LISTA DE EXERCÍCIOS 2017

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1 CURSO LISTA DE EXERCÍCIOS 2017 DISCIPLINA ESTUDANTE PROFESSOR (A) DATA Questão 1) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir. Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por

2 e) Questão 2) Certo concurso é constituído por 3 etapas prova escrita, prova prática e entrevista. Cada etapa tem, respectivamente, pesos 3, 5 e 2, que podem ser representados pela matriz P = [3 5 2]. A matriz N apresenta as notas dos candidatos em cada etapa. A nota final dos candidatos é dada por N P. P t N. P N t. N P t. e) (N P) t. Questão 3) Sendo A = (aij)2 2, tal que aij = 3i + j e determine a matriz C, tal que C + B = A. e)

3 Questão 4) Determine o valor de x para que a igualdade seja verdadeira. x = 2 x = 1 x = 0 x = 1 e) x = 2 Questão 5) Considere a matriz A = Então, a matriz A 2016 é: e) Questão 6) Dadas as matrizes abaixo, calcule o valor de e) -26 Questão 7) Dada a igualdade abaixo, calcule a diferença entre a soma das raízes de x e y pelo produto dessas raízes

4 e) 60 Questão 8) Determine o valor de sabendo que: e) 4 Questão 9) Determine o valor de x - y, dada a expressão abaixo: e) 5 Questão 10) Dada a matriz calcule A 4 e, em seguida, some todos os seus termos: e) 32 Questão 11) Dadas as matrizes produto calcule o e) Questão 12) Calcule o resultado da expressão abaixo: e) 4 370

5 Questão 13) (Fgv 2017) Uma matriz A de ordem 2 transmite uma palavra de 4 letras em que cada elemento da matriz representa uma letra do alfabeto. A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz A é multiplicada pela matriz 3 1 B 5 2 obtendo-se a matriz codificada B A. Sabendo que a matriz B A é igual a 10 27, podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz A é: e) 50 Questão 14) (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) Uma matriz B possui i linhas e j colunas e seus elementos são obtidos a partir da expressão bij i 2j. Seja uma matriz A (a ij) 2 3 cujos elementos da primeira coluna são nulos e I 2 a matriz identidade de ordem 2, tal que AB I 2. O valor numérico do maior elemento da matriz A é igual a Questão 15) (Efomm 2017) Determine uma matriz invertível P que satisfaça a equação 1 2 A P P P P e) P P A, 0 2 sendo Questão 16) (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) Uma matriz quadrada de ordem n é chamada triangular superior se aij 0 para i j. Os elementos de uma matriz triangular superior T, de ordem 3, onde i j, são obtidos a partir da lei de formação 2 ij Sendo A [ 1 1 1] uma matriz de ordem 1 3 e t 2i j. matriz 1 1 cujo único elemento vale t A sua transposta, o produto t A T A é a

6 Questão 17) (Ime 2017) Seja M uma matriz real. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se a b c a desloca para a posição seguinte no sentido horário, ou seja, se M, implica que f(m). c d d b Encontre todas as matrizes simétricas reais na qual 2 M f(m). Questão 18) (Unicamp 2017) Sendo a um número real, considere a matriz a a a. 0 1 Então, 2017 A é igual a Questão 19) (Unicamp 2017) Sabendo que m é um número real, considere o sistema linear nas variáveis x, y e z: mx 2z 4, x y z 3, 2x mz 4. Seja A a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine os valores de m para os quais a soma dos quadrados 2 dos elementos da matriz A é igual à soma dos elementos da matriz A A A. Para m 2, encontre a solução do sistema linear para a qual o produto xyz é mínimo. Questão 20) (G1 - ifsul 2016) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Supondo que o traço da matriz quadrada A, de ordem 3, seja 11, e o determinante dessa matriz seja 16, os elementos x e y da matriz A 0 x z valem 0 0 y 5 e 5 4 e 4 2 e 8 1 e 9 Questão 21) (Ueg 2016) Tatiana e Tiago comunicam-se entre si por meio de um código próprio dado pela resolução do produto entre as matrizes A e B, ambas de ordem, onde cada letra do alfabeto corresponde a um número, isto é, 1 13 a 1, b 2, c 3,, z 26. Por exemplo, se a resolução de A B for igual a, logo a mensagem recebida é 1 1 amor. Dessa forma, se a mensagem recebida por Tatiana foi flor e a matriz B, 2 1 então a matriz A é Questão 22) A matriz A ij(2 3) tem elementos definidos pela expressão 3 2 ij Portanto, a matriz A é a i j.

7 e) Questão 23) Se M (a ij), i 1, 2, e j 1, 2, é a matriz adjunta de M, associado ao a 21 é 1 2, 3 4 então o elemento da matriz oposta ou simétrica da e) 3 Questão 24) Uma matriz A de ordem 2 transmite uma palavra de 4 letras em que cada elemento da matriz representa uma letra do alfabeto. 3 1 A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz A é multiplicada pela matriz B 5 2 obtendo-se a matriz codificada B A. Sabendo que a matriz B A é igual a e) , podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz A é: Questão 25) Dada a matriz B 4 e sabendo que a matriz A 5 3 é a matriz inversa da matriz A, podemos concluir que a matriz X, que satisfaz a equação matricial AX B, tem como soma de seus elementos o número e) 16 Questão 26) Seja A a matriz de ordem 3 2, dada por 1 0 A Determine todas as matrizes B tais que BA I 2. T Existe uma matriz B com BA I2 que satisfaça BB I 2? Se sim, dê um exemplo de uma dessas matrizes.

8 x 3 5 Questão 27) Uma matriz quadrada se diz ortogonal se sua inversa é igual à sua transposta. Dada a matriz A, em 5 x 3 que x *, a soma dos valores de x que a tornam uma matriz ortogonal é igual a 6 4i 6 4i Questão 28) Se M e) T 1 e N, 1 3 então M N M N é igual a Questão 29) Considere a seguinte operação entre matrizes: A soma de todos os elementos da matriz K é: K Questão 30) Considere a matriz a 1 1 A 1 0 b, c 2 0 onde a, b e c são números reais. Encontre os valores de a, b e c de modo que T A A. Dados a 1 e b 1, para que os valores de c e d o sistema linear x 1 A y 1 tem infinitas soluções? z d