1. Matrizes. 1. Dê um exemplo, em cada alínea, de uma matriz A = [a ij ] m n com:

Transcrição

1 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / 5. Matrizes.. Dê um eemplo, em cada alínea, de uma matriz A = [a ij ] m n com: m =, n = cuja soma das entradas principais seja. (b) m = n = 4 com a a e a 4 = a 4. (c) m = n = tal que a ij = i + j., i < j (d) m =, n = 4 com a ij =, i = j, i > j (e) m =, n = 5 com a j = a j. {, i + j ímpar (f) m = 5, n = tal que a ij =, i + j par... Se possível, dê um eemplo de uma matriz A de ordem : triangular superior com apenas 4 entradas não nulas. (b) triangular inferior com apenas 4 entradas nulas. (c) diagonal com apenas entradas não nulas. (d) escalar com apenas entradas não nulas.. Determine as matrizes transpostas dos eercícios anteriores e indiques as que são simétricas. 4. Considere as matrizes A = Indique: i. a ij, i j. ii. b ij, i < j. iii. c ii., B = iv. i e j tais que a ij = b ij = c ij. (b) Determine: i. A + B. ii. (A + B) + C. iii. A + (C + B). iv. B e ( B). v. A B. vi. (A + B) + C. vii. C. (c) Determine a matriz X tal que: i. A + X = 4. ii. A X = X B. 4 e C =.

2 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / 5 5. Considere as matrizes A = [ ], B = Sempre que seja possível, determine os produtos: AB, AE, EA, e BC. (b) (AB)C e A(BC). (c) DD T e D T D. 6. Considere as matrizes A = Determine:, B = AB, BA, AC, CD, DC e B. (b) B T B e BB T. (c) BAAC e (BC)D. (d) A(B), ( A)( B) e ( A)(B). (e) (A + D)C e A(B + C)., C =, C =, D = CT e E = I. e D =. 7. Considere as matrizes, i = j A = [a ij ] 4, a ij =, i j, i + j par i + j, i j, i + j ímpar e B =. Se for possível, determine: A B. (b) AB. (c) AB T. 8. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas para as matrizes: [ ] A =, B = e C =. A é uma matriz simétrica (b) A entrada (, ) de ( 7A)(B) é 9. (c) B é uma matriz triangular superior (d) A = (e) C é uma matriz invertível tal que C = C T.

3 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / 5 9. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: as entradas de uma matriz em forma condensada são sempre ou. 4 4 (b) as matrizes e 4 estão em forma de escada. 8 6 (c) (d) ([ [ ] [ 6 4 ]) = e 5 4 = = Verifique se cada uma das seguintes matrizes é invertível: ]. (b) (d) 4 (e) =. (c). (f) Coloque as seguintes matrizes em forma de escada, em forma condensada e determine a sua característica: 4 4. (b) 4 8. (c) (d). (e) 5. (f) Efectue a decomposição LU das seguintes matrizes: 7. (b) (c) 4 4.

4 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / 5 4. Sistemas de equações lineares.. Considere o sistema de equações lineares y + z + w = y + w = + z + w = Verifique se (,,, ), (,,, ) e ( 6, 4,, ) são soluções do sistema. (b) Classifique o sistema. (c) Resolva o sistema pelo método de eliminação Gauss-Jordan e indique a solução geral. 4. Equacione e resolva os seguintes problemas: Sabendo que uma caneta, 5 cadernos e uma borracha custam 4 euros, duas caneta e duas borrachas custam 5 euros e uma caneta, três cadernos e cinco borrachas custam euros, quanto custa cada caneta, cada caderno e cada borracha? (b) Determine os coeficientes da função y = a + b + c + d que passa pelos pontos de coordenadas (, ), (, ), (, ) e (, ). 5. Determine a solução geral dos seguintes sistemas utilizando um dos métodos de eliminação dados nas aulas teóricas: (d) (g) y + z = y + z = + y + z = y + 5z + w = + y z + w = 6 + y 4z + w = 7 + y z = y + z = + 8y 7z = 4 + y 8z = 4 (b) (e) (h) y + z = y + z = y + z = y + z = y z = 7 7y + 6z = 4 + y z = y + z = + z = y + z = 5 (c) (f) (i) y z + 4w = + y + z + w = y z + w = + y + z + w = 4y + 6z = 4 y z = 7 7y + 5z = 4 y + z t = 4 + y z + t = 8 + y t = + z t = 6 6. Determine a solução geral dos sistemas homogéneos associados relativamente aos sistemas do eercício Considere o sistema de equações lineares + y + z = 6y + 8z = 4 + 8y 5z = Verifique se (,, ) e ( 4,, ) são soluções do sistema. (b) Determine a solução geral do sistema homogéneo associado. (c) Utilize as alíneas anteriores para indicar a solução geral do sistema completo.

