Matrizes hermitianas e unitárias

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1 Matrizes hermitianas e unitárias Amit Bhaya, Programa de Engenharia Elétrica COPPE/UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro amit@nacad.ufrj.br amit

2 Matrizes complexas O produto interno entre x,y C n é definido como x H y, onde x H = x T, onde x é o conjugado complexo do vetor x. O vetor x é ortogonal a y se x H y = 0, e o comprimento de x é x = (x H x) 1/2. A conjugada transposta de uma matriz A é escrita A H. Note que (AB) H = B H A H. Três propriedades fundamentais de matrizes hermitianas: 1. Se A = A H, então, x C n, o número x H Ax R. 2. Todo autovalor de uma matriz hermitiana é real. 3. Os autovetores de uma matriz hermitiana correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. 1

3 Matrizes simétricas e teorema espectral Conclusão (da 3 a prop. na página anterior): Uma matriz real simétrica A = A T pode ser fatorada como A = QΛQ T os AV o.n. de A são as colunas de Q, e os AV de A formam a diagonal de Λ. O fato acima A = QΛQ T é conhecida como teorema espectral, pois Λ contém o conjunto de AV (:= espectro de A), ou ainda como teorema de eixos principais. Escrevendo A = λ 1 q 1 q T λ n q n q T n (1) vemos que A pode ser escrita como uma combinação linear (coefs. são os AV) de n matrizes projetoras (de posto um), que projetam nas n autodireções o.n. Refere-se a (1) como decomposição espectral de A. 2

4 Matrizes unitárias Uma matriz U é denominada unitária se U H U = UU H = I. Em outras palavras, U possui colunas o.n. e linhas o.n. e U H = U 1. Propriedades de matrizes unitárias: 1. Matrizes unitárias preservam ângulo e comprimento (i.e., preservam o produto interno). (Ux) H Uy = x H y Ux = x. 2. Todo autovalor de A tem valor absoluto 1. ( λ i (A) = 1, i) 3. Autovetores correspondendo a autovalores diferentes são ortogonais. K é chamada anti-hermitiana se K = K H. Sendo real, isto significa, K = K T, e, neste caso, A é chamada anti-simétrica. Os autovalores de matrizes anti-hermitianas são puramente imaginárias e podemos diagonalizar via uma similaridade unitária: K = UΛU H, com U unitária e Λ diagonal com os autovalores imaginários de K na diagonal principal. 3

5 Real versus complexo R n x T y C n x H y x = (x T x) 1/2 x = (x H x) 1/2 A T = (a ji ) A H = (a ji ) (AB) T = B T A T (AB) H = B H A H (Ax) T y = x T (A T y) (Ax) H y = x H (A H y) x y se x T y = 0 x y se x H y = 0 A T = A (A simétrica) A = QΛQ T (= A T ) (Λ real, diag.) K T = K (anti-simétrica) Q T Q = QQ T = I (ortogonal) (Qx) T Qy = x T y Colunas, linhas, AV o.n., AV = 1 A H = A (A hermitiana) A = UΛU H (= A H ) (Λ real, diag.) K H = K (anti-hermitiana) U H U = UU H = I (unitária) (Ux) H Uy = x H y Colunas, linhas, AV o.n., AV = 1 4

6 Transformações lineares Quando a matriz A multiplica um vetor x, podemos pensar que ela transforma x em Ax. Exemplos: [ A = αi ] estica todo vetor por um fator α. 0 1 A rot = roda todo vetor por 90 graus. Etc. 1 0 Um mapeamento T : (V, F) (W, F) é chamado transformação linear se α F, v 1,v 2 V,T(αv 1 +v 2 ) = αt(v 1 )+T(v 2 ). É fácil verificar que toda matriz define uma transformação linear. Na realidade, a inversa também vale. 5

7 Determinando a matriz representando uma transformação linear Sejam os vetores {v 1,...,v n } uma base para o espaço V, e {w 1,...,w m } uma base para o espaço W. Qualquer transformação linear T mapeando V a W é representada por uma matriz. A j-ésima coluna é encontrada pela aplicação de T ao j-ésimo vetor da base para V; o resultado Tv j é uma combinação linear dos vetores da base para W (os w i ) e os coeficientes da combinação linear formam a j-ésima coluna da representação matricial desejada. I.e., Tv j = a 1j w 1 + a 2j w a mj w m e a matriz da transformação linear T é (a ij ). 6

8 Similaridade Dada uma matriz A e uma matriz não-singular M, dizemos que a transformação que leva A a B := M 1 AM é uma transformação de similaridade, e que as matrizes A e B são similares. Perguntas chaves: Quais são as similaridades entre A e B? Varrendo todas as matrizes não-singulares M possíveis, é possível encontrar uma estrutura especial para B? Matrizes similares possuem o mesmo polinômio característico. Portanto, mesmos traços, determinantes, autovalores. x AV de A (AV λ) corresponde a M 1 x AV de B (com mesmo AV λ). 7

