonalizável..

16 (() A unitariamente diagonalizável. Sejam D diagonal e U H unitária tais que Logo D UAU H A U H DU AA H U H DD H U A H A U H D H D U DD H D H D j j j j j n j AA H A H A e assim A é normal.

17 Exemplo A " + i i A H A AA H A é hermitiana " + i i A H A Logo A é normal. Então existem uma matriz unitária U H (U H U ) e uma matriz diagonal D tais que det(a I) D UAU H. + i i os valores próprios de A são e e tem-se N (A I) L (f( i; )g) ( ) ( ), N (A I) L + i;. Note-se que os vectores de N (A I) são ortogonais aos vectores de N (A I). Logo, uma base ortonormada de C formada só com vectores próprios de A pode

18 ser: 8 < : k( i; )k ( i; ) ; + i; + 9 i; Logo e ( p p i; U H S Bvp!B c D p " 0 0! ; p + p p i p i; p + p p p UAU H!) p i. ;

19 Exemplo não é simétrica logo não é ortogonalmente diagonalizável. Mas: T T então é normal e como tal é unitariamente diagonalizável.

20 0 0 0 ip ip {z } D p p p p + p p i i p p i + p i p p p i + p p i + p i i p p p {z } U H

21 Positividade do produto interno Teorema. A M nn (R) simétrica. Então: A é de nida positiva, isto é, u T Au > 0 para todo o u 0,, todos os valores próprios de A são positivos Dem. Sendo A simétrica então A é ortogonalmente diagonalizável, isto é, existem D diagonal e P T ortogonal tais que D P AP T. Assim (u T Au > 0 para todo o u 0),, (u T P T DP u > 0 para todo o u 0),, ((P u) T D (P u) > 0 para todo o u 0),, (, (u T Du > 0 para todo o u 0), nx i (u i ) i > 0 para todo o u 0),, ( i > 0 para todo o i ; :::; n) onde ; :::; n são os valores próprios de A são positivos. Logo A é de nida positiva.

22 Raíz quadrada Observações. Existem in nitas v u t" 0 0 por exemplo " s r com s; r; t N tais que t t r s s + r (triplos pitagóricos) Não existe v u t" Sendo A simétrica e de nida positiva existem n matrizes simétricas B tais que B A. No entanto existe uma única matriz simétrica e de nida positiva B; a "raíz quadrada" de A tal que B A e escreve-se B p A Observação. Caso A seja simétrica e semide nida positiva (todos os seus valores próprios são não negativos) então p A simétrica e semide nida positiva também é única.

23 A M nn (R) tal que A é simétrica. Então, são equivalentes: (i) A é de nida positiva (u T Au > 0 8u 0) (ii) Existe uma raíz quadrada de A, isto é, existe B simétrica e de nida positiva tal que ou seja A B B p A (iii) Existe uma matriz invertível S tal que A S T S

24 Exemplo A " valores próprios de A: e vectores próprios associados a : L (f( ; )g) n f0g vectores próprios associados a : L (f(; )g) n f0g " 0 0 p p p p " p p p p B p p p p " p p 0 0 p p p p " p p p p + p p p p + p A B " p p p p + p p p p + "

25 Exemplo. Cálculo de p A valores próprios de A : 0 e base ortogonal de R formada só por vectores próprios de A: 8 9 >< ( ; 0; ) ; ( ; ; 0) {z } >: N (A)nf0g ( ; 0; ) ; (; ; ) {z } N (A > I)nf0g>; f( ; 0; ) ; ( ; ; ) ; (; ; )g base ortonormada de R formada só por vectores próprios de A: 8 >< p p ; 0;! ; p p ; ; p {z } >: N (A)nf0g! ; p p p ; ; 9! > {z } N (A I)nf0g >;

26 p A p p p p p 0 p p p {z } P T p p p p p p p p p p {z } {z } D P p p p p p p p p p

27 Outro modo de calcular v u t base de R formada só por vectores próprios de A: 8 >< ( ; 0; ) ; ( ; ; 0) ; (; ; ) {z } >: N (A)nf0g {z } A {z } N (A 9 > I)nf0g >; {z } {z } P {z } D P p C {z } {z } A P p {z } D P

28 p A p {z } {z } P p {z } D P p p p p p p p p p

29 Mínimos quadrados Au b A M mn (R), b R m Como Au C (A) para todo o u R n e b P C(A) (b) kb Auk, u R n é a melhor solução aproximada ou solução de mínimos quadrados de Au b se u veri car Au P C(A) (b) kb Auk é o erro de mínimos quadrados a distância kb Auk é mínima se Au P C(A) (b)

30 Por outro lado, tem-se Au P C(A) (b),, P C(A) Au P C(A) b,, P C(A) (Au b) 0,, Au b N P C(A) (C (A))? N A T,, A T (Au b) 0,, A T Au A T b. À equação A T Au A T b. chama-se equação normal associada a Au b.

