1 a LISTA DE EXERCÍCIOS Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Álgebra Linear - 1 o Semestre /2018 Engenharia Aeroespacial

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1 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Álgebra Linear - 1 o Semestre - 217/218 Engenharia Aeroespacial Problema 1 Calcule A 2 2B + I, ( ( 2 1 onde A =, B =, e I é a matriz identidade Problema 2 Encontre o valor de q, sabendo que Problema 3 Sejam A = ( ( q 4 b Calcule o produto AB ( 1 x b Determine x, sabendo que C = = ( 2 28 ( e B = x 2 e que 2AB = C Problema 4 Sejam A uma matriz 4 5, B uma matriz 4 5, C uma matriz 5 2, D uma matriz 4 2 e E uma matriz 5 4 Determine quais das seguintes expressões matriciais estão bem definidas, e nesses casos, indique a dimensão da matriz resultante a (A T + ED b E T (A + B 2 c (A T + E(A T + E T Problema 5 Obtenha uma fórmula para A n, onde A é a seguinte matriz: ( ( cos α sin α a b 1 sin α cos α

2 Problema 6 Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem Diga se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira ou falsa No caso de ser verdadeira, diga porquê No caso de ser falsa, indique um contra-exemplo a Se AB = O, então tem-se necessariamente A = O ou B = O b (AB 2 = A 2 B 2 c (A + B 2 = A 2 + 2AB + B 2 d (A + B 2 = (A + B(B + A e Se a primeira e a terceira colunas de B são iguais, o mesmo acontece com a primeira e a terceira colunas de AB f Se a primeira e a terceira linhas de B são iguais, o mesmo acontece com a primeira e a terceira linhas de AB ( a b Problema 7 Seja A = uma matriz 2 2 c d Suponha que A comuta com qualquer matriz 2 2, isto é, dada qualquer matriz M, 2 2, temos que AM = MA Mostre que a = d e que b = c =, pelo que A é um múltiplo da matriz identidade Sugestão: Se A comuta com qualquer matriz 2 2, então, em particular, ( ( ( a b 1 A = comuta com e com c d Problema 8 Considere as matrizes A = que a multiplicação de A por X, ( ( 2 3 x AX = 4 5 define uma função = ( T : R 2 ( R 2 x X = AX = ou usando a notação mais comum, ( 2x + 3 4x + 5 e X =, ( 2x + 3 4x + 5, ( x Observe

3 T : R 2 R 2 (x, ( 2x + 3, 4x + 5 a Encontre a função T : R 2 R 2 definida como acima por AX, no caso em que ( ( 2 1 x A = e X = b Considere a função T : R 2 R 2, que roda qualquer vector (x, do plano, de 9 o no sentido positivo (anti-horário, isto é, T : R 2 R 2 (x, (, x Encontre uma matriz A, 2 2, tal que T (X = AX, onde X = ( x Dizemos que A é uma matriz rotação, e também dizemos (por abuso de linguagem que A roda os vectores do plano de 9 o no sentido positivo c Encontre uma matriz 2 2 que roda qualquer vector do plano de 18 o d Considere a função T : R 2 R 2, que faz a reflexão, em relação ao eixo dos xx, de qualquer vector (x, do plano, isto é, T : R 2 R 2 (x, (x, Encontre uma matriz A, 2 2, tal que T (X = AX, onde X = ( x e Considere a função T : R 2 R 2, que faz a projecção no eixo dos de qualquer vector (x, do plano, isto é, T : R 2 R 2 (x, (, Encontre uma matriz A, 2 2, tal que T (X = AX, onde X = ( x

4 f E se primeiro quisermos reflectir um vector (x, do plano, em relação ao eixo dos xx, e depois projectá-lo no eixo dos, qual será a matriz A correspondente à função T (X = AX? Problema 9 a Encontre uma função T : R 3 R 2 definida como no problema 8 por AX, no caso em que ( x A = é uma matriz 2 3 e X = R z b Mostre que qualquer que seja a matriz A, m n, então a respectiva função T : R n R m definida por T (X = AX, X R n, satisfaz as duas propriedades seguintes: i T (X + X = T (X + T (X, X, X R n ii T (rx = rt (X, X R n, r R Problema 1 Considere que o IST, no ano lectivo de 215/216, começa uma nova licenciatura, com numerus clausus de 1 alunos por ano, e duração de três anos Considere que, em cada ano lectivo, 8% dos estudantes transitam de ano (ou terminam, caso estejam no 3 a ano, e 2% chumbam e ficam no mesmo ano Representemos por um vector estado, X k = x 1k x 2k x 3k os alunos que frequentam a licenciatura no ano lectivo k, divididos por ano escolar (assim, por exemplo, o número x 2k representa o número de alunos que frequentam o segundo ano no ano lectivo k,

