TEOREMA ( Propriedades das operações matriciais)

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1 TEOREMA ( Propriedades das operações matriciais) Supomos as dimensões das matrizes A, B, C tais que as operações abaixo consideradas estão bem definidas. Temos então: I. A+B=B+A (comutatividade da soma matricial) II. A+(B+C)=(A+B)+C (associatividade da soma matricial) III. A(BC)=(AB)C (associatividade da multiplicação matricial) IV. A(B+C)=AB+AC (distributividade à esquerda relativamente à soma matricial) V. (B+C)A=BA+CA (distributividade à direita relativamente à soma matricial) IV. A(B-C)=AB-AC (distributividade à esquerda relativamente à diferença matricial) V. (B-C)A=BA-CA (distributividade à direita relativamente à diferença matricial) VI. a(b+c)=ab+ac (distributividade da multiplicação por um escalar relativamente à soma matricial) VI. a(b-c)=ab-ac (distributividade da multiplicação por um escalar relativamente à diferença matricial) VII. (a+b)c=ac+bc (distributividade da multiplicação pela soma de escalares) VII. (a-b)c=ac-bc (distributividade da multiplicação pela diferença de escalares) VIII. a(bc)=(ab)c (associatividade da multiplicação por um escalar) IX. a(bc)=(ab)c=b(ac) (comutatividade da multiplicação por um escalar relativamente à multiplicação matricial) onde a, b, c. 1

2 TEOREMA (Propriedades das matrizes invertíveis). Versão 1 Seja A uma matriz n n, então as seguintes afirmações são equivalentes: (i) A é invertível. (ii) O SEL homogéneo, Ax = 0, só admite a solução trivial. (iii) O resultado do Método de Gauss-Jordan aplicado a A é a matriz identidade n n. (iv) A admite uma factorização na forma de produto de matrizes elementares. (v) O SEL Ax = b é possível e determinado para cada vector independente b n 1. Observação: Vamos ver este teorema crescer ao longo da nossa cadeira de Álgebra Linear. 2

3 Exemplo de aplicação do Método de Gauss-Jordan ao cálculo de A 1 Pretende-se calcular a matriz inversa de A = Resolução: A ideia do Método de Gauss-Jordan baseia-se na redução da matriz original A, mediante operações elementares com as suas linhas, á matriz identidade I 3, neste caso. As mesmas operações elementares aplicadas á matriz identidade I 3 produzem a matriz inversa A 1, que nos é pedida. Assim, vamos efectuar os seguintes cálculos, partindo da matriz aumentada (A.I) : (A.I) = : : o Passo: Somamos a segunda linha com 3 vezes a primeira linha. Obtemos : : : o Passo: Somamos a terceira linha com 2 vezes vezes a primeira linha. Obtemos : : : o Passo: Trocamos a segunda linha com a terceira linha. Obtemos : : : o Passo: Somamos a segunda linha com 2 vezes a terceira linha. Obtemos : : : o Passo: Somamos a primeira linha com 1 vez a terceira linha. Obtemos : : : o Passo: Somamos a primeira linha com 3 vezes a segunda linha. Obtemos : : :

4 6 o Passo: Muliplicamos a segunda linha por 1 e obtemos finalmente : : = (I.A 1 ) : Terminamos então os cálculos com a matriz aumentada (I.A 1 ), donde A 1 2 = Observação: No final da aplicação deste método não se esqueça nunca de verificar que temos A 1 A = I. 4

5 TEOREMA (Propriedades das matrizes invertíveis) Versão 2 Seja A uma matriz n n, então as seguintes afirmações são equivalentes: (i) A é invertível. (ii) O SEL homogéneo, Ax = 0, só admite a solução trivial. (iii) O resultado do Método de Gauss-Jordan aplicado a A é a matriz identidade n n. (iv) A admite uma factorização na forma de produto de matrizes elementares. (v) O SEL Ax = b é possível e determinado para cada vector independente b n 1. (vi) deta 0. Observação: este teorema já cresceu relativamente à Versão 1 na última alínea. 5

