Espaços vectoriais com produto interno. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 1 / 19

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1 Capítulo 6 Espaços vectoriais com produto interno ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 1 / 19

2 Definição e propriedades ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 2 / 19

3 Definição e propriedades Seja V um espaço vectorial real (complexo). Chama-se produto interno (ou produto escalar) em V a uma aplicação, : V V R (C) (u, v) u, v que verifica as seguintes propriedades: (1) u,v V, u,v = v,u ; ( u,v = v,u ) (2) u,v,w V, u + v,w = u,w + v,w ; (3) u,v V, α R (C), αu,v = α u,v ; (4) u V, u,u 0 e u,u = 0 u = 0 V. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 2 / 19

4 Definição e propriedades Seja V um espaço vectorial real (complexo). Chama-se produto interno (ou produto escalar) em V a uma aplicação, : V V R (C) (u, v) u, v que verifica as seguintes propriedades: (1) u,v V, u,v = v,u ; ( u,v = v,u ) (2) u,v,w V, u + v,w = u,w + v,w ; (3) u,v V, α R (C), αu,v = α u,v ; (4) u V, u,u 0 e u,u = 0 u = 0 V. Diz-se então que V é um espaço Euclidiano real (complexo). ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 2 / 19

5 Exemplos 1) Para x = (x 1,,x n ),y = (y 1,,y n ) R n, x,y = n x k y k k=1 define um produto interno em R n. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 3 / 19

6 Exemplos 1) Para x = (x 1,,x n ),y = (y 1,,y n ) R n, x,y = n x k y k k=1 define um produto interno em R n. (R n,.,. ) é um espaço Euclidiano real. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 3 / 19

7 Exemplos 1) Para x = (x 1,,x n ),y = (y 1,,y n ) R n, x,y = n x k y k k=1 define um produto interno em R n. (R n,.,. ) é um espaço Euclidiano real. 2) Para x = (x 1,,x n ),y = (y 1,,y n ) C n, x,y = n x k y k k=1 define um produto interno em C n. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 3 / 19

8 Exemplos 1) Para x = (x 1,,x n ),y = (y 1,,y n ) R n, x,y = n x k y k k=1 define um produto interno em R n. (R n,.,. ) é um espaço Euclidiano real. 2) Para x = (x 1,,x n ),y = (y 1,,y n ) C n, x,y = n x k y k k=1 define um produto interno em C n. (C n,.,. ) é um espaço Euclidiano complexo. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 3 / 19

9 3) Seja C[a,b] o conjunto das aplicações f : [a,b] R que são contínuas. C[a,b] é um espaço vectorial real para a adição usual de funções e multiplicação de uma função por um escalar. Para f,g C[a,b], f,g = b define um produto interno em C[a,b]. a f(x)g(x) dx ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 4 / 19

10 3) Seja C[a,b] o conjunto das aplicações f : [a,b] R que são contínuas. C[a,b] é um espaço vectorial real para a adição usual de funções e multiplicação de uma função por um escalar. Para f,g C[a,b], f,g = b define um produto interno em C[a,b]. a f(x)g(x) dx (C[a,b],.,. ) é um espaço Euclidiano real. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 4 / 19

11 Proposição Seja V um espaço Euclidiano real. (i) u V, 0 V,u = 0; (ii) Se u,v = 0 para todo v V, então u = 0 V ; (iii) Se u,v = u,v para todo v V, então u = u. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 5 / 19

12 Definições ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 6 / 19

13 Definições Seja V um Euclidiano real e sejam u,v V. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 6 / 19

14 Definições Seja V um Euclidiano real e sejam u,v V. A norma de u é o escalar não negativo u = u,u. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 6 / 19

15 Definições Seja V um Euclidiano real e sejam u,v V. A norma de u é o escalar não negativo u = u,u. A distância de u a v é u v. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 6 / 19

16 Definições Seja V um Euclidiano real e sejam u,v V. A norma de u é o escalar não negativo u = u,u. A distância de u a v é u v. Os vectores u e v dizem-se ortogonais se u,v = 0. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 6 / 19

17 Definições Seja V um Euclidiano real e sejam u,v V. A norma de u é o escalar não negativo u = u,u. A distância de u a v é u v. Os vectores u e v dizem-se ortogonais se u,v = 0. A projecção ortogonal de u sobre v 0 V é o vector proj v u = u,v v 2 v. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 6 / 19

18 Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Para u e v vectores de um espaço Euclidiano real, tem-se u,v u v sendo a igualdade verificada se e só se u e v são linearmente dependentes. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 7 / 19

19 Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Para u e v vectores de um espaço Euclidiano real, tem-se u,v u v sendo a igualdade verificada se e só se u e v são linearmente dependentes. O ângulo entre os vectores de u e v é ( ) u,v arccos u v [0,π]. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 7 / 19