5 Tomemos k = para representar o ano lectivo 215/216, em que a licenciatura arranca Temos 1 X = a Encontre uma matriz A, 3 3, tal que, X k+1 = X + AX k (isto é, somando os alunos novos ao resultado de multiplicar A pelo vector estado de um determinado ano lectivo, obtemos o vector estado do ano lectivo seguinte b Escreva a fórmula da alínea anterior, que permite obter o vector estado para um determinado ano lectivo n, mas sem ser por recorrência, ou seja, uma fórmula em função de X e das potências de A c Em Julho de 219, quantos alunos têm o diploma desta nova licenciatura? Problema 11 Uma matriz A diz-se simétrica se A T = A, e diz-se antisimétrica se A T = A a Verifique que se A é simétrica ou anti-simétrica, então A é quadrada b Escreva a forma geral de uma matriz simétrica c Mostre que numa matriz anti-simétrica, os elementos da diagonal principal são todos nulos d Mostre que a matriz AA T é simétrica, qualquer que seja a matriz A e Se A e B são simétricas, então AB também o é? E AB T? f Existirão ao mesmo tempo matrizes simétricas e anti-simétricas? Se sim, diga quais Problema 12 Determine a matriz simétrica A tal que a X T AX = x 2 + 2x + 2, ( x X = b X T AX = 5x 2 + 6x + 7 2, ( x X =

6 Problema 13 Quais das seguintes matrizes estão na forma de escada por linhas? Indique as respectivas características a 1 b 1 c d Problema 14 Identifique as equações que são lineares nas respectivas variáveis: a x x 2 5x 3 = 1 b 5x + x z = c u = πv w 3z d x z = Problema 15 O cão do Gonçalo, o Austin, foi ao veterinário, e a partir de hoje, tem uma dieta nova, que é uma mistura de três tipos de rações: a ração A, a B e a C O veterinário quer que esta nova dieta do Austin tenha, por dia, 3 unidades de cálcio, 45 unidades de ferro e 4 unidades de potássio Na tabela seguinte encontra o número de unidades de cálcio, de ferro, e de potássio contidas em cada medida da ração A, da B, e da C Tipo de ração cálcio ferro potássio A B C Indique qual é o sistema de equações lineares que deve resolver, para descobrir quantas medidas da ração A, quantas medidas da ração B, e quantas medidas da ração C é que o Gonçalo deve dar ao Austin por dia

7 a c Problema 16 Resolva cada um dos sistemas de equações lineares, utilizando o Método de Eliminação de Gauss 2x + + 3z = x + 2 = + z = ( a b b + c = 3d + c 2a 4d ( b { 3x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5x 1 x 2 + x 3 x 4 = 1 a c Problema 17 Faça a discussão de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares nas variáveis x,, z em função dos respectivos parâmetros 2x = 3 az = x 5 5z = b 2z = c + 4z = d 4x + 5 2z = 2 b d αx + βz = 2 αx + α + 4z = 4 α + 2z = β x + + z = 4 z = 2 (a 2 4z = a 2 Problema 18 Sejam A, B, e C matrizes quadradas da mesma ordem Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa Se for verdadeira, diga porquê, e se for falsa, dê um contra-exemplo a Se A e B são invertíveis, então A + B também é b Se A, B, e A + B são invertíveis, então (A + B 1 = A 1 + B 1 c Se AB = AC, e A tem inversa, então B = C d Se A tem inversa, então A 2 também tem e Se A e B são invertíveis, então AB também é, e (AB 1 = B 1 A 1 f Se A é invertível, então A T também é, e (A T 1 = (A 1 T g Se A é simétrica e invertível, então A 1 também o é h Se A tem os elementos da diagonal principal todos iguais a 1, então A é invertível

8 i Não existe nenhuma matriz A, 2 2, diferente da identidade, que seja auto-inversa, isto é, tal que A = A 1 Problema 19 Considere as matrizes A = ( 2 3 e S = ( a Calcule S 1 b Calcule B = SAS 1 ( 2 c Mostre que A 1 1 = 3 1 d Calcule B 1 (Não tente multiplicar B por B por B1 vezes! Problema 2 Considere a seguinte matriz: A = a Encontre matrizes elementares tais que E k E 1 A = I b Escreva A 1 como um produto de k matrizes elementares c Escreva A como um produto de k matrizes Problema 21 Considere a matriz A = Encontre uma expressão para A na forma A = E 1 E k R, onde as matrizes E j, j = 1,, k são matrizes elementares e R uma matriz em escada de linhas

9 Problema 22 Seja B uma matriz n n, e seja B 1 a sua inversa, que se admite existir Descreva, em termos de B 1, as inversas das seguintes matrizes C, caso existam: a C = 2B b C é obtida de B trocando as duas primeiras linhas de B c C é obtida de B multiplicando a primeira linha de B por 2 d C é obtida de B substituindo a primeira linha de B pela sua soma com a segunda linha Problema 23 Em cada alínea, use a informação dada para calcular a matriz A ( ( a A 1 = b (7A = 1 2 c (5A T 1 = ( d (I + 2A 1 = ( Problema 24 Utilizando o Método de Gauss-Jordan, calcule, sempre que existir, a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes ( ( a b c d ( cos α sin α sin α cos α