5 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Sejam A = β β + β tenha solução (,, ). (b) seja impossível. e B = β β +. Determine β tal que o sistema AX = B: (c) seja possível e indeterminado (qual é o grau de indeterminação?). (d) seja possível e determinado. 9. Classifique os seguintes sistemas em função do parâmetro α R: + y + z = y + z = + y z = 4 + z = (b) y + 5z = 4 + y + (α 4)z = α + y + z = α. Se possível, complete A = e B = de modo que o sistema AX = B: seja impossível. (b) seja possível e determinado. (c) seja possível e indeterminado (qual é o grau de indeterminação?). (d) tenha solução (,,, ).. Sem recorrer a métodos de eliminação, determine a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes: 5. (b) 8. (c) (d) Considere a matriz A =. (e) k 4 5 6, k R.. (f) Determine os valores de k para os quais a matriz A é invertível. (b) Determine A para k = Se possível, determine as inversas das seguintes matrizes: [ ]. (b). (c) 4. (d). 4. Resolva, com a decomposição LU, os sistemas A = b, com A as matrizes do eercício e b os vectores [ ] T [ ] T [ ] T 7 4, (b), (c) 4, respectivamente.

6 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / 5 6. Determinantes. 5. Calcule os determinantes das seguintes matrizes: [ ] [. (b) (d) (g) 6 7. (e). (h) ]. (c) 4 5. (f). (i) Usando determinantes, determine para que valores α, β R as seguintes matrizes são invertíveis: [ ] [ ] α α + α α α +. (b). (c). α α α α β 7. Calcule o determinante das seguintes matrizes através do Teorem de Laplace: (d) π π π π. (b).. (c) Calcule o determinante da matriz A = [ cos (θ) sen (θ) sen (θ) cos (θ) ] e o determinante da matriz transposta de A. 9. Seja A = BC em que as matrizes B e C são: B = [ ] C = [ ]. Verifique que det A = det B det C.. Sabendo que para quaisquer matrizes invertíveis A, B e C, com A = BC, a relação det A = det B det C é verdadeira, mostre que det A = det A.

7 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Produtos interno, eterno e misto.. Para cada um dos pares de vectores (i) u = (,,, ) e v = (,,, ) (ii) u = (,,,, ) e v = (,,,, ), determine: u v. (b) u e v. (c) cos (u, v).. Se possível dê eemplos de: Dois vectores de R 5 cujo produto interno seja 5. (b) Um vector de R 4 cuja norma seja 5. (c) Dois vectores em R 5 cujo ângulo seja π. (d) Dois vectores em R 6 cujo ângulo seja π. (e) Três vectores u, v e w de R 5 tais que u v =, u w = e u (v + w) =.. Complete de modo a obter afirmações verdadeiras: (,,, ) (,,, ) = (b) (,,, ) = e (,,, ) = (c) cos ((,,, ), (,,, )) = (d) Os vectores (,,, ) e (,,, ) ortogonais. 4. Sejam u = (4,,, ), v = (,,, ) e w = (,,, ). Calcule: u v (c) u w (e) v w (g) ( v) ( w) (i) u, v e w (l) (v w) (u + w). (n) u + v (p) cos (v, w). (r) Um vector ortogonal a v (b) v u (d) u (w) (f) ( v) (w) (h) u (v + w) (j) (u + v) (w + v) (m) u + v e u + v. (o) u + v (q) cos (u, v). (s) Um vector ortogonal a v e a w 5. Sejam u,v e w vectores de R n, tais que u v =, v w =, u w =, u =, v = e w = 5. Calcule: w v (c) ( w) (v) (e) (u + v) (w + v) (g) u + v e u + v. (i) u + v (k) cos (u, v). (b) (w) ( w). (d) ( v) ( w) (f) (v w) (u + w) (h) (u + v) (j) u + v (l) cos (v, w)