20 Proposição (Propriedades da norma) Seja V um espaço Euclidiano real. (i) u 0, u V e u = 0 u = 0 V (ii) αu = α u, u V, α R (iii) u + v u + v, u,v V [Desigualdade triangular] ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 8 / 19

21 Ortogonalização de Gram-Schmidt Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectores distintos são ortogonais; ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 9 / 19

22 Ortogonalização de Gram-Schmidt Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectores distintos são ortogonais; se todos os vectores tiverem norma 1, o conjunto diz-se normado; ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 9 / 19

23 Ortogonalização de Gram-Schmidt Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectores distintos são ortogonais; se todos os vectores tiverem norma 1, o conjunto diz-se normado; se for ortogonal e normado, diz-se ortonormado. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 9 / 19

24 Ortogonalização de Gram-Schmidt Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectores distintos são ortogonais; se todos os vectores tiverem norma 1, o conjunto diz-se normado; se for ortogonal e normado, diz-se ortonormado. Teorema Um conjunto ortogonal de vectores não nulos é linearmente independente. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 9 / 19

25 Ortogonalização de Gram-Schmidt Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectores distintos são ortogonais; se todos os vectores tiverem norma 1, o conjunto diz-se normado; se for ortogonal e normado, diz-se ortonormado. Teorema Um conjunto ortogonal de vectores não nulos é linearmente independente. O RECÍPROCO É FALSO! ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 9 / 19

26 Teorema Se {u 1,...,u n } é uma base ortogonal de um espaço Euclidiano real V, então, para qualquer vector u V, u = u,u 1 u 1 2 u u,u n u n 2 u n. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 10 / 19

27 Teorema Se {u 1,...,u n } é uma base ortogonal de um espaço Euclidiano real V, então, para qualquer vector u V, u = u,u 1 u 1 2 u u,u n u n 2 u n. Teorema Se {u 1,...,u n } é uma base ortonormada de um espaço Euclidiano real V, então, para qualquer vector u V, u = u,u 1 u u,u n u n. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 10 / 19

28 Teorema (Ortogonalização de Gram-Schmidt) Seja V um espaço Euclidiano real e v 1,...,v m V vectores linearmente independentes. Então, os vectores u 1,...,u m V definidos por u 1 = v 1 u l = v l v l,u 1 u 1 2 u 1 v l,u l 1 u l 1 2 u l 1, para l = 2,...,m, constituem um base ortogonal de L ({v 1,...,v m }). Observação: Este teorema descreve um algoritmo para obter uma base ortogonal de V a partir de uma base de V. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 11 / 19

29 Projecção ortogonal de um vector sobre um subespaço Teorema Seja S um subespaço vectorial de V e seja v V. Então, existe um e um só vector p S tal que v p é ortogonal a todos os vectores de S, ou seja, tal que v p,u = 0 para todo u S. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 12 / 19

30 Projecção ortogonal de um vector sobre um subespaço Teorema Seja S um subespaço vectorial de V e seja v V. Então, existe um e um só vector p S tal que v p é ortogonal a todos os vectores de S, ou seja, tal que v p,u = 0 para todo u S. O vector p designa-se por projecção ortogonal de v sobre S e representa-se por proj S v. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 12 / 19

31 Teorema Seja S um subespaço vectorial de V e seja v V. Então (i) v proj S v = min u S v u ; (ii) Para u S, v proj S v = v u u = proj S v; (iii) v S v = proj S v. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 13 / 19

32 Teorema Seja S um subespaço vectorial de V e seja v V. Então (i) v proj S v = min u S v u ; (ii) Para u S, v proj S v = v u u = proj S v; (iii) v S v = proj S v. Teorema Seja S um subespaço vectorial de V e seja v V. Se {v 1,...,v m } é uma base ortogonal de S, então m m v,v k p = proj vk v = v k v 2 k. k=1 k=1 ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 13 / 19

33 Método dos mínimos quadrados Sejam A uma matriz real m n e b R m. Suponhamos que o sistema linear Ax = b é impossível ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 14 / 19

34 Método dos mínimos quadrados Sejam A uma matriz real m n e b R m. Suponhamos que o sistema linear Ax = b é impossível ( b / C (A)). ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 14 / 19

35 Método dos mínimos quadrados Sejam A uma matriz real m n e b R m. Suponhamos que o sistema linear Ax = b é impossível ( b / C (A)). x R n, Ax b Ax b > 0 ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 14 / 19

36 Método dos mínimos quadrados Sejam A uma matriz real m n e b R m. Suponhamos que o sistema linear Ax = b é impossível ( b / C (A)). x R n, Ax b Ax b > 0 A ideia de aproximação dos mínimos quadrados é encontrar a melhor solução do sistema linear Ax = b quando, de facto, não existem soluções. A melhor significa o vector x R n que minimiza Ax b, i.e., A x b = min Ax b. x Rn ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 14 / 19

