ic Mestrado Integrado em Bioengenharia

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1 ic Mestrado Integrado em Bioengenharia MATEMÁTICA I º Teste de Avaliação Álgebra Linear e Geometria Analítica Justifique convenientemente todos os cálculos que efetuar. O teste tem a duração de h, mais 0m de tolerância. Não pode usar tabelas nem máquinas de calcular gráficas. Não é permitida a saída da sala, nem o uso de telemóveis, durante a realização da prova. 1. Considere o seguinte conjunto de vetores de U = R {( 1,0,1 ), ( 1,1, ), ( 0,1, )} a) Verifique se os vetores de U são, ou não, linearmente independentes. b) Obtenha o subespaço de R gerado por U. c) Construa uma base de R contendo dois vetores de U. Justifique a sua resposta.. Considere o seguinte subconjunto de R {(,y,z) R y z} S = : = = a) Verifique que é subespaço vetorial de R. b) Determine uma base de S e conclua sobre a sua dimensão.. Considere as matrizes A = B = a) Verifique qual das matrizes, A ou B, é não singular e calcule, pela matriz adjunta, a respetiva matriz inversa. v.s.f.f.

2 b) Sendo M uma matriz de dimensão, não singular, tal que ( ) 1 1 T 1 A M A = A M A obtenha o determinante de M, utilizando as propriedades dos determinantes. Descreva sucintamente as propriedades utilizadas. 4. Considere a matriz C = a) Usando as operações de condensação de matrizes, transforme a matriz C numa matriz triangular superior. b) Determine, justificando, a característica da matriz C. 5. Considere o sistema + y + a z + u = 0 + y + a u = 1 + 4y + z + 5u = b a) Analise os valores de a R e de b R para os quais o sistema é possível. b) Para a = 1 obtenha, pelo método de eliminação de Gauss, as soluções do sistema em função do valor de b. Classifique o sistema quanto ao tipo de soluções obtidas. 6. Considere a matriz 1 1 D = 1 Determine os valores e vetores próprios de D. 7. Considere uma matriz A, de dimensão nn, ortogonal. Demonstre que os vetores, de formados pelas colunas de A, têm comprimento unitário. n R, Cotação prevista: 1. a) 1,5 b) 1,5 c) 1 ;. a) 1,5 b) 1,5 ; a) b) 1,5 ; 4 a) 1,5 b) 1 ; 5 a) 1,5 b) 1 ; 6. 7.,5. Teresa Arede

3 ic Mestrado Integrado em Bioengenharia MATEMÁTICA I º Teste Justifique convenientemente todos os cálculos que efetuar. O teste tem a duração de h0m, com 0m de tolerância. Não pode usar tabelas ou qualquer outro formulário, nem máquinas de calcular gráficas. Não é permitida a saída da sala, nem o uso de telemóveis, durante a realização da prova.!!!!!! 1. Considere u e v dois vetores de R, tais que u = v = e u e v são ortogonais.!! v a) Usando as propriedades do produto interno calcule o valor de u -.!! b) Identifique o vetor u v, indicando a sua direção, sentido e comprimento. Justifique as suas conclusões.. Considere a função f ( ) = e 1+ para > 1 a) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da função f ( ), bem como os seus etremos relativos ou absolutos. b) Obtenha pela regra de l Hôpital o seguinte limite e lim + 1+ c) Esboce o gráfico da função f ( ), indicando o sinal da concavidade e os pontos de infleão caso eistam. 1. Considere a função F() t = 1 t + t no domínio t 0. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da taa de variação de ( ) como os respetivos etremos relativos ou absolutos, no domínio indicado. F t, bem v.s.f.f.

4 4. Calcule as seguintes primitivas indicando o método utilizado sen cos d b) a) ( + ) + 1 d 4 c) ( ) ( ) 1. ln 1 d 5. Considere a região, do plano Oy, limitada pelos gráficos das funções 1 y = e y = 1 para,. Esboce essa região e calcule a sua área através dum integral definido. 6. Utilizando o 1º Teorema Fundamental do Cálculo obtenha uma função h( ) que verifique a igualdade t h() t dt = + ( t + h() t ) dt para. 7. Considere uma função, f ( ), definida, limitada e integrável no intervalo [ a,b ]. Demonstre que a função onde c, [ a,b], é contínua em [ a,b ]. A( ) = f ( t) dt c Cotação prevista: 1. a) 1,5 b) 1,5;. a) 1,5 b) 1,0 c) 1,5;.,0; 4. a) 1,5 b),0; c),0; 5.,0; 6. 1,5; 7.,0. Teresa Arede