8 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Considere em R 5 as afirmações: (,,,, ) = 5. (b) (,,,, ) = 5. (c) (,,, 4, 5 ) R 5, (,,, 4, 5 ) (,,, 4, 5 ). (d) (,,,, ) (,,,, ) = A lista correcta das afirmações verdadeiras é: (b) e (d), (b) e (c) e (b) e (c) 7. Sejam u e v vectores de R n, satisfazendo u v =, u = v =. Então 4 (u + v) = Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa, cada uma das seguintes afirmações: Se u e v são dois vectores ortogonais de R n, então αu e βv também são ortogonais, para quaisquer números reais não nulos α e β. (b) Se {u, v, w, z} é um conjunto ortogonal em R n, então (u + w) (v + z) =. (c) Se u e v são vectores de R n tais que u = v =, então u + v =. (d) Se u, v e w são vectores de R n tais que u é ortogonal a v e v ortogonal a w, então u é ortogonal a w. 9. Verifique que o conjunto de vectores {(,, ), (,, ), (,, )} é ortogonal e transforme-o num conjunto ortonormado por normalização dos vectores. 4. Determine para que valores de λ R são ortogonais os seguintes pares de vectores: u = (,,, ) e v = (,, λ 5, ). (b) u = (,,,, ) e v = (,, λ +, λ, λ ). 4. Determine o conjunto dos vectores de R 5 simultaneamente ortogonais a u = (,,,, ), v = (,,,, ) e w = (,,,, ). 4. Sejam, em R 4, u = (,,, ) e v = (,,, ). O conjunto dos vectores simultaneamente ortogonais a u e v é: {(, y, z, w) R 4 : = z w e y = z 5 } w {(, y, z, w) R 4 : = z w e y = z + 5 } w {(, y, z, w) R 4 : = z w e y = z 5 } w {(, y, z, w) R 4 : = z + w e y = z 5 } w (b) Complete de modo a obter uma afirmação verdadeira: O conjunto {(,,, ), (,,, ), (,,, )} é ortogonal.

9 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Para cada um dos grupos de vectores (i) u = (,, ), v = (,, ), w = (,, ) (iii)u = (,, ), v = (,, ), w = (, 6, 7). determine, se possível: (ii) u = (,, ), v = (,, 4), w = (,, ). (iv)u = (,, 4), v = (,, 4), w = (,, 5). (,, ) v. (b) w (,, ). (c) u v. (d) u w. (e) v w. (f) v u. (g) w u. (h) w v. (i) (u + w) v. (j) u (v + w). (k) a equação de um plano com a direcção de u e w e que passe pela origem. (l) a equação de um plano com a direcção de v e w e que passe pelo ponto de coordenadas (,, ). (m) a área do paralelogramo definido por u e v. (n) a área do paralelogramo definido por v e w. 44. Considere os vectores: (i) u = (,, ), v = (,, ), w = (,, ) (ii) u = (,, ), v = (, 9, 4), w = (,, 5). (iii) u = (,, ), v = (,, ), w = (, 6, ). (iv) u = (,, 4), v = (, 4, ), w = (, 4, 8). Para cada conjunto u, v e w, determine, se possível: u (v w) (b) (u v) w (c) o volume do paralelipípedo definido por u, v e w. 45. Sejam u = (,, ), v = (, 5, ) e w = (,, 7). Então: u v = (,, 6) (8, 8, 6) (,, 6) (4,, 5) (b) O volume do paralelipípedo definido por u, v e w é: (c) A equação geral do plano com a direcção de u e v e que passa pelo ponto de coordenadas (,, ) é: 4 y 5z = 9 8 8y 6z = 4 y 5z = 8 8y 6z = 4

