7 temos que e u =

Transcrição

1 Capítulo 1 Complementos de Álgebra Linear 11 Introdução Seja A = [a ij ] uma matriz quadrada de ordem n e pensemos na transformação linear R n! R n que a cada cada vector u R n faz corresponder um vector imagem em R n de nido por Au 1 0 Exemplo 1 Sendo A = 0 0 e u = 1 temos que Au = = Põe-se a questão de saber se existe algum vector u R n, cuja imagem pela transformação da matriz A, ou seja Au, tenha a mesma direcção do vector u isto é, seja um múltiplo de u Dito de outro modo, será que existe um escalar R tal que Au = u Observemos que o vector nulo tem essa propriedade para qualquer escalar pois A! 0 =! 0 ; 8 R Essa é, contudo, uma situação trivial A questão interessante é pois encontrar um vector não nulo em tais condições 1

2 CAPÍTULO 1 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Notação Quando se refere um vector, digamos um elemento u R n ; é muito frequente escrever u ou! u para distinguir das suas componentes ou dos escalares ou elementos de R Pensamos, contudo que tal distinção sai facilmente do contexto E por isso usaremos a notação simples u R n, excepto no caso do vector nulo que notaremos por! 0 1 Valores próprios e Vectores próprios De nição Seja A uma matriz quadrada de ordem n, A = [a ij ] Se existir um escalar R e um vector de R n ; u = 0; tal que Au = u diz-se que é um valor próprio de A e u é um vector próprio de A associado a esse valor próprio Exemplo 1 Tomemos a matriz A (do exemplo anterior) e o vector u R seguintes 1 0 A = 0 0 e u = Observemos que Au = = 0 = 1 0 = u Logo o vector u = (; 1; 0) é vector próprio da matriz A correspondente ao valor próprio = Poder-se-ão levantar diversas questões, cujas respostas serão dadas ao longo do capítulo Por exemplo 1 Um vector próprio corresponde a um único valor próprio?

3 1 CÁLCULO DE VALORES E VECTORES PRÓPRIOS E, reciprocamente, a cada valor próprio está associado um único vector próprio de A? Como se determinam os valores próprios? E os vectores próprios? Qual a relevância deste assunto? Proposição Dado um vector próprio da matriz A existe um e um só valor próprio a que ele está associado Proposição Se u for vector próprio associado a um valor próprio R então qualquer múltiplo de u é também vector próprio de A associado ao mesmo valor próprio A última proposição responde à segunda questão anteriormente formulada Contudo, podemos adiantar que a um valor próprio, para além de um vector próprio associado que se determine, bem como dos seus múltiplos, poderão existir outros vectores próprios associados (e respectivos múltiplos) que não sejam múltiplos do primeiro determinado Mais adiante será dada resposta completa a esta questão Proposição 0 é valor próprio da matriz quadrada A; de ordem n; se e só se A não for invertível Dem A não é invertível () r(a) < n () o sistema Au =! 0 é indeterminado () 9u =! 0 Au = 0u () 0 é valor próprio de A 1 Cálculo de valores e vectores próprios 11 Cálculo dos valores próprios Como vimos, se for um valor próprio de A e u um vector próprio associado a esse valor próprio ; isso signi ca que isto é, Au = u; (A I) u = 0; ou seja, uma vez que u = 0; matriz A I não é invertível Como sabemos é equivalente a dizer que o seu determinante é nulo Então podemos resumir este facto na proposição seguinte

4 CAPÍTULO 1 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Proposição 8 é um valor próprio de A se e só se det (A I) = 0 Esta proposição fornece pois um modo de calcular os valores próprios de A Consiste na determinação dos que anulam o determinante da matriz A I Exemplo 9 Tomemos a matriz do exemplo anterior e calculemos todos os seus valores próprios det (A I) = det B C A = det B A = det Ora, utilizando a proposição anterior, det (A I) = 0 () (1 ) ( ) ( ) = 0; donde = 1 _ = _ = Já tínhamos assinalado que = é valor próprio de A Contudo, pelos cálculos que acabámos de fazer, vimos que A tem ainda mais dois valores próprios = 1 e =

