Instituto Superior Técnico - Álgebra Linear - 1 o Semestre 2016/2017 LEIC-A 5 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas

Transcrição

1 Instituto Superior Técnico - Álgebra Linear - o Semestre 0/0 LEIC-A a Ficha de exercícios para as aulas de problemas Classi que quanto à paridade as seguintes permutações de números de a : () () () (iv) () (v) () (vi) () (vii) () (viii) () Na expressão do determinante de uma matriz do tipo diga qual o sinal que afecta cada uma das seguintes parcelas: a a a a a a a a a a a a a a a a a a (iv) a a a a a a Veri que que 0 0 a 0 a a a a a = a a a det 0 0 a n 0 a n a n n a n a nn a 0 0 a a 0 a a a a a a a = ( n )n a n :::a n a n = a a a a Calcule os seguintes determinantes e diga quais são as matrizes invertíveis: p p + p p (iv) cos sen 0 sen cos (v) 0 (vi) (vii) (viii) (ix) (x) (xi) (xii) (xiii) a b (xiv) b a (xv) (xvi) 0 b a b a b a

2 (xvii) (xx) (xviii) (xxi) Veri que que a matriz a e 0 b f 0 c g 0 d h 0 não é invertível para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h R p 0 9 (xix) n n n n (xxii) Diga, para que valores de a; b; c; d; e; f; g; h; i; j R, é invertível a seguinte matriz 0 a f 0 b g 0 c h 0 d i 0 e j 0 Determine todos os valores do escalar para os quais a matriz A I é não invertível, onde A é dada por: (iv) Indique três matrizes A do tipo tais que tr A = = det A nn 8 Seja A = ; com R

3 a) Diga, justi cando, quais são os valores de para os quais A é invertível b) Seja n N Calcule det (A 0 ) n + (A 0 ) n+ c) Considerando os valores de para os quais A é invertível, calcule a entrada (; ) da matriz inversa de A 9 Use a fórmula de inversão de matrizes para inverter: Seja A = : Justi que que A é invertível e calcule a entrada (; ) de A Sejam A uma matriz invertível e B = : Calcule, justi cando, det B T ABA B T Determine a matriz A do tipo tal que 0 I A = A det 0 : A = Diga, justi cando, se a matriz: : A T A + A det A A é invertível Seja A = Calcule det A A T det (A ) : Calcule os valores de a para os quais det 0 a a 0 = :

4 Seja A = Seja A = 8 Sejam A = Calcule det (A + A ) : Calcule det (A A ) : e B = AXB B = AX det A T A Determine a matriz X tal que 9 Sejam A = B = Justi que que A e B são invertíveis e determine as entradas (; ) de A e (; ) de B Veri que que det (A + B) = det A + det B e det (A B) = det A det B 0 Use a regra de Cramer para calcular as soluções dos sistemas: 8 < x + y = x + y = x + z = x + y = : x + y + z = Sejam C = 0 0 e D = Veri que que C e D são invertíveis e calcule: det (C ) det C (C) det C T C (iv) det C T C (v) det (C + D) (vi) det C T D D T C Sugestão: Sejam m N, escalar, A; B e S matrizes n n com S invertível, tem-se (a) det (AB) = (det A) (det B) (b) det (B) = n det B

5 (c) det A T = det A (d) det (A ) = det A (e) (B) T = B T (f) S m = (S ) m Sejam A e B matrizes tais que det A = p e det B = Calcule det(at B ) a Sejam a; b; c R Seja B = b : Sabendo que det B =, calcule: c a a + b b + b c c + c c det BT B a b 0 c Sejam a; b; c; d; e; f R Sabendo que d e 0 f g h 0 i = ; calcule: x y z d e f g h i d e f g h i a + d b + e c + f d e f g h i i h g (iv) f c e b d a c b a a g d (v) b h e c i f Sejam a; b; c R Sabendo que 0 = ; calcule: 0 a + b + c a + b + c +

6 (iv) a b c 0 a + b + c + Sejam ; R Sabendo que Seja R Veri que que + = ; calcule = 8 Seja R Calcule o determinante da seguinte matriz do tipo n n Sejam = 0 e A = (a ij ) nn Mostre que det A = det i j a ij 0 Que condições devem os parâmetros reais a; b e c veri car para que a matriz seja invertível? a a b b c c Veri que que det x y y = (y x ) (y x ) x x y (x ) (x ) x det (x ) (x ) x (x ) (x ) x = (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x ) (x ) x Mostre que: b + c c + a b + a = 0

7 b + c b + c b + c c + a c + a c + a a + b a + b a + b = a b c a b c a b c a + b a b c a + b a b c a + b a b c = a b c a b c a b c a b a + b + c (iv) a b a + b + c a b a + b + c = a b c a b c a b c Veri que que a + b c + d a + b c + d = a c a c + a c b d + b d a c + b d b d : Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que para x = 0 e x = se tem x x 0 0 = 0 Sem calcular o determinante, diga qual o coe ciente de x na expressão x x x x 9 8 x Resolva as seguintes equações x x x x x x 0 0 = 0 x x x x x x = 0 x x = 0 x x x x Sabendo que ; e 8 são múltiplos de, justi que que 8 é também múltiplo de, sem calcular o determinante 8 8 Sem calcular o determinante, veri que que 0 0 é múltiplo de 9 Seja A = (a ij ) nn com n ímpar e tal que a ij + a ji = 0, para todos os i; j = ; :::; n: Mostre que A não é invertível Isto é, toda a matriz anti-simétrica de ordem ímpar não é invertível 0 Mostre que se uma matriz fôr ortogonal então o seu determinante ou é ou é E se a matriz fôr unitária? Seja A uma matriz real do tipo Calcule, justi cando, det A T A :