10 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / 5 5. Complementos de cálculo diferencial. 46. Usando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das seguintes funções: 5 (b) (c) 5 5 (d) 5 (e) 7 (g) (i) e (f) (h) tan (j) sin cos (k) ln (l) (m) (n) (o) (p) tan ( ) + (q) cot( ) (r) ( + ) (s) ( + ) (t) (u) cos (v) ln () (w) ln, a R\ {} () e (y) e a, a R\ {} (z) e e Sendo f () =, g () =, h () = cos calcule: f (b) g (c) h (d) (f + h) ( (e) f + ) g 5h (f) (f.h) ( ) (g) (h.h) f (h) ( ) h h (i) (j) (g f) f (k) (g h) (l) (f h) (m) (f g) (n) (h f) (o) (h g) (p) (f f) (q) (g g) (r) (h h) (s) (g h f) (t) (ln g) (u) (ln h) (v) (cot h) (w) ( e h) () (e g ) (y) (g (ln )) (z) (f (e g ))

11 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Usando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das seguintes funções: ( + 5) + ( ) ( ) tan + cot (c) (b) + ( ) ( ) tan + cot (d) (e) ( + ) (f) ln (cos ) (g) sin (ln ) (h) e sin (i) ( sin ( + )) ( + ) (j) + ln ( ) (k) sin (cos (tan )) (l) ln ( ) (m) e + e ln ( + ) (o) ( ) (q) sin ( π ) (s) tan 4 π (n) ln (p) ( ) (r) e + π 4 (t) tan ( ln ( )) ( π ) + tan e cos (π) Calcule: arcsin ( ) (c) arctan ( ) ( (b) arccos ) (d) arccot () (e) sin (arcsin (.7)) ( (g) arctan tan π ) (f) cos (arcsin (.7)) ( (h) arccot cot π ) 4 (i) arcsin (cos 45 o ) ( (k) cos arctan ) (j) arcsin (cos 4 o ) (l) tan (arctan 5) (m) sin (arcsin.) (n) sin (arccos.5) 5. Usando o teorema da derivada da função inversa, determine: (arccos ) (b) (arctan ) (c) (arccot )

12 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / 5 5. Usando fórmulas trigonométricas, simplifique as epressões: sin (arccos ) (b) cos (arctan ) (c) tan (arccos ) 5. Para α R, arcsin (cos α) = α π α α π α (b) tan (arctan α) = α π α α π α 5. cot (arcsin ) = Usando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das seguintes funções: arcsin (c) arcsin (e) arcsin (g) arcsin ( 8) ( ) (i) arcsin (k) arcsin (m) ln (arcsin ) ( ) (o) arcsin (q) arctan (s) arctan (u) arctan e (w) arccot ( ) (y) arccot (b) arccos (d) arccos (f) arccos ( ) (h) (arcsin ) 8 ( ) b (j) arccos, para a, b R. a (l) arccos (n) (ln (arcsin )) 5 (p) arccos () ( (r) arccot ) (t) arctan e (v) e arctan () arccot ( ) ( a ) (z) arccot, a R,