5 ic Mestrado Integrado em Bioengenharia MATEMÁTICA I EXAME Justifique convenientemente todos os cálculos que efetuar. O teste tem a duração de h0m, com 0m de tolerância. Não pode usar tabelas ou qualquer outro formulário, nem máquinas de calcular gráficas. Não é permitida a saída da sala, nem o uso de telemóveis, durante a realização da prova. 1. Considere o seguinte conjunto de vetores de R {(, 1, ), ( 0,,1 ), (, 7,0) } U = a) Verifique se os vetores de U são, ou não, linearmente independentes. b) Obtenha o subespaço de subespaço. Justifique as suas conclusões. R gerado por U, e indique uma base e a dimensão desse. Considere a matriz onde a R. 1 a A = a a) Determine os valores de a para os quais a matriz é não singular. b) Para o valor a=0 obtenha a matriz inversa de A, 1 A, através da matriz adjunta. y z c) Para a=1 considere o sistema AX =B, onde X [ ] T e [ ] T = B = Classifique-o quanto ao tipo de soluções e resolva o, em seguida, pela condensação da matriz aumentada.. Considere a matriz C 1 = 0 a) Determine os seus valores e vetores próprios. b) Obtenha os valores próprios de C. Justifique as suas conclusões. v.s.f.f.

6 !!!!!! 4. Considere u e v dois vetores de R, tais que u = v = e u e v são ortogonais.!! Identifique o vetor u v, indicando a sua direção, sentido e comprimento. Justifique as suas conclusões. 5. Considere a função f ( ) = e 1+ para > 1 a) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da função f ( ), bem como os seus etremos relativos ou absolutos. b) Obtenha pela regra de l Hôpital o seguinte limite e lim + 1+ c) Esboce o gráfico da função f ( ), indicando o sinal da concavidade e os pontos de infleão caso eistam. 6. Calcule as seguintes primitivas indicando o método utilizado a) sen ( cos ) + d b) ( ) ( ) 1. ln 1 d 7. Considere a região, do plano Oy, limitada pelos gráficos das funções 1 y = e y = 1 para,. Esboce essa região e calcule a sua área através dum integral definido. 8. Utilizando o 1º Teorema Fundamental do Cálculo obtenha uma função h( ) que verifique a igualdade t h() t dt = + ( t + h() t ) dt para. Cotação prevista: 1. a) 1,5 b) 1,5;. a) 1,0 b) 1,5 c) 1,5;. a) 1,5 b) 1,0; 4. 1,5; 5. a) 1,0 b) 1,0 c) 1,5; 6. a) 1,0 b) 1,5; 7. 1,5; 8. 1,5. Teresa Arede

7 ic Mestrado Integrado em Bioengenharia MATEMÁTICA I EXAME DE RECURSO Justifique convenientemente todos os cálculos que efetuar. O teste tem a duração de h0m, com 0m de tolerância. Não pode usar tabelas ou qualquer outro formulário, nem máquinas de calcular gráficas. Não é permitida a saída da sala, nem o uso de telemóveis, durante a realização da prova. 1. Considere o seguinte conjunto de vetores de 1 1 U =, 1,1, 4,,, 1,,. R : ( ) ( ) a) Verifique se os vetores de U são, ou não, linearmente independentes, justificando convenientemente. b) Obtenha o subespaço de R gerado por U, e indique uma base e a dimensão desse subespaço. Justifique as suas conclusões.. Considere a matriz 1 0 A = a) Verifique que a submatriz de A 1 0 A = é invertível e determine a sua inversa pela matriz adjunta. b) Determine a característica de A. Justifique a sua resposta. c) Sendo X = [ y z w] T e = [ 1 1 1] T B considere o sistema de equações AX = B. Classifique - o quanto ao tipo de soluções e resolva-o, pelo método de Gauss-Jordan.. 0 a) Considere a matriz C = 1 5. Determine os seus valores e vetores próprios. b) Suponha que M é uma matriz quadrada, de dimensão n n. Demonstre que M e os mesmos valores próprios. T M têm v.s.s.f.

8 ! 4. Sejam u = ( 1,, ) e = ( 1,1,0 )! v dois vetores em independentes. Construa uma base direta, de conclusões. R, escritos na base canónica e linearmente R, que inclua esses vetores. Justifique as suas 5. Considere a função 1 + e f ( ) =, 0 1 e a) Determine os seus intervalos de crescimento e decrescimento e os seus etremos relativos e absolutos, caso eistam. b) Calcule lim f ( ) e lim f ( ) +, utilizando, sempre que possível, a regra de l Hôpital. c) Esboce o gráfico da função f ( ), determinando o sinal da concavidade e os pontos de infleão, caso eistam. 6. Utilizando técnicas adequadas, calcule as seguintes primitivas a) e d b) + 1 ( 1) d 7. Considere a região do plano Oy, limitada pelos gráficos de y = + 1 e de y =. Faça um esboço dessa região e determine a sua área através de um integral definido. 8. Supondo que Pf ( ) é uma primitiva da função f ( ) demonstre que b a f d P f b P f a ( ) = ( ) ( ) Cotação prevista: 1. a) 1,0 b) 1,5;. a),0 b) 1,0 c) 1,5;. a) 1,5 b) 1,0; 4. 1,0; 5. a) 1,0 b) 1,0 c) 1,5; 6. a) 1,5 b) 1,5; 7. 1,5; 8. 1,5. M. Teresa Arede