9 Simlaridade = Mudança de base Matrizes similares representam a mesma transformação linear em bases diferentes. Diagrama comutativo: base B 1 V T B1 base B 1 V I B2 B 1 I B1 B 2 base B 2 V base B 2 V T B2 Comutatividade do diagrama acima significa: caminho (de base B 2 V a base B 2 V ) equivale ao caminho. As matrizes que representam a mesma transformação linear T em duas bases diferentes B 1 e B 2 são similares: T B2 = I B1 B 2 T B1 I B2 B 1 transf. lin. B = M 1 A M matrizes 8

10 Formas triangulares (de Schur) com M unitária (Lema de Schur) Para qualquer matriz quadrada A, existe uma matriz unitária M = U tal que U 1 AU = S onde S é triangular superior. Os autovalores de A que são os mesmos de S (pela similaridade) aparecem, portanto, na diagonal principal da matriz triangular S. Lema acima é válido para qualquer matriz: frequentemente permite escapar da hipótese de diagonalizabilidade. Aplicação importante: Diagonalização de matrizes simétricas e hermitianas com autovalores repetidos. 1. A hermitiana U 1 AU hermitiana. 2. A simétrica ou hermtiana e triangular simultaneamente A diagonal. Teorema espectral (versão final): Toda matriz simétrica (resp. hermitiana) pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal (resp. unitária) e as colunas desta matriz contém um conjunto completo de autovetores o.n. 9

11 Matrizes normais Para qual classe de matrizes a forma triangular do lema de Schur é diagonal? A matriz N é chamada normal se comuta com N H : NN H = N H N. Para tais matrizes (e somente para elas), a matriz triangular (do lema de Schur) T = U 1 NU coincide com a matriz diagonal dos autovalores Λ. Em outras palavras, matrizes normais são exatamente aquelas que possuem um conjunto completo de autovetores o.n. Matrizes hermitianas, simétricas e unitárias certamente são normais. 10

12 Forma de Jordan Agora vamos permitir M arbitrária e tentar diagonalizar A até onde possível. Se A possui s autovetores independentes, ela é similar a uma matriz com s blocos: J 1 J = M 1 AM =.... Cada bloco de Jordan é uma matriz triangular com apenas um autovalor λ i e um autovetor: J i = λ i 1 1 λ i J s. Quando o bloco possui ordem m > 1, o autovalor λ i é repetido m vezes e há (m 1) 1 s acima da diagonal principal. mesmo autovalor pode aparecer em vários blocos, se corresponder a vários autovetores independentes. Duas matrizes são similares se compartilham a mesma forma de Jordan. Por isso, é referido também como forma canônica de Jordan. O 11

13 Forma de Jordan: exemplos [ ] [ ] [ T =, A =, B = [ ] 1 1 possuem a mesma forma de Jordan J =. 0 1 ] todas Para T transformar o 2 superdiagonal [ em 1: ] M = 1/ 2 1/ 2 diag(1, 1/2). Para A, U = 1/ 2 1/ leva a 2 T, seguido por M.... Para B uma permutação A = and B =. Zero é AV triplo para ambas as matrizes, portanto aparecerá em todos os blocos de Jordan. Possibilidades: um bloco 3 3; ou um 2 2 e um 1 1; ou três 1 1, i.e.: J 1 = , J 2 = 0 1 0, J 3 =. A possui apenas um AV (1, 0, 0), portanto apenas um bloco similar a J 1 ; B possui o AV adicional (0, 1, 0) e é similar a J 2. Atenção!: A técnica de contar autovetores não funciona sempre. E.g., A 4 4 com um AV repetido 4 vezes (J 3 e J 1 ) ou (J 2 e J 2 ): dois AV indep., forma de Jordan distintos. 12

14 Aplicação da forma de Jordan a EDOs A k = (MJM 1 )(MJM 1 ) (MJM 1 ) = MJ k M 1. J é bloco-diagonal! Portanto, por exemplo, se tiver um AV repetido 3 vezes e um único AV correspondente: J n i = λ λ λ n = λn nλ n 1 n(n 1)λ n 2 0 λ n nλ n λ n. Para a equação diferencial correspondente: e J it = e λt te λt 1 2 t2 e λt 0 e λt te λt 0 0 e λt. 13

15 Transformações de similaridade 1. A diagonalizável: Colunas de X AV, X 1 AX = Λ diagonal 2. A arbitrária: forma de Jordan J = M 1 AM bloco-diagonal. 3. A arbitrária, U unitária, U 1 AU = T triangular. 4. A normal (AA H = A H A): U unitária, U 1 AU = Λ diagonal. Casos especiais, com autovetores ortonormais: (a) A hermitiana Λ real. (b) A real simétrica Λ real, U = Q ortogonal. (c) A anti-hermitiana Λ imaginária. (d) A ortogonal ou unitária, então todos os λ i = 1. 14