13 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / 5 6. Integração. 55. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: Se g () é uma primitiva de f (), então g () = f (). (b) Se g () e g () são primitivas da mesma função, então g () = g (). (c) Uma função primitivável tem um número infinito de primitivas. (d) Uma função contínua num intervalo I é primitivável nesse intervalo. (e) Duas primitivas de uma mesma função diferem por uma constante. (f) Se g () é uma primitiva de f (), então, para qualquer k R, kg () é uma primitiva de de kf (). (g) Se g () e g () são, respectivamente, primitivas de f () e f (), então (g + g ) () é uma primitiva de (f + f ) (). (h) Se g () e g () são, respectivamente, primitivas de f () e f (), então (g g ) () é uma primitiva de (f f ) (). Em todos os eercícios que se seguem, as funções consideram-se definidas em intervalos reais nas quais sejam primitiváveis. 56. Para k R: d = k + k (b) d = + k + k (c) sin d = cos + k cos + k sin + k + k (d) t dt = t + k t + k t + k t + k (e) e t dt = e t et + k et + k te t + k (f) t dt = t + k ln t + k ln t + k t + k (g) + t dt = arctan ( + t) + k t + + k ln ( + t ) + k arctan t + k

14 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Encontre a epressão geral das primitivas de cada uma das seguintes funções: f () = (c) f () = a (a R) (e) f () = 9 (g) f () = a + b (a, b R) (i) f () = (k) f () = (m) f () = 5 8 (o) f () = 7 (q) f () = 7 5 (s) f () = + (u) f () = ln (w) f () = (y) f () = e 5 (b) f () = (d) f () = (f) f () = (h) f () = (j) f () = a + b + c (a, b, c R) (l) f () = 7 (n) f () = (p) f () = (r) f () = 7 (t) f () = (v) f () = 7 5 () sin cos (z) f () = e a (a R) 58. Em cada alínea, determine a primitiva da função f () = : que para = toma o valor 4. (b) cujo gráfico passa pelo ponto de coordenadas (, ) Interprete geometricamente os resultados obtidos. 59. Em cada alínea determine a função f cuja derivada é f e cujo gráfico passa no ponto Q definido pelas suas coordenadas: ( π f () = sin cos ; Q 4, ). (b) f () = ; Q (5, ). (c) f () = ; Q (, 5). + (d) f () = ( + ) ; Q (, ). (e) f () = + + ; Q (, 5). 6. Determine a função f () tal que f () = e, f () = e f () =.

15 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Calcule o conjunto das primitivas de cada uma das seguintes funções: i. f () = e iii. f () = tan cos sin v. f () = sin + cos vii. f () = + a i. f () =, (a, b, c R) b + c i. f () = + 4 iii. f () = cos + sin sin v. f () = ( + cos ) vii. f () = i. f () = 4 5 d i. f () = ln iii. f () = e + e v. f () = sin ii. f () = e iv. f () = cot vi. f () = viii. f () = +. f () = + ii. f () = ( + ) iv. f () = cos sin vi. f () = e cos (e ) viii. f () = 4. f () = 4 ii. f () = sin iv. f () = cos 6. Se possível. dê eemplos de: Duas primitivas da função f () = e (b) Uma função cuja derivada seja o dobro dela própria. (c) Duas funções f e g tais que P (fg ) = fg P (f g) 6. A função f () = e a, a R, admite como primitiva: a e a ae a ea a 64. A função f () =, b R admite como primitiva: b ln b b ( ) 65. P = ln ln b e a b ln + k, k R + k, k R 66. Se f () = e f () = 5, então 5 + k, k R k, k R f () = + 5 f () = + f () = + k f () = + 7 [ 67. Determine a função g, definida e duas vezes diferenciável em, π [, tal que g () = + tan cos, g () = e g () =

16 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Considere uma função f () tal que O valor de f () d é 4 f () d = 4, 4 f () d =. 6 não eiste (b) O valor de f () d é (c) O valor de f () d é (d) O valor de f () d é Considere funções f () e g () tais que O valor de f () d =, (5f () + g ()) d é 4 f () d = e 4 (f () + g ()) d = Considere funções f () e g () tais que f () d = e g () d =. O valor de (f () + g ()) d é 5 depende de f e g f () (b) O valor de g () d é depende de f e g 7. ( + ) d = A epressão geral de ϕ () = e e e t dt é e e e + e e e

