(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x

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1 2.3. Derivadas Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma recta, esta taa é a mesma em todos os seus pontos. Para outros gráficos que não rectas, a taa à qual o gráfico sobe ou desce pode variar de ponto para ponto. Por eemplo, consideremos o seguinte gráfico: y ( 3,y 3 ) ( 2,y 2 ) ( 4,y 4 ) ( 1,y 1 ) Podemos observar que a parábola sobe mais rapidamente no ponto ( 1, y 1 ) do que no ponto ( 2, y 2 ). No vértice ( 3, y 3 ) o gráfico deia de subir ou descer, e no ponto ( 4, y 4 ), o gráfico está a descer. Para determinar a taa à qual um gráfico sobe ou desce num determinado ponto, podemos calcular o coeficiente angular da tangente no ponto. Em termos simples, a tangente ao gráfico duma função f num ponto P(, y) é a recta que melhor aproima o gráfico naquele ponto conforme podemos ver pelo gráfico anterior. 1

2 Assim, o problema da determinação da inclinação de um gráfico num ponto reduz-se ao de achar o coeficiente angular da tangente naquele ponto. Um método para obtermos aproimações de tangentes consiste em fazer uso da recta secante pelo ponto de tangência e por um segundo ponto do gráfico conforme se mostra na figura seguinte: y ( +,f( + )) f( + ) f() (,f()) Se (, f()) é ponto de tangência e (+, f(+ )) é um segundo ponto do gráfico de f, então o coeficiente angular da secante que passa por estes pontos é m sec = f( + ) f() = y onde é a variação de e y é a variação de y. Se aproimarmos cada vez mais o segundo ponto do ponto de tangência, obtemos melhores aproimações do coeficiente angular da tangente como podemos verificar pelos gráficos seguintes: (1) 2

3 y y y ( +,f( + )) ( +,f( + )) (,f()) y (,f()) y (,f()) Utilizando o processo do limite, podemos determinar o coeficiente angular eacto da tangente em (, f()). Definição 1 A derivada de f no ponto é dada por f f( + ) f() () = lim 0 = lim h 0 f( + h) f() h desde que o limite eista. Uma função é diferenciável em se a sua derivada eiste em. O processo de cálculo de derivadas é chamado diferenciação. (2) Nota: Eistem várias notações para representar a derivada de uma função. As mais frequentes são: f () = dy d () = y () = d d [f()] f linha de derivada de y y linha de derivada de f() em ordem a em ordem a 3

4 Eemplo 1. Calcule a derivada de f() = Temos f () = lim h 0 f( + h) f() h [ 3 ( + h) 2 2 ( + h) ] (3 2 2) = lim h 0 h = lim h 0 3 ( 2 + 2h + h 2 ) 2 2h h = lim h h + 3h 2 2 2h h = lim h 0 6h + 3h 2 2h h = lim h 0 h (6 + 3h 2) h = lim h 0 (6 + 3h 2) = 6 2 Pelo que a derivada de f() é f () = 6 2. Eercício 1. Determine a derivada de y em ordem a t para a função y = 2 t. Nota: Não se esqueça que a derivada de uma função dá uma fórmula para determinar o coeficiente angular da tangente em qualquer ponto do gráfico da função. 4

5 Continuidade e Derivabilidade Nem toda a função é diferenciável. os gráficos seguintes mostram algumas situações usuais em que uma função não é diferenciável nalgum ponto - tangentes verticais, descontinuidades e alterações bruscas. Os gráficos seguintes mostram funções que são diferenciáveis para todos os valores de ecepto em = 0. y y 2 y = 1/3 2 y = y y y = 2 y = 2/ Os gráficos anteriores mostram que a continuidade não é uma condição suficientemente forte para garantir a diferenciabilidade. Todas as funções representadas são contínuas em (0, 0) ecepto uma, mas nenhuma é diferenciável na origem. Por outro lado, se uma função é diferenciável num ponto então ela é contínua nesse ponto. 5