5 1 CÁLCULO DE VALORES E VECTORES PRÓPRIOS Obs 10 Observemos que a determinação dos valores próprios de A consistiu no cálculo das raízes do polinómio de grau ; p () = (1 ) ( ) ( ) ; ou, dito de outro modo, na resolução da equação (1 ) ( ) ( ) = 0 Esta observação anticipa e ilustra o que adiante diremos sobre polinómio característico e equação característica de uma matriz 1 Determinação dos vectores próprios associados a um valor próprio Como já dissemos, dado um valor próprio de A; os vectores próprios associados a são os vectores u =! 0 tais que Au = u () (A I) u =! 0 isto é, são as soluções do sistema linear homogéneo a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a n1 a n a nn u 1 u u n 0 0 = 0 Se o sistema for possível e determinado, isso signi ca que caímos no caso trivial, isto é, apenas o vector nulo satisfaz a equação (A I) u =! 0 Nesse caso não existiriam valores nem vectores próprios (relembra-se que, por de nição, o vector próprio não pode ser nulo) Portanto, a existência de valores e vectores próprios é equivalente ao facto de o sistema anterior ser possível e indeterminado De acordo com o grau de indeterminação, varia a dimensão do espaço das soluções do sistema, isto é dos vectores próprios Assim se - se o grau de indeterminação for 1, o espaço dos vectores próprios tem dimensão 1, isto é, dado um vector próprio todos os outros serão os seus múltiplos

6 CAPÍTULO 1 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR - se o grau de indeterminação for, o espaço dos vectores próprios tem dimensão, isto é, existem dois vectores próprios linearmente independentes e todos os outros são combinações lineares destes - se o grau de indeterminação for n, o espaço dos vectores próprios tem dimensão n, isto é, existem n vectores próprios linearmente independentes e todos os outros são combinações lineares destes De nição 11 Dado um valor próprio de A; ao espaço dos vectores próprios de A associados a chama-se subespaço próprio de e representa-se por E Exemplo 1 1 Vamos determinar os vectores próprios associados ao valor próprio da matriz do exemplo anterior Temos de resolver o sistema homogéneo (A I) u =! 0 Temos então, sob a forma matricial, donde 8 < u 1 + u = 0 u = 0 ou seja, são os vectores da forma =! 8 < u 1 = u () u = u = (a; a; 0) = a(; 1; 0); com a R, isto é, são os múltiplos de (; 1; 0) Portanto, E =< (; 1; 0) >;! isto é, o espaço gerado pelo vector (; 1; 0) De forma análoga veríamos que E 1 =< (1; 0; 0) > e E =< (0; 0; 1) >

7 1 CÁLCULO DE VALORES E VECTORES PRÓPRIOS Exemplo 1 Determinenos os valores próprios e respectivos vectores próprios da matriz B = Determinação dos valores próprios det (B I) = 0 () det 0 = 0 0 () ( ) ( ) ( ) = 0 () ( ) ( ) = 0 () = _ 1 + = 0 () = _ = 8 Fazemos notar que = é solução múltipla, com multiplicidade e = 8 é solução simples - Determinação dos vectores próprios associados a = B I! 0 = 0 0! 0 0! !

8 8 CAPÍTULO 1 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Logo 8 < u u = 0 u 1 qualquer 8 < u = u () u 1 qualquer Portanto, os vectores próprios associados a = são da forma u = (a; b; b) = a(1; 0; 0) + b(0; 1; 1); com a; b R, ou seja, são as combinações lineares dos vectores (1; 0; 0) e (0; 1; 1) Portanto, E =< (1; 0; 0) ; (0; 1; 1) >; isto é, o espaço gerado pelos vectores (1; 0; 0) e (0; 1; 1) Neste caso tem dimensão, o que, como referimos anteriormente, está ligado ao facto de o sistema de equações lineares do cálculo ter grau de indeterminação De forma análoga veríamos que E 8 =< (; 1; 1) > 1 Multiplicidades algébrica e geométrica Como vimos, dada uma matriz A de ordem n - os seus valores próprios são os zeros do polinómio de grau n; p() = det (A I) A este polinómio chama-se polinómio característico da matriz A Sendo um polinómio de grau n tem, no máximo, n raízes reais e exactamente n raízes reais ou complexas (a justi cação deste facto incide no Teorema Fundamental da Álgebra, que sai fora do âmbito do curso); - à equação det(a I) = 0 chama-se equação característica da matriz A e os valores próprios de A são precisamente as soluções dessa equação; - os valores próprios podem ser distintos ou não, consoante sejam raízes simples ou múltiplas do polinómio característico De nição 1 Dado um valor próprio de A, chama-se multiplicidade algébrica de à sua multiplicidade enquanto raiz do polinómio característico de A; p(),isto é, às soluções da equação característica p() = 0 Por outro lado, chama-se multiplicidade geométrica de à dimensão do espaço próprio associado E Obs 1 No exemplo anterior, o valor próprio = tem multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica e o valor próprio = 8 tem multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1 (o facto de os valores da multiplicidade algébrica e da geométrica serem o mesmo é pura coincidência)