17 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Calcule: (c) (e) (g) (i) (k) (m) (o) (q) (s) (u) (w) (y) π 4 e d (b) d (d) 9 d t dt t dt (f) (h) + d (l) d 7 d (j) d a d (9 + 4) d t dt + d e d (n) d (p) π ( sin cos ) d d (r) dπ dπ + 4 d (tan ) d ln d e (t) ln d π (v) cos d () (z) arcsin d e d 74. Em cada alínea determine a área da região limitada pelo eio das abcissas e por: y = + 4. (b) y = 4. (c) y =, = e =. (d) y =, = e = e. 75. Em cada alínea determine a área da figura limitada por: + y + = e y =. (b) y = cos, y = cos e π π 76. Determine as áreas dos seguintes conjuntos: { (, y) R : e y }. (b) { (, y) R : e y }. (c) { (, y) R : y }.

18 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Mostre que a área da região limitada pelos gráficos: y = 4, y =, = e = é. (b) y = ( )( ) e y = é. (c) y = 6, y = e y + = é. (d) y = e y = é Determine a epressão geral (sem o sinal de integral) de cada uma das seguintes funções ϕ () = (b) ϕ () = (c) ϕ () = (d) ϕ () = (e) ϕ () = (f) ϕ () = (g) ϕ () = (h) ϕ () = (i) ϕ () = (j) ϕ () = (k) ϕ () = (l) ϕ () = (m) ϕ () = (n) ϕ () = 4 dt 4 dt 4 dt t dt (t + 4) dt + t dt e t dt t + t dt t t dt 5 ln t t dt t dt t dt t dt ( sin t cos t) dt 79. Determine a derivada de cada função definida no eercício anterior: Usando a epressão da função. (b) Usando o teorema fundamental do cálculo integral.

19 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Se ϕ () = t dt então ϕ () = Se ϕ () = + 4 cos t + 4t dt então ϕ () = sin cos sin cos sin + 4 sin + 4 cos Usando o método de primitivação por partes, primitive as funções: f () = sin (b) f () = ln (c) f () = ln (d) f () = ln (e) f () = arcsin (f) f () = arctan (g) f () = e sin 8. Complete a decomposição da seguinte função racional: + + = Decomponha numa soma de fracções simples as seguintes funções racionais: (b) ( + ) ( + ) 85. Sendo p () q () = A a + B, com a, b, A, B R, calcule P b ( ) p (). q () 86. Calcule, utilizando o método de decomposição, as seguintes primitivas: d (b) d 87. Calcule, utilizando o método de substituição (e, possivelmente, mais algum método), primitivas das seguintes funções: f () = (b) f () = (c) f () = e e + e e (d) f () = e + e e (e) f () = (f) f () = (g) f () = (h) f () = + 4 cos 6 5 sin + sin Sugestões: t = (b)t = e (c) t = e (d) t = e (e) = sin t (f) t = + 4 (g) t = (h) t = sin

20 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Ao efectuar a substituição t = + para calcular o integral 5 4 t dt t 8 5 t 9 dt d obtém-se: t t dt 5 4 t dt Ao efectuar a substituição t = e para calcular o integral e e t + t t + dt t + t t + dt ( e + ) e e e d obtém-se: + e e ( t + ) t t t + dt ( t + ) t t t + dt 9. Ao efectuar a substituição t = sin, para calcular o integral π t + t dt π t t + t dt π ( ) cos sin d obtém-se: + sin t + t dt t t + t dt 9. Calcule, por partes, os seguintes integrais: (b) (c) (d) sin d e ln d arctan d arccot d 9. Calcule, utilizando o método de decomposição, os seguintes integrais: (b) d ( + 5) ( ) ( ) d 9. Calcule, utilizando o método de substituição (e, possivelmente, o método de decomposição), os seguintes integrais: (b) (c) (d) e e 4 5 π ( ln + ln )d + 4 d d cos 6 5 sin + sin d