6 Teorema 1 Se uma função é diferenciável em = c, então é contínua nesse ponto. Corolário: Se uma função não é contínua em = c, então não é diferenciável nesse ponto Regras de Derivação Até agora calculámos derivadas utilizando a noção de limite. Um outro processo para calcularmos derivadas é usar regras que nos permitem calcular derivadas sem usar limites directamente: Regras de Derivação Sejam u, v f.r.v.r, c IR e n Z (c) = 0 (c u) = c u (u ± v) = u ± v (u v) = u v + v u ( u v ) = u v v u v 2 ( n u ) = u n n u n 1 (u n ) = n u n 1 u (u v ) = v u v 1 u + (ln v) u v v (ln u) = u u (log a u) = u (ln a) u (e u ) = e u u (a u ) = (ln a) a u u 6

7 Eemplo 2. Aplicando as regras da derivação temos: a)(7) = 0 b)( 3 ) = 3 2 c)(3 2 ) = 3 ( 2 ) = 3 2 = 6 d) [ (3) 2] = 2 (3) 3 = 18 e) ( 1 2 ) = ( 2 ) = = 2 3 f) ( ) 1 = = 2 2 ( 2 ) 2 = g) [ ( + 1) 3 ] = ( + 1 ) 3 + ( + 1) ( 3 ) = = 1 3 ( ) + ( + 1) = 3 + ( + 1) = = = = Eercício 2. Calcule o valor das seguintes derivadas: a) ( ) b) c) log 10 ( 2 + 6) d) ln 1 + e 1 e 7

8 Derivadas de Ordem Superior A derivada de f, segunda derivada de f, representa-se por f d d [f ()] = f () A derivada de f, terceira derivada de f, representa-se por f d d [f ()] = f () Continuando este processo, obtemos as derivadas de ordem superior, a derivada f costuma designar-se primeira derivada de f. Eemplo 3. Função Original f() = f () = 48 3 a Derivada 1 a Derivada f () = f iv () = 48 4 a Derivada 2 a Derivada f () = f v () = 0 5 a Derivada Notação para Derivadas de Ordem Superior 1 a Derivada y f dy d d d [f()] D (y) 2 a Derivada y f d 2 y d n. a Derivada y (n) f (n) d n y d n d 2 d 2[f()] d n d n[f()] D (y) D n(y) Eercício 3. Calcule f (vi) () sendo f (iv) () = ln

9 Teoremas da Derivada da Função Composta e da Função Inversa Teorema 2 Se y = f(u) é uma função derivável na variável u, e u = g() é uma função derivável na variável, então y = f(g()) é uma função derivável na variável e tem-se ou equivalentemente dy d = dy du du d (3) d d [f(g()] = f (g()) g () (4) Eemplo 4. y = f(g()) u = g() y = f(u) a) y = u = + 1 y = 1 u b) y = u = y = u Eemplo 5. Para a função y = u 3 com u = temos dy d = [3u2 ] u= 2 +1 (2 + 1) = 3( 2 + 1) 2 (2) = 6( 2 + 1) 2 9

10 Eercício 4. Uma indústria está a aumentar a sua produção de um artigo à razão de 200 unidades por semana. A função procura semanal admite como modelo a equação p = onde p é o preço unitário e é o número de unidades produzidas numa semana. Calcule a taa de variação da receita relativamente ao tempo, quando a produção semanal é de unidades. Teorema 3 Seja f uma função diferenciável num intervalo I. Se f tem inversa f 1, então f 1 é diferenciável em qualquer para o qual f (f 1 ()) 0 e nesse caso (f 1 ) () = 1 f (f 1 ()), f ((f 1 )()) 0 (5) Eemplo 6. Calcule a derivada da função f() = 3 utilizando o teorema da derivada da função inversa. Determine (f 1 ) (a) sendo f() = 3 4 e a = 6. Resolução: y = 3 = log 3 y Então f () = 1 (f 1 ) (f()) = 1 (f 1 ) (y) = 1 1 y ln 3 = y ln3 = 3 ln 3 = 10