9 1 CÁLCULO DE VALORES E VECTORES PRÓPRIOS 9 1 Propriedades Proposição 1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n 1 Se A for triangular, os valores próprios da A são os elementos da diagonal principal Se 1 ; ; ; ; n são n valores próprios reais de A (distintos ou não) então det(a) = 1 n Se A for invertível nenhum dos seus valores próprios pode ser nulo Teorema 1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n 1 Quaisquer dois vectores próprios associados a dois valores próprios distintos são linearmente independentes Mais geralmente Um sistema de k vectores próprios associados a valores próprios distintos é um sistema linearmente independente Dem Sejam 1 ; dois valores próprios distintos de A e u 1 ; u dois vectores próprios associados Consideremos uma combinação linear nula desses vectores 1 u 1 + u =! 0 ; 1 ; R Multiplicando ambos os membros pela matriz A; e usando a de nição de valor e vector próprio, obtemos 1 Au 1 + Au =! 0 () 1 1 u 1 + u =! 0 () 1 1 u 1 1 u 1 =! 0 () 1 ( 1 ) u 1 =! 0 Como 1 ; são distintos sai que 1 = 0 e, portanto, também = 0; o que prova que u 1 ; u são linearmente independentes Tomemos agora 1 ; ; três valores próprios de A; distintos, e u 1 ; u ; u vectores próprios respectivamente associados Pelo ponto 1, sabemos que u 1 ; u ; são linearmente independentes Vejamos agora que fu 1 ; u ; u g também constitui um sistema de vectores linearmente independente Consideremos uma combinação linear nula desses vectores 1 u 1 + u + u =! 0 1 ; ; R

10 10 CAPÍTULO 1 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Tal como em cima, multiplicando ambos os membros pela matriz A e usando a de nição de valor e vector próprio, obtemos 1 Au 1 + Au + Au =! 0 () 1 1 u 1 + u + u =! 0 () 1 1 u 1 + u + ( 1 u 1 u ) =! 0 () 1 ( 1 ) u 1 + ( ) u =! 0; Como u 1 ; u são linearmente independentes e 1 ; ; são distintos sai que 1 = 0 = e portanto, também = 0; o que prova que u 1 ; u e u são linearmente independentes E assim sucessivamente Repetindo as vezes necessárias este processo, isto é, juntando sempre mais um vector próprio correspondente a um valor próprio distinto dos anteriores, chegamos à conclusão que os k vectores considerados são linearmente independentes 1 Diagonalização de uma matriz 11 Matrizes semelhantes e matriz diagonalizável De nição 18 Dadas duas matrizes A e B, quadradas de ordem n, dizem-se semelhantes se existir uma matriz invertível P, de ordem n, tal que B = P 1 AP Proposição 19 Matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios Dem Como são válidas as igualdades seguintes det(b I) = det(p 1 AP I) = det(p 1 AP P 1 P ) = det(p 1 (AP P )) = det(p 1 (A I) P ) = det P 1 det (A I) det P = det (A I) ca provado que o polinómio característico de A e B coincidem, logo têm as mesmas raízes, isto é, A e B têm os mesmos valores próprios