6 TEOREMA ( Propriedades da Adição e Multiplicação por um Escalar em n ) Sejam x,y,z vectores de n, e c, d escalares. Temos então as seguintes propriedades: I. x,y n : x + y = y + x (comutatividade da adição). II. x,y,z n : (x + y) + z = x + (y + z) (associatividade da adição) III. 0 n, x n : 0 + x = x + 0 (existência do elemento neutro da adição). IV. x n, y n : x + y = 0, y diz-se simétrico de x (existência de simétrico). V. c, d, x n : c(dx) = (cd)x (associatividade da multiplicação por escalares). VI. c, x,y n : c(x + y) = cx + cy (distributividade da multiplicação por um escalar relativamente à adição). VII. c, d, x n : (c + d)x = cx + dx (distributividade da multiplicação por uma soma de escalares). VIII. x n : 1x = x (existência de identidade). 6

7 TEOREMA ( da dimensão, independência linear, bases e geradores) Seja W um subespaço linear de n com dimensão igual a m. Então podemos concluir o seguinte sobre um conjunto S = {v 1,v 2,...,v l } de l vectores de n. I. Se S gera W, então ou é base de W (caso l = m), ou pode tornar-se numa base de W, excluindo um ou mais vectores (caso l > m). II. Se S gera W, então S tem pelo menos m vectores. III. Se S gera W e tem m vectores, então é base de W. IV. Se S é L.I., então S ou é base de W (caso l = m), ou pode tornar-se numa base de W, juntando um ou mais vectores (caso l < m). V. Se S é L.I., então S tem quanto muito m vectores. VI. Se S é L.I. e tem m vectores, então é base de W. 7

8 TEOREMA (Propriedades das matrizes invertíveis) Versão 3 Seja A uma matriz n n, então as seguintes afirmações são equivalentes: (i) A é invertível. (ii) O SEL homogéneo, Ax = 0, só admite a solução trivial. (iii) O resultado do Método de Gauss-Jordan aplicado a A é a matriz identidade n n. (iv) A admite uma factorização na forma de produto de matrizes elementares. (v) O SEL Ax = b é possível e determinado para cada vector independente b n 1. (vi) deta 0. (vii) As colunas de A são L.I.. (viii) As linhas de A são L.I.. (ix) As colunas de A geram n. (x) As linhas de A geram n. (xi) As colunas de A são uma base de n. (xii) As linhas de A são uma base de n. (xiii) A tem característica igual a n. (xiv) O núcleo de A é igual a {0}. (xv) A tem nulidade igual a 0. Observação: este teorema já cresceu relativamente à Versão 1 nas últimas dez alíneas. 8

9 TEOREMA ( Propriedades das transformações lineares) Supomos as transformações lineares P, R, T tais que as operações abaixo consideradas estão bem definidas. Temos então: I. T+R=R+T (comutatividade da soma) II. T+(R+P)=(T+R)+P (associatividade da soma) III. T(RP)=(TR)P (associatividade da composição) IV. T(R+P)=TR+TP (distributividade à esquerda relativamente à soma) V. (T+R)P=TP+RP (distributividade à direita relativamente à soma) IV. T(R-P)=TR-TP (distributividade à esquerda relativamente à diferença) V. (T-R)P=TP-RP (distributividade à direita relativamente à diferença) VI. a(t+r)=at+ar (distributividade da multiplicação por um escalar relativamente à soma) VI. a(t-p)=at-ap (distributividade da multiplicação por um escalar relativamente à diferença) VII. (a+b)t=at+bt (distributividade da multiplicação pela soma de escalares) VII. (a-b)t=at-bt (distributividade da multiplicação pela diferença de escalares) VIII. a(bt)=(ab)t (associatividade da multiplicação por um escalar) IX. a(tp)=(at)p=t(ap) (comutatividade da multiplicação por um escalar relativamente à composição) onde a, b, c. 9

