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Branca Flor Castelo de Paiva
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1 MATRIZES PARTE II. Matriz dos Cofatores Dada uma matriz A, a cada elemento aij de A está associado um cofator Cij. Definição: Chama-se matriz dos cofatores de A, e denota-se por A,a matriz A = [C ij ]. 2 0 Exemplo : Seja A = 4). Vamos obter a matriz dos cofatores A. C = ) = C 2 = ) = C = ) +. 6 = C 2 = ) = C 22 = ) = 0 C 2 = ) = C = ) = 4 C 2 = ) = 8 C = ) +. 2 = 5 A = 0 ) Matriz Adjunta Definição: Dada uma matriz quadrada A, chama-se matriz adjunta de A à transposta da matriz dos cofatores de A, isto é, adja) = A ) T. Exemplo 2: Seja a matriz A do exemplo. Então, temos que a adjunta de Aé T 4 adja) = 0 ) = 0 8) Operações Elementares com Matrizes Operações elementares com matrizes, são operações que mantém tanto a ordem da matriz quanto a sua característica. A seguir apresentamos os tipos de operações elementares de linhas de uma matriz, representadas por e.

2 Permutação da i-ésima linha com a j-ésima linha; e : L i L j Multiplicação da i-ésima linha por um escalar r não nulo; e 2 : L i rl i Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais um múltiplo da j-ésima linha. e : L i L i + rl j 2 0 Exemplo : Seja A = 4). Vamos realizar algumas operações elementares de linhas dessa matriz. Permutar a ª linha com a ª linha: e : L L e A) = 4) 2 0 Multiplicar a 2ª linha, da nova matriz, por -/): e 2 : L 2 ) L 2 e 2 A) = / 4/) 2 0 Adicionar o -2L à ª linha, da nova matriz: e : L 2L + L e A) = / 4/) 0 0 Adicionar o -L à 2ª linha, da nova matriz: e : L 2 L + L 2 e A) = 0 / /) 0 0 Multiplicar a 2ª linha, da nova matriz, por -/): e 2 : L 2 ) L 2 e 2 A) = 0 ) 0 0 Adicionar o -6L2 à ª linha e L2 à ª linha, da nova matriz: e : L 6L 2 + L e : L L 2 + L 0 e A) = 0 ) 0 0

3 Adicionar o L à ª linha e -L à 2ª linha, da nova matriz: e : L L + L e : L 2 L + L 2.4 Matrizes Equivalentes 0 0 e A) = 0 0) 0 0 Definição: Dada uma matriz A, chama-se matriz elementar E) à matriz resultante da aplicação de uma única operação elementar de linhas ou colunas) à matriz identidade. Exemplo 4: No exemplo anterior, realizamos algumas operações elementares de linhas na matriz A. Vejamos como seriam representadas três dessas operações por meio de matrizes elementares E): Permutar a ª linha com a ª linha: e : L L 0 0 E = 0 0) 0 0 Multiplicar a 2ª linha por -/): e 2 : L 2 ) L E 2 = 0 / 0) 0 0 Adicionar o -6L2 à ª linha: e : L 6L 2 + L 6 0 E = 0 0) 0 0 Teorema: Dada uma matriz A, de ordem m x n. A matriz B resultante da aplicação de uma única operação elementar com as linhas da matriz A, é a mesma matriz C resultante da multiplicação pela esquerda da matriz A pela matriz elementar E, de ordem n x m, correspondente à operação elementar efetuada com as linhas de A, isto é, C = EA. Exemplo 5: Considere a matriz A do exemplo e a primeira operação elementar realizada permutação da 2ª linha com a ª linha). Temos que: A = 4) E = 0 0) C = E A = 4) Ou seja, o produto das matrizes, dá o mesmo resultado que a operação de permutação de linhas realizada anteriormente.

4 Teorema: Sejam A e B matrizes de ordem m x n. Então, a matriz D é linha equivalente à matriz A se, e somente se, D = PA, com P = E r E 2 E, onde cada matriz E i é uma matriz elementar de linha de ordem m x m. Exemplo 6: As matrizes A e C do exemplo 5 são linha equivalentes. Teorema: Seja A uma matriz de ordem n x n. Então, as seguintes afirmações são equivalentes: a) A é invertível; b) A é linha equivalente à matriz identidade; c) A é um produto de matrizes elementares de linha..5 Matrizes Inversas.5. Método Prático Escalonamento) Sabendo que uma matriz A é linha equivalente à matriz identidade I) e que I = AA -, podemos obter a inversa de A, se existir, por meio do produto das k matrizes elementares usadas para transformar A em I da seguinte forma: A = E k E 2 E. Método prático: Seja A uma matriz de ordem n x n. Se A é não-singular então, A existe e pode ser obtida da seguinte forma: Etapa : Escreva a matriz aumentada M = [A I]; Etapa 2: Realize as operações elementares de linhas em M até obter [I P]; Etapa : Escreva A - = P. Exemplo 7: Considere a matriz A e as operações elementares realizadas no exemplo para obter a matriz identidade. Vamos determinar A -, pelo método prático: M = A I) = ) ~ 4 0 0) ~ 4 0 0) ~ ~ 0 0 ) ~ 0 0 ) ~ ~ 0 0 ) ~ ~ ) = I A ) 0 6 ) ~

5 .5.2 Método da Adjunta Método da Adjunta: Seja A uma matriz de ordem n x n. Se A é não-singular então, A existe e pode ser obtida da seguinte forma: Etapa : Calcule deta); Etapa 2: Obtenha adja); Etapa : Faça A = A adja). Exemplo 8: Considere a matriz A e adja) dos exemplos e 2. Vamos obter A - pelo método da adjunta. 4 deta) = - adja) = 0 8) 5 4 A = 0 8) = )

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