31 Tem-se (i) N (A) N A T A (ii) As soluções de mínimos quadrados do sistema linear Au b são as soluções da equação normal A T Au A T b: (iii) Se car A n então a equação normal A T Au A T b tem a solução única u A T A A T b P C(A) (b) Au A A T A A T b isto é, A A T A A T é a matriz que representa a projecção ortogonal P C(A) na base canónica.

32 (x ; y ) ; : : : ; (x m ; y m ), y a 0 + a x 8 >< >: y a 0 + a x. y m a 0 + a x m A x.. x m ; u se car A a equação normal x.. x m " a0 a " a0 a, b y. y m y. y m A T Au A T b tem como única solução de mínimos quadrados u A T A A T b Assim, a recta de mínimos quadrados y a 0 + a x é a recta que torna mínimos os quadrados (y (a 0 + a x )) + +(y m (a 0 + a x m )) kb Auk kb Auk é o erro de mínimos quadrados

33 (x ; y ) ; : : : ; (x m ; y m ) y a 0 + a x + ::: + a n x n A 8 >< >: y a 0 + a x + + a n x n. y m a 0 + a x m + + a n x n m. x. x n. x m x n m. x. x n. x m x n m a 0 a. a n u a 0 a. a n y. y m b y. y m se car A n + e então a equação normal A T Au A T b tem como única solução de mínimos quadrados u A T A A T b:

34 y + x é a recta de mínimos quadrados relativa aos pontos (0; ) ; (; ) ; (; ) e (; ) : A 0 b car A, a solução de mínimos quadrados é única: u " a0 a A T A A T b 0 " 0 0 C A " 0 " kb Auk v u t (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) s p.

35 Um produto interno em C ([a; b]) h; i : C ([a; b]) C ([a; b])! R (f; g)! hf; gi Z b a f (x) g (x) dx. Prova da positividade: hf; fi > 0 para toda a função não nula. Seja f C ([a; b]). Seja x 0 [a; b] tal que f (x 0 ) 0. Como f é contínua em [a; b], existe um intervalo I [a; b] tal que para todo o x I (f (x)) (f (x 0)). Logo Z b hf; fi (f a (x)) dx (f I (x)) dx (f (x 0)) ZI dx (f (x 0)) jij > 0 onde jij denota o comprimento do intervalo I. Z Z I (f (x 0 )) dx

36 Polinómio de Taylor versus Mínimos quadrados Z f (t) g (t) dt produto interno em C [ ; ] n ; t; t o base de U L n ; t; t o C [ ; ] Gram-Schmidt: n ; t; + t o base ortogonal de L n ; t; t o P U e t proj e t + proj t e t + proj +t e t e e + e t + e e + t Z +t e t dt Z +t dt + t e e + t

37 e t P U e t v Z u t e t e e + e t + e e + t dt r e e e + 9 : 9 0 Aproximação usando o polinómio de Taylor: e t + t + t v Z u t e t + t + t dt q sinh sinh : 9 8 0

38 Matrizes elementares e factorização triangular! L $L ! {z } P

39 ! L!L! {z } E ( )

40 j 8 j j! L +L!L! j 0 0 j j {z } E ( )

41 j 0 0 j j! L +L!L! {z } E ()

42 E () E ( ) E P

43 Matriz elementar é uma matriz do tipo n n obtida de I através de uma única operação elementar. A matriz de permutação P ij é a matriz elementar obtida por troca da linha i com a linha j de I. P ij i j

44 A matriz E i () é a matriz elementar obtida da matriz I através do produto do escalar 0 pela linha i da matriz I. E i () i A matriz E ij () é a matriz elementar obtida de I por soma da linha j com um múltiplo da linha i. Para i < j: E ij () i j

45 E ij (), com i < j, são matrizes triangulares inferiores E ij (), com i > j, são matrizes triangulares superiores Pij Pij (E i ()) E i () para 0 Eij () Eij ( )

46 As matrizes elementares do tipo são: P P " 0 0 E () " 0 0 E () " 0 0 E () " 0 E () " 0

47 ou A LU ou P A LU E E ( ) P {z } A {z } U P P {z } L P A E () E P A {z } U {z } {z } L U