37 Método dos mínimos quadrados Sejam A uma matriz real m n e b R m. Suponhamos que o sistema linear Ax = b é impossível ( b / C (A)). x R n, Ax b Ax b > 0 A ideia de aproximação dos mínimos quadrados é encontrar a melhor solução do sistema linear Ax = b quando, de facto, não existem soluções. A melhor significa o vector x R n que minimiza Ax b, i.e., A x b = min Ax b. x Rn Diremos que x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadrados. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 14 / 19

38 Teorema Sejam A uma matriz real m n e b R m com b / C (A). Então, x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadrados se e só se A x = proj C(A) b. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 15 / 19

39 Teorema Sejam A uma matriz real m n e b R m com b / C (A). Então, x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadrados se e só se A x = proj C(A) b. Algoritmo 1. Determinar uma base para C (A) usando a eliminação de Gauss. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 15 / 19

40 Teorema Sejam A uma matriz real m n e b R m com b / C (A). Então, x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadrados se e só se A x = proj C(A) b. Algoritmo 1. Determinar uma base para C (A) usando a eliminação de Gauss. 2. Obter uma base ortogonal a partir da base anterior. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 15 / 19

41 Teorema Sejam A uma matriz real m n e b R m com b / C (A). Então, x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadrados se e só se A x = proj C(A) b. Algoritmo 1. Determinar uma base para C (A) usando a eliminação de Gauss. 2. Obter uma base ortogonal a partir da base anterior. 3. Calcular proj C(A) b. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 15 / 19

42 Teorema Sejam A uma matriz real m n e b R m com b / C (A). Então, x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadrados se e só se A x = proj C(A) b. Algoritmo 1. Determinar uma base para C (A) usando a eliminação de Gauss. 2. Obter uma base ortogonal a partir da base anterior. 3. Calcular proj C(A) b. 4. Resolver A x = proj C(A) b. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 15 / 19

43 Teorema Sejam A uma matriz real m n e b R m. Então, (i) x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadrados se e só se A T A x = A T b. (ii) Existe uma única solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadrados se e só se car A = n. Neste caso a solução é x = (A T A) 1 A T b. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 16 / 19

44 Diagonalização de Matrizes Simétricas ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 17 / 19

45 Diagonalização de Matrizes Simétricas Teorema Se uma matriz quadrada A real de ordem n for simétrica, então os valores próprios de A são reais. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 17 / 19

46 Diagonalização de Matrizes Simétricas Teorema Se uma matriz quadrada A real de ordem n for simétrica, então os valores próprios de A são reais. Teorema Se uma matriz quadrada A real de ordem n for simétrica, é diagonalizável com uma matriz diagonalizante ortogonal, ou seja, existe uma matriz Q ortogonal tal que Q T AQ é diagonal (real). ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 17 / 19

47 Teorema Vectores próprios de uma matriz simétrica real A associados a valores próprios distintos são ortogonais dois a dois, isto é, se λ 1,λ 2...,λ r são valores próprios de A distintos dois a dois e v 1,v 2...,v r são vectores próprios de A associados a λ 1,λ 2...,λ r, respectivamente, então v 1,v 2...,v r são ortogonais dois a dois. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 18 / 19

48 Teorema Vectores próprios de uma matriz simétrica real A associados a valores próprios distintos são ortogonais dois a dois, isto é, se λ 1,λ 2...,λ r são valores próprios de A distintos dois a dois e v 1,v 2...,v r são vectores próprios de A associados a λ 1,λ 2...,λ r, respectivamente, então v 1,v 2...,v r são ortogonais dois a dois. Observação Se a matriz quadrada A real de ordem n é simétrica e λ 1,λ 2...,λ r são todos os seus valores próprios considerados sem repetições, um processo de obter uma base ortonormada de R n constituída por vectores próprios de A (isto é, as colunas de uma matriz ortogonal diagonalizante de A), consiste em construir bases ortonormadas dos subespaços E(λ 1 ),E(λ 2 ),...,E(λ r ) e depois reunir todas essas bases. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 18 / 19

49 É proposta a resolução dos seguintes exercícios a discutir na aula ou no horário de atendimento: 167, 174, 175, 180, 181, 183, 184, 185, 186, 187, 189, 192 e 193 das Folhas 11 e 12. Para o estudo deste capítulo é recomendado o livro A. P. Santana e J. F. Queiró, Introdução à Álgebra Linear, Departamento de Matemática, FCTUC, 2008, p. 100 a p. 123 e p. 146 a p ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 19 / 19