11 1 DIAGONALIZAÇÃO DE UMA MATRIZ 11 Tem particular importância as matrizes semelhantes a uma matriz diagonal Por exemplo, sabe-se pela proposição anterior que os seus valores próprios serão os mesmos que os valores próprios da matriz diagonal e os desta são precisamemte os elementos da sua diagonal principal Mas poderemos constatar ainda mais propriedades Sistematizemos estes factos De nição 0 Uma matriz A diz-se diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal, isto é, se existir uma matriz invertível P, de orden n, tal que D = P 1 AP em que D é matriz diagonal À matriz P chama-se matriz de diagonalização Proposição 1 Se A for diagonalizável então 1 Os valores próprios de A são os elementos da diagonal principal da matriz diagonal D a que é semelhante a matriz A Sendo D a matriz diagonal a que é semelhante a matriz A e P a respectiva matriz de diagonalização, tem-se, qualquer que seja k N, Dem Vejamos os dois pontos A k = P 1 D k P 1 Resulta imeadiatamente da proposição anterior e do facto de os valores próprios de uma matriz diagonal serem precisamente os elementos da diagonal principal Como D = P 1 AP, o que é equivalente a A = P DP 1 ; tem-se A k = P DP 1 k = P DP 1 P DP 1 P DP 1 {z } k vezes = P D P 1 P D P 1 P D D P 1 P DP 1 = P D k P 1 ; o que prova o resultado Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n, A = [a ij ] Então A é diagonalizável sse existem n vectores próprios de A constituindo um sistema de vectores linearmente independentes Dem Condição necessária (i) Se A for diagonalizável então existe uma matriz P de ordem n invertível tal que P 1 AP = D ou, de forma equivalente AP = P D

12 1 CAPÍTULO 1 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Sejam P = w 1 w w n onde w 1 = w 11 w 1 w n1 ; w = w 1 w w n ; ; w n = w 1n w n w nn isto é P = w 11 w 1 w 1n w 1 w w n w n1 w n w nn Seja D = n Então AP = Aw 1 Aw Aw n e P D = 1 w 1 w n w n Logo, pela igualdade AP = P D; acima referida ; Aw 1 = 1 w 1 ; Aw = w ; ; Aw n = n w n

13 1 DIAGONALIZAÇÃO DE UMA MATRIZ 1 Destas igualdades, podemos então observar que (i) os vectores que constituem as colunas da matriz P, w 1 ; w, ; w n são os vectores próprios de A (ii) os elementos da diagonal principal da matriz diagonal D são os valores próprios de A Além disso, como P é invertível, (iii) {w 1 ; w ; ; w n g constitui um sistema de vectores linearmente independentes Condição su ciente Suponhamos que fw 1 ; w ; ; w n g constitui um sistema de vectores próprios de A linearmente independentes correspondendo respectivamente aos valores próprios 1 ; 1 ; ; n Consideremos as matrizes P = w 1 w w n em que, como anteriormente, w i = (w 1i ; w i ; ; w ni ); para cada 1 i n; e D = 0 0 n Então Aw1 Aw Aw n = 1 w 1 w n w n ; isto é, e, portanto, o que mostra que A é diagonizável AP = P D P 1 AP = D; Como consequência imedaita do teorema anterior temos o resultado seguinte Corolário Se os n valores próprios da matriz A forem distintos, isto é, cada valor próprio tiver multiplicidade algébrica igual a 1, então a matriz A é diagonalizável

14 1 CAPÍTULO 1 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR 1 Teorema espectral para matrizes simétricas Recordemos que uma matriz quadrada é simétrica se coincidir com a sua transposta, isto é, A = A > Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n simétrica Então 1 Todas as n raízes do polinómio característico de A são reais, isto é, os n valores próprios de A são reais Os vectores próprios associados a valores próprios distintos são ortogonais Dem 1 A demonstração sai fora do âmbito do curso Sejam u e v dois vectores próprios de A correspondentes a valores próprios distintos e ; respectivamente Então Au = u e Av = v Considerando os vectores transpostos u > e v > tem-se v > Au = v > u e u > Av = u > v Transpondo ambos os membros da primeira igualdade, obtemos v > Au > = v > u > e, como A é simétrica, Logo isto é u > Av = u > v u > v = u > v ( ) u > v = 0 Uma vez que =, então u > v = 0; isto é u e v são ortogonais O teorema seguinte antecipa um resultado extremamente importante em Álgebra Linear Recorda-se que uma matriz quadrada P é ortogonal se for invertível e P 1 = P >