21 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / 5 7. Equações diferenciais ordinárias. 94. Em cada uma das alíneas assinale a resposta verdadeira: y = y admite como solução y = e + k, k R ke, k R y = (b) y = 5y admite como solução y = 5 y = e 5 y = 5 y = e 5 + k (c) A equação diferencial (y ) + y y = admite como solução y = y = y = + 4 y = + (d) O problema de Cauchy y = y, y () = 5 admite como solução y = 5e y = e y = e 5 y = 95. Considere a equação diferencial y y y =. Verifique que, para quaisquer a, b R, a função y = a + b é solução da equação dada, em R\ {}. (b) Use o resultado da alínea para resolver o problema de valores iniciais: y y y =, y () =, y () = Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis: y = y (b) y = y (c) yy + = (d) y + y sin = (e) y = + y (g) y = + y (f) y = sin cos y (h) y = e y 97. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais: y = 5y y () = y + y = (c) y () = 98. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares: y + y = ( ) + y + y = (b) y () = y = sin (d) cos y y (π) = e (b) y + y = (c) y + y = (d) y + y = (e) y y = (g) y + y tan = cos (i) y + y = e (f) y y = (h) y + y = + e (j) y y = e

22 Matemática Licenciatura em Biologia 4 / Considere a equação diferencial linear y + y = e. Verifique que y = e é solução da equação diferencial dada. (b) Determine a solução geral da equação diferencial homogénea associada. (c) Utilize as alíneas anteriores para determinar a solução geral da equação diferencial dada.. Considere a equação diferencial linear y cos y sin =. Verifique que y = é solução da equação diferencial dada. cos (b) Determine a solução geral da equação diferencial homogénea associada. (c) Utilize as alíneas anteriores para determinar a solução geral da equação diferencial dada.. Resolva os seguintes problemas através de equações diferenciais: Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce proporcionalmente à quantidade de bactérias presente em qualquer instante. Ao fim de uma hora observam-se bactérias na cultura e após quatro horas há bactérias. Determine o número de bactérias em qualquer instante assim como o número inicial de bactérias na cultura. (b) A população de uma cidade cresce a uma taa proporcional ao número de habitantes eistente. Em 9 a população era de habitantes e em 9 de 5. Qual foi a população estimada para 95? (c) Sabe-se que o núcleo de certa substância radioactiva diminui a uma taa proporcional à quantidade eistente numa amostra inicial. O meio-tempo de vida desta substância é de 5 anos. Quantos anos decorrem até se obter um décimo da amostra inicial? (d) O carbono radioactivo C4 representa uma importante ferramenta de datação. A razão entre C4 e o carbono ( normal ) C em seres vivos e na atmosfera é constante. Quando um organismo morre, deia de absorver C4 através da alimentação e respiração. Deste modo, é possível determinar a idade de um fóssil sabendo a razão entre os carbonos no fóssil e a da atmosfera (W. Libby, Prémio Nobel da Química, 96). Sabendo que o C4 se desintegra à proporção de, 4 (aproimadamente) da quantidade de substância eistente, determine: i. o meio-tempo de vida do C4. ii. a idade de um osso fossilizado que contém 5% de C4. (e) Um corpo com peso igual a,5kg cai verticalmente partindo do repouso. A resistência do ar é de v, onde v é a velocidade do corpo (em m/s). Ao fim de quantos segundos é que o corpo atinge uma velocidade de m/s? (f) Dois remadores e um barco pesam kg. Os remadores eercem uma força de N no barco e a resistência da água é igual a / da velocidade (em m/s). Se o barco partiu do repouso, qual é a velocidade ao fim de um minuto? (g) Uma carga, com peso igual a 4kg, parte do repouso e está a ser transportada sobre o gelo sujeita a uma força de N. Desprezando a resistência do gelo e sabendo que a resistência do ar é igual a 7, 5 vezes a velocidade (em m/s) da carga, determine a velocidade atingida em 8s. Qual foi a distância percorrida?