10 TEOREMA (Propriedades das matrizes invertíveis que representam transformações lineares em n ) Versão 4/5 Seja A uma matriz n n que representa a transformação linear T : n n relativamente a uma base de n, então as seguintes afirmações são equivalentes: (i) A é invertível. (ii) O SEL homogéneo, Ax = 0, só admite a solução trivial. (iii) O resultado do Método de Gauss-Jordan aplicado a A é a matriz identidade n n. (iv) A admite uma factorização na forma de produto de matrizes elementares. (v) O SEL Ax = b é possível e determinado para cada vector independente b n 1. (vi) deta 0. (vii) As colunas de A são L.I.. (viii) As linhas de A são L.I.. (ix) As colunas de A geram n. (x) As linhas de A geram n. (xi) As colunas de A são uma base de n. (xii) As linhas de A são uma base de n. (xiii) A tem característica igual a n. (xiv) O núcleo de A é igual a {0}. (xv) A tem nulidade igual a 0. (xvi) λ = 0 não é valor próprio de A. (xvii) A imagem da transformação linear T é n. (xviii) O núcleo da transformação linear T é {0}. (xix) T tem característica igual a n. (xx) T tem nulidade igual a 0. (xxi) A transformação linear T é invertível. (xxii) A transformação linear T é um isomorfismo. (xxiii) λ = 0 não é valor próprio de T. Observação: este teorema já cresceu relativamente à versão anterior nas últimas oito alíneas sobre transformações lineares em n. 10

11 TEOREMA (Propriedades das matrizes invertíveis que representam transformações lineares em n ) Versão 6 Seja A uma matriz n n que representa a transformação linear T : n n relativamente a uma base de n, então as seguintes afirmações são equivalentes: (i) A é invertível. (ii) O SEL homogéneo, Ax = 0, só admite a solução trivial. (iii) O resultado do Método de Gauss-Jordan aplicado a A é a matriz identidade n n. (iv) A admite uma factorização na forma de produto de matrizes elementares. (v) O SEL Ax = b é possível e determinado para cada vector independente b n 1. (vi) deta 0. (vii) As colunas de A são L.I.. (viii) As linhas de A são L.I.. (ix) As colunas de A geram n. (x) As linhas de A geram n. (xi) As colunas de A são uma base de n. (xii) As linhas de A são uma base de n. (xiii) A tem característica igual a n. (xiv) O núcleo de A é igual a {0}. (xv) A tem nulidade igual a 0. (xvi) λ = 0 não é valor próprio de A. (xvii) A imagem da transformação linear T é n. (xviii) O núcleo da transformação linear T é {0}. (xix) T tem característica igual a n. (xx) T tem nulidade igual a 0. (xxi) A transformação linear T é invertível. (xxii) A transformação linear T é um isomorfismo. (xxiii) λ = 0 não é valor próprio de T. (xxiv) O complemento ortogonal do núcleo de A é n. (xxv) O complemento ortogonal das linhas de A é {0}. Observação: este teorema já cresceu relativamente à versão anterior nas duas últimas alíneas sobre complementos ortogonais em n. 11

12 DEFINIÇÃO ( Espaço Linear) Sejam V um conjunto não vazio e os elementos x,y,z de V, designados por vectores. Seja ainda o escalar c ( ou ). Definem-se a soma de dois vectores x + y e o produto escalar cx. O conjunto V com as duas operações de adição e multiplicação por um escalar diz-se um espaço linear (real ou complexo) caso se verifiquem as seguintes propriedades (inspiradas do comportamento de n ): I. x,y V : x + y V (fecho da adição). II. x V, c : cx V (fecho da multiplicação por um escalar). III. x,y V : x + y = y + x (comutatividade da adição). IV. x,y,z V : (x + y) + z = x + (y + z) (associatividade da adição) V. 0 V, x V : 0 + x = x + 0 (existência do elemento neutro da adição). VI. x V, y V : x + y = 0, y diz-se simétrico de x (existência de simétrico). VII. c, d, x V : c(dx) = (cd)x (associatividade da multiplicação por um escalar). VIII. c, x,y V : c(x + y) = cx + cy (distributividade da multiplicação por um escalar). VIII. c, d escalar)., x V : (c + d)x = cx + dx (distributividade da multiplicação por um IX. x V : 1x = x (existência de identidade). 12