15 1 DIAGONALIZAÇÃO DE UMA MATRIZ 1 Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n simétrica existe uma matriz ortogonal P tal que P 1 AP = 0 0 n Então Dem Apresentamos a demonstração no caso particular em que os valores próprios de A são todos distintos Neste caso, pelo teorema anterior, a matriz A é diagonalizável e possui n vectores próprios u 1 ; u ; ; u n ; correspondentes aos valores próprios 1 ; ; ; n ; ortogonais dois a dois Normalizando esses vectores, obtêm-se n vectores próprios ortogonais mas de norma 1, isto é, ortonormais v 1 = u 1 ku 1 k ; v = u ku k ; ; v n = u n ku n k Considerando a matriz de diagonalização P = [v 1 v v n ] basta ver que P 1 = P > e ca provado o resultado Obs A demonstração anterior induz que a matriz P pode ser tomada como ortonormal isto é ortogonal em que os vectores coluna têm norma 1 Tem-se o Teorema Espectral para matrizes simétricas Teorema Sejam A uma matriz quadrada de ordem n simétrica, v 1 ; v ; ; v n vectores próprios ortonormais correspondentes aos valores próprios 1 ; ; ; n Então a matriz A admite a seguinte decomposição espectral A = 1 v 1 v > 1 + v v > + + n v n v > n ; no sentido em que dado x R n ; x = (x 1 ; x 1 ; ; x n ) ou ainda Ax = 1 v 1 v > 1 + v v > + + n v n v > n x Ax = 1 v 1 (v 1 jx) + v (v jx) + + n v n (v n jx)

16 1 CAPÍTULO 1 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Dem Basta atender a que tomando a matriz de diagonalização ortonormal e a a matriz diagonal, respectivamente e P = v 1 v v n ; D = 0 0 n e aplicando A a x R n ; x = (x 1 ; x 1 ; ; x n ) ; Ax = P DP 1 x = P DP > x = > v1 v v n D v1 v v n = > 1 v 1 v n v n v1 v v n = 1 v 1 (v 1 jx) + v (v jx) + + n v n (v n jx) x 1 x x n x 1 x x n ou, na forma equivalente, = 1 v 1 v > 1 + v v > + + n v n v > n x

17 1 FORMAS QUADRÁTICAS EM R N 1 Obs 8 O conjunto dos valores próprios de uma matriz é designado por espectro da matriz Daí a designação de teorema espectral que mostra que uma matriz simétrica pode ser de nida através do seu espectro 1 Formas quadráticas em R n De nição 9 Uma forma quadrática em n variáveis é uma aplicação Q R n! R que se exprime numa base dada através de um polinómio homogéneo de grau Mais precisamente, sendo x = (x 1 ; x ; ; x n ) ; Q(x) = a 11 x 1 + a 1 x 1 x + + a 1n x 1 x n + +a 1 x x 1 + a x + + a n x x n isto é, +a n1 x n x 1 + a n x n x + + a nn x n; n Q(x) = X i=1 nx a ij x i x j Escrevendo b ij = a ij + a ji e tendo em conta que x i x j = x j x i ; o que conduz a (a ij x i x j + a ji x j x i ) = b ij x i x j ; obtém-se a expressão equivalente j=1 Q(x) = X ij b ij x i x j Exemplo 0 Vejamos os exmplos seguintes 1 Q(x; y) = x + 8xy + y é uma forma quadrática em R pois é um polinómio de duas variáveis homogéneo de grau Q(x; y; z) = x + 8xy + 1xz + 8y + yz + 0z é uma forma quadrática em R pois é um polinómio de três variáveis homogéneo de grau Q(x; y; z; w) = x + xy + 1xz 10xw + 8y 1yw + 0z + zw + w é uma forma quadrática em R pois é um polinómio de quatro variáveis homogéneo de grau

