Sistemas lineares e matrizes, C = e C =

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1 1. Considere as matrizes ( 2 1 A MATEMÁTICA I (M 195 (BIOLOGIA, BIOQUÍMICA E ARQUITETURA PAISAGISTA 2014/2015, B Sistemas lineares e matrizes ( Verifique se está definida e, caso esteja, calcule:, C A (b 0B (c A + B (d B +C (e C D 2. Preencha as entradas que faltam na matriz do tipo 4 4 A que A seja simétrica. 0. Sendo A 1 2, B 1 1 (A +C T. ( e C 4. Em cada caso, encontre a matriz M tal que: T 0 ( 2M T 0 ( (b 2M T e D de forma a, determine: A T, (A T T, B T, e 5. Determine a matriz completa do sistema linear e escreva-o na forma de uma equação matricial do tipo AX b em cada um dos casos seguintes. 2x 1 + x 2 + x 10 { x y + 2z 0 x + y 2z 4 8x 1 x 2 2x 0 (b (c 2y + 2z 2 x z 1 x 1 x 2 + 5x x + z 1 6. Determine o sistema linear representado pela matriz completa (A b nos casos seguintes. 1 2 ( (b (c

2 Matemática I Reduza cada uma das matrizes seguintes a uma matriz em escada, usando operações de linha (b 4 8 (c (d (g (e (h (i (f Determine a forma de Gauss de cada uma das seguintes matrizes: ( ( ( ( (b (c (d (e 9 (f (g Indique a caraterística de cada uma das matrizes dos Exercícios 7 e 8 que rezudiu a uma forma em escada. 10. Se A for uma matriz 2, que valores pode ter a caraterística de A? E se A for uma matriz 2? Dê exemplos para cada um deles. (b Em geral, sendo A uma matriz m n, indique os valores que a caraterística de A pode assumir. 11. Determine: As soluções (x 1,x 2,x, com x 2, do sistema AX b, onde (A b (b A solução geral do sistema AX b, onde (A b (c A solução geral do sistema AX b, onde (A b ( Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas lineares, usando o método de Gauss. { { y + z 6 2x y 8 4x1 x (b 2 10 (c x y + z 7 6x 5y 2 8x 1 x 2 10 x + y z 1

3 Matemática I (d (g (i 2x + y z 0 6x + y 8z 0 2x y + 5z 4 x 1 + 4x 2 2x 4 2x 1 + 7x 2 x 2 2x 1 + 9x 2 7x 1 x + y + z 1 2x + 5y + 4z 2 2x + 7y + 8z 29 2x y z 0 (l x + 2y + 4z 0 x + y + 4z 0 (e (j (h (m x 1 2x 2 x 1 x 2 14 x 1 7x 2 2 { x1 x 2 +2x x 4 8 x 1 7x 2 +x 4 0 5x + y 4z 5 x 2y + z 2 7x y + 2z 1 x 2y + z 0 x + 2y 6z 0 5x 2y 0 2x 4y + 9z 0 { x1 x (f 2 + x 2 x 1 8x 2 + 2x 5 (k (n x + y + 4z t 2x y + z + 4t 1 x + 5z +t 1 x + 2y + 2z 2 x y z 6 2x 5y 5z 4 4x y z 8 1. Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas lineares homogéneos e indique as soluções básicas. x + x 4 + x 5 0 4x x 1 x 2 + 2x x 4 + x x 2 x + 5x 5 0 (b 2x x 1 + x 2 2x x x + 2x 4 x 5 0 x 2x 1 + 2x 2 x + x x 2 2x x 4 x Em cada uma das alíneas seguintes, considere o sistema homogéneo que tem a matriz dada como matriz dos coeficientes. Determine as soluções básicas e exprima a solução geral como combinação linear dessas soluções (b (c 15. Determine os valores b i para os quais o sistema é possível, nos casos seguintes. { x1 + 2x 2 b 1 (b x 1 + 6x 2 b 2 x 1 + x 2 x b 1 2x 2 + x b 2 x 2 x b Classifique e resolva, em função do parâmetro real k, os sistemas lineares que se seguem. { { { x + 2y 1 x + 2y 0 x + 2y 1 (b (c 6x + 4y k 6x + ky 0 7x + 5y k x + 2y + z (d 2x y z 5 4x + y z k 17. Uma pessoa precisa de tomar, por dia, exactamente 5 unidades de vitamina A, 1 de vitamina B e 2 de vitamina C. Três marcas de vitaminas em comprimidos estão disponíveis e as unidades

4 Matemática I de cada vitamina por comprimido são dadas na tabela vitamina A vitamina B vitamina C marca marca marca Determine todas as combinações de comprimidos inteiros das diferentes marcas que fornecem a dose necessária diária de vitaminas Considere a matriz linha L ( 2 1 e a matriz coluna C 1. Determine as matrizes LC e CL. ( ( Sejam A, B, C 0 6 e D Verifique se está definida e, caso esteja, determine: AB (b CD (c (2A(5C (d A 2 (e (AC 2 (f (2A BD (g ADB (h BC (i CB x 20. Sendo A 1 5 e X y, calcule AX. 0 4 z 21. Calcule os seguintes produtos: (c (e Sejam A e B (d (b ( Determine AB e BA e encontre uma regra simples para calcular o produto de duas matrizes diagonais do mesmo tamanho. (b Determine A 2, A, B n. 2. Determine uma matriz A tal que: A (b A