48 ou A LU ou P A LU E ( )E ( )E () 0 {z } A {z } U A (E ()) E ( ) E ( ) )E ( {z ) 0 } L {z } U A E ( )E ( A {z } {z } L U

49 E P {z } A {z } U P P {z } L P A E {z } U P A {z } L {z } U

50 Factorização triangular Consequências do método de eliminação de Gauss A m n. Então ou A LU ou P A LU P é uma matriz de permutação L é triangular inferior com as entradas da diagonal principal todas iguais a U é uma matriz em escada Se A é nn e invertível então as factorizações anteriores são únicas e U é triangular superior e as entradas da diagonal principal são os pivots A invertível, (A produto de matrizes elementares) ("Outro" modo de calcular a inversa de uma matriz invertível)

51 O determinante de cada um dos três tipos de matrizes elementares é dado por det P ij, det E i (), det E ij () : Assim det (EA) det E det A; onde E é uma matriz elementar (P ij ; E i () ou E ij ()). O que conduz à demonstração de se ter: det (AB) det A det B:

52 Teorema. A M nn (R). São equivalentes: (i) A é igual ao produto de matrizes elementares (ii) A é invertível (iii) Au 0 tem apenas a solução trivial u 0 (iv) Au b tem solução única u para cada b R n (v) car A n (vi) nul A 0 (vii) det A 0 (Num próximo capítulo) (viii) A T A é invertível (ix) N (A) f0g

53 (x) As colunas de A geram R n (xi) As colunas de A são independentes (xii) As colunas de A formam uma base de R n (xiii) As linhas de A geram R n (xiv) As linhas de A são independentes (xv) As linhas de A formam uma base de R n (xvi) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é sobrejectiva. (xvii) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é injectiva. (xviii) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é bijectiva.

54 (xix) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é invertível. (xx) 0 não é valor próprio de A. (xxi) (N (A))? R n. (xxii) (L (A))? f0g.

55 ! ::: ! :::! ::: {z } matriz em escada de linhas reduzida 0 0 "

56 Formas quadráticas Equação quadrática em duas variáveis x e y: ax + by + cxy + dx + ey + f 0 h i " a c x y c b {z } A " x y (A real simétrica). Q : R! R, + h d e i " x y {z } u Q (u) u T Au ax + by + cxy + f 0 forma quadrática associada à equação quadrática Equação quadrática em n variáveis x ; x ; : : : ; x n : u T Au + Bu + 0 u M n (R), A a ij real simétrica n n, B M n (R) e escalar. Q : R n! R Q (u) u T Au n P i np j forma quadrática associada à equação quadrática a ij x j! x i

57 A real (simétrica) n n. A forma quadrática Q : R n! R é: Q (u) u T Au de nida positiva se u T Au > 0, para todo o u 0; de nida negativa se u T Au < 0, para todo o u 0; semide nida positiva se u T Au 0, para todo o u; semide nida negativa se u T Au 0, para todo o u; inde nida se existirem pontos onde u T Au seja positiva e pontos onde u T Au seja negativa.

58 A M nn (R), A simétrica. Então A é de nida positiva, todos os valores próprios de A são positivos; A é de nida negativa, todos os valores próprios de A são negativos; A é semide nida positiva, todos os valores próprios de A são não negativos; A é semide nida negativa, todos os valores próprios de A são não positivos; A é inde nida, A tem pelo menos um valor próprio positivo e outro negativo.

59 Em R u x y z A a d e d b f e f c B g h i ax +by +cz +dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+ 0 À super cie resultante da equação anterior chama-se quádrica. Existem quatro tipos de quádricas não degeneradas: elipsóides, hiperbolóides (de uma ou duas folhas), cones e parabolóides (elípticos ou hiperbólicos). Em R : Cónica ou secção cónica é a curva plana obtida por meio de um corte efectuado por um plano relativamente a uma superfície cónica. As secções cónicas que se obtêm quando o plano que efectua o corte não passa pelo vértice da superfície cónica, são elipses (os valores próprios têm o mesmo sinal) (podendo ter-se circunferências: quando o corte é efectuado perpendicularmente ao eixo de simetria do cone), parábolas (um dos dois valores próprios é zero) e hipérboles (os dois valores próprios têm sinais contrários).

60 x + xy + y elipse Q(x; y) x +xy+y h x y i " " x y h x y i p p p p " 0 0 p p p p " x y 0 p p p p " x y C A T " 0 0 p p p p " x y h x 0 y 0 i " 0 0 " x 0 y 0 x 0 + y 0 com " x 0 y 0 cos sen sen cos " x y A P T DP

61 x + y elipse y x x + xy + y elipse y x

62 x y hipérbole y x x y parábola y x