18 18 CAPÍTULO 1 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Toda a forma quadrática pode ser escrita em forma matricial do seguinte modo Q(x) = X > AX = = x 1 x x n a 11 a 1 a 1n a 1 a a n x 1 x ; a n1 a n a nn x n o que mostra que a cada forma quadrática Q em R n está sempre associada uma matriz quadrada de ordem n Reciprocamente, dada uma matriz quadrada A de ordem n; podemos sempre associar-lhe uma forma quadrática Q A em R n, isto é, um polinómio homogéneo de grau ; através do produto de matrizes Q A (x) = X > AX Por exemplo, no caso das formas quadráticas apresentadas em cima, temos as formas matriciais 1 Q(x; y) = x y x y x Q(x; y; z) = x y z 8 y 1 0 z x Q(x; y; z; w) = x y z w 8 0 y z 1 w É óbvio que, se inicialmente tivessem sido dadas as matrizes quadradas, poderíamos reconstituir as formas quadráticas que lhes estão associadas Claramente se observa que dada uma matriz A a forma quadrática Q A que lhe correponde é única Será que o recíproco é válido? Isto é, dada uma forma quadrática Q ela admite uma forma matricial única? A resposta

19 1 FORMAS QUADRÁTICAS EM R N 19 é negativa Com efeito a uma forma quadrática podem ser associadas inúmeras matrizes, o que pode ser enunciado de forma equivalente, dizendo que matrizes diferentes podem gerar a mesma forma quadrática Tomemos as matrizes 9 A = ; B = e C = 1 e determinemos as formas quadráticas que lhes estão respectivamente associadas Q A (x; y) = x y Q B (x; y) = x y Q C (x; y) = x y Constatamos que x = x + 8xy + y y 9 x = x + 8xy + y 1 y x = x + 8xy + y y Q A (x; y) = Q B (x; y) = Q C (x; y); isto é, as três matrizes dadas estão associadas à mesma forma quadrática (já referida no exemplo anterior) Observamos, contudo, que a matriz C é simétrica e este tipo de acontecimento tem grande relevância como mostra o teorema seguinte Teorema 1 A toda a forma quadrática Q R n! R Q (x) = X ij b ij x i x j está associada uma e uma só matriz simétrica A = (a ij ) Essa matriz é de nida por a ii = b ii e a ij = a ji = b ij, para i < j A relação entre a forma quadrática e a matriz é dada pela equação X b ij x i x j = X > AX ij

20 0 CAPÍTULO 1 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR Teorema Toda a forma quadrática Q R n! R é diagonalizável De nição Uma forma quadrática Q R n! R diz-se - de nida positiva (DP) se Q (x) > 0; 8x R n ; x = 0 - semide nida positiva (SDP) se Q (x) 0; 8x R n - de nida negativa (DN) se Q (x) < 0; 8x R n ; x = 0 - semide nida negativa (SDN) se Q (x) 0; 8x R n - inde nida (IND) se 9x; y R n Q (x) > 0 ^ Q (y) < 0 De forma correspondente, uma matriz simétrica A diz-se - de nida positiva (DP) se X > AX > 0; 8X = 0 8 < X > AX 0; 8X; - semide nida positiva (SDP) se 9Y = 0; X > AY = 0 - de nida negativa (DN) se X > AX < 0; 8X = 0 8 < X > AX 0; 8X - semide nida negativa (SDN) se 9Y = 0; X > AY = 0 8 < 9X; com X > AX < 0 - inde nida (IND) se 9Y com X > AY > 0 Proposição Seja A uma matriz simétrica Então, usando as abreviaturas introduzidas na de nição anterior relativamente á classi cação de

21 1 FORMAS QUADRÁTICAS EM R N 1 matrizes simétricas, tem-se A é DP, todos os valores próprios i > 0 A é SDP, um valor próprio i = 0 e os outros 0 A é DN, todos os valores próprios i < 0 A é SDN, um valor próprio i = 0 e os outros 0 A é IND, um valor próprio < 0 e outro > 0 De nição Uma submatriz principal B de A é uma submatriz obtida suprimindo certas linhas de A bem como as colunas com o mesmo índice Uma submatriz principal primária B de A é uma submatriz principal obtida suprimindo as r últimas linhas e as r últimas colunas de A, para um inteiro r compreendido entre 0 e n 1 Proposição Se uma submatriz principal B de uma matriz simétrica A possuir pelo menos k valores próprios 0 (respectivamente > 0; < 0; 0), então passa-se o mesmo para A De nição Chamamos menores principais primários aos determinantes das matrizes principais primárias Teorema 8 Seja A uma matriz simétrica de ordem n Então 1 A é DP se e só se todos os menores principais primários são > 0 A é DN se e só se os menores principais primários de ordem ímpar são < 0 e de ordem par são > 0