5 Matemática I Determine A T e AA T nos casos seguintes: ( A. (b A 1 1. (c A ( Sejam A, B e C matrizes. De entre as afirmações seguintes, diga quais são verdadeiras e quais são falsas Se AC BC e C O, então A B. (b Se AC CB então A e B são matrizes quadradas. (c Se (A + B 2 estiver definida, então (A + B 2 A 2 + 2AB + B 2. (d Se AB O, então A O ou B O. (e Se A +C B +C, então A B. (f Se A 2 I, então A ±I. 26. Determine os valores das variáveis x i para os quais valem as seguintes igualdades. ( 1 4(x 1 x 2 + 2(x 1 ( 6 18 (b (x 1 x 2 (2 ( ( ( ( x1 1 (c (x 1 x 2 (0 14 (d x 2 5 ( ( ( ( x1 x (e (f (x x x x 2 ( Verifique se cada uma das seguintes matrizes é invertível e, caso seja, determine a sua inversa. ( ( ( ( (b (c (d (e (f (g 2 0 (h 2 5 (i (j (k (l 28. Resolva o sistema linear AX b sendo A a matriz ( 4 da alínea 27.b e b 2 5 (b da alínea 27.h e b (m

6 Matemática I Cadeias de Markov 29. Verifique se a matriz de transição T é regular e, caso seja, determine o seu vector de estados estacionário s nos casos seguintes: T (b T (c T ,4 0,1 0,5 0,5 0, (d T (e T ,5 0,7 (f T 0,2 0,6 0, ,4 0, 0, 0. Um país está dividido em regiões: N Norte, C Centro e S Sul. Em cada ano, - 5% dos habitantes da região N muda-se para a região C e 10% para a região S; - 10% dos habitantes da região C muda-se para a região N e 15% para a região S; - 5% dos habitantes da região S muda-se para a região N e 5% para a região C. Que percentagem de habitantes da região N deverá permanecer nesta região daqui a 2 anos? (b A longo prazo, como deverão estar distribuídos os habitantes pelas regiões? 1. Uma alcateia caça todos os dias numa de regiões, R 1, R 2 e R, e tem os seguintes hábitos de caça: a alcateia - nunca caça na mesma região em dias consecutivos. - se num dia caçar em R 1, no dia seguinte vai caçar em R. - se num dia caçar em R 2 ou em R, é duas vezes mais provável que cace em R 1 no dia seguinte, do que a outra alternativa. Se os lobos caçarem em R na segunda-feira, determine a probabilidade de caçarem lá de novo na quinta-feira. (b Qual a proporção de tempo em que a alcateia caça em cada uma das regiões?

7 Matemática I Determinantes 2. Calcule os seguintes determinantes: (b (c (d (e (f (g Calcule os seguintes determinantes, usando a expansão de Laplace numa linha ou coluna (b (c (d (e (f a b c 4. Sendo 0 2 1, calcule: a 1 2a 2b 2c a b c a c b b 0 1 (b /2 0 1 (c a + b c + 2 (d 2 0 c a + 1 b + 1 c Usando propriedades dos determinantes, calcule: (b (c (f (g (h (d (e Calcule os seguintes determinantes: (b (e (f (c (g (d (h

8 Matemática I (i (j (k Seja A uma matriz tal que deta 2. Calcule: det(a 2. (b det(a k. (c det(a. (d det(a + A. (e det(a 1. (f det(2a 1. (g det((2a 1. (h det(a T. 8. Sejam A e B matrizes tais que deta 2 e detb. Calcule: det(a B 1 A T. (b det(b T (AB 1. ( cosθ senθ 9. Mostre que a matriz A é invertível e calcule A senθ cosθ Sejam A e B matrizes quadradas. Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras. det( A deta. (b Se A só tem zeros na diagonal principal, então A não é invertível. (c O determinante da matriz que se obtém de A trocando duas colunas é deta. (d Se A e B são matrizes n n com deta 2 e detb, então det(a + B 5. (e Se A e B são matrizes n n com deta 2 e detb, então det(ab 6. (f Uma matriz com uma linha ou uma coluna de zeros não é invertível. (g A é invertível se e só se A T também o é. (h AB é invertível se e só se A e B também o são. 41. Determine a matriz inversa A 1 e resolva o sistema AX b nos casos seguintes. ( ( ( ( ( ( A, b (b A, b (c A, b Resolva cada um dos seguintes sistemas usando a regra de Cramer. { { { x 2y 1 x + y 5 x + y 1 (b (c x + 4y 2x + y 0 x + 2y 2 5x 2y + z 1 x + 2y z 2 (e y + z 0 (f 2x + y + z 0 (g x + 6y z 4 x y + 5z 1 (h x y 5z 4x 4y z 4 x 5z 2 (i 2x y z 1 x + 2y + 2z 1 5x y z 6 { x 5y 4 (d x + 4y 4x + y + z x 2y + 4z 2 x + y 2

9 Matemática I Valores e vetores próprios 4. Determine o polinómio caraterístico, os valores próprios e os vetores próprios da matriz A nos casos seguintes: ( ( ( ( A (b A (c A (d A (e A (f A Diga se a seguinte matriz é diagonalizável: A Seja A uma matriz 2 2 tal que A ( 1 1 ( 22 e A ( 10 ( 10. Mostre que A é diagonalizável, determine uma matriz diagonalizadora P e diagonalize A. 46. Mostre que a matriz A é diagonalizável, determine uma matriz P diagonalizadora e diagonalize A nos casos seguintes: ( ( ( A (b A (c A (d A (e A (f A (g A Determine A k nos casos seguintes: A (b A Mostre que a matriz A é diagonalizável, determine uma matriz P diagonalizadora e diagonalize A nos casos seguintes: A (b A Determine A k, onde A Diga se a seguinte matriz é diagonalizável: A

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