11 Eemplo 7. Seja f() = a) Qual é o valor de f 1 () quando = 3? b) Qual é o valor de (f 1 ) () quando = 3? Resolução: Atendendo a que f é injectiva, tem inversa a) Como f() = 3 quando = 2, então f 1 (3) = 2 b) Atendendo ao teorema anterior vem: (f 1 ) 1 (3) = f (f 1 (3)) = 1 f (2) Então f () = (f 1 ) (3) = 1 3/ = Equação da Recta Tangente e da Recta Normal Como sabemos a equação da recta que passa pelo ponto de coordenas ( 0, y 0 ) e tem declive m é y y 0 = m( 0 ) (6) Vimos anteriormente que o declive da recta tangente ao gráfico de uma função f no ponto de coordenadas ( 0, y 0 ). m = f ( 0 )) (7) Então de (6) e (7) vem que a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas ( 0, y 0 ) é y y 0 = f ( 0 )( 0 ) (8) 11

12 Dado que: a recta normal ao gráfico de f no ponto de coordenadas ( 0, y 0 ) é perpendicular à recta tangente ao gráfico de f nesse ponto rectas perpendiculares têm declives inversos simétricos vem que a equação da recta normal ao gráfico de f no ponto de coordenadas ( 0, y 0 ) é y y 0 = 1 f ( 0 ) ( 0) (9) Eemplo 8. Escreva a equação da recta tangente e da recta normal ao gráfico da função f() = ln ( ) no ponto de abcissa = 1. Resolução: ( 0, y 0 ) = (1, f(1)) = (1, ln 4) f () = f (1) = 6 4 = 3 2 equação da recta tangente: y ln 4 = 3 ( 1) 2 equação da recta normal: y ln 4 = 2 ( 1) 3 12

13 Aplicações da Derivada Etremos e a Primeira Derivada Nesta secção vamos estudar os pontos em que uma função passa de crescente a decrescente, ou vice-versa. Podemos utilizar a derivada de primeira ordem de uma função para determinar se a função é crescente ou decrescente num intervalo. Teorema 4 Seja f uma função que admite primeira derivada num intervalo aberto I. 1. f () > 0, I f é crescente em I. 2. f () < 0, I f é decrescente em I. 3. f () = 0, I f é constante em I. Nos pontos onde, uma função passa de crescente a decrescente, ou vice-versa, a função tem um etremo relativo. Os etremos relativos de uma função incluem os mínimos relativos e os máimos relativos da função. Observando o gráfico que se apresenta abaio podemos constatar este resultado, a função tem dois etremos relativos - o ponto à esquerda é um máimo e o ponto à direita é um mínimo relativo. Estes pontos são pontos onde há alteração de monotonia da função. 13

14 y máimo relativo f. decrescente f. crescente f. crescente mínimo relativo Se observarmos os gráficos seguintes podemos verificar que em ambos os casos temos um máimo relativo. Esse máimo é obtido em pontos onde f () = 0 ou f () não está definida - pontos críticos. y máimo relativo f (c) = 0 tangente horizontal y máimo relativo f (c) não é definida c c Teorema 5 Se f tem um mínimo relativo ou máimo relativo quando = c, então ou f (c) = 0 ou f (c) não está definida. Desta forma, para sabermos quais os etremos relativos de uma função basta testar os pontos críticos da função. Encontrados estes, o seguinte resultado permite-nos identificar os máimos e mínimos relativos e/ou pontos sela. 14

15 Teorema 6 Seja = c um ponto crítico da função f contínua no intervalo (a, b) que contém c. Se f é diferenciável no intervalo (a, b), com a possível ecepção de = c, então: 1. f () muda de positivo para negativo em = c, então f tem um máimo relativo em (c, f(c)). 2. f () muda de negativo para positivo em = c, então f tem um mínimo relativo em (c, f(c)). 3. f () é positivo em ambos os lados de = c, ou negativo em ambos os lados de = c, então f(c) não é máimo relativo nem mínimo relativo, é um ponto sela. Eemplo 9. Para calcularmos os etremos, se eistirem, da função f() = começamos por determinar os pontos críticos: f () = = 15 2 (1 2 ) = 0 = 0 = 1 = 1 Valor de f () f() ց min ր pt ր má ց rel sela rel Então f( 1) = 2 é mínimo relativo, f(1) = 2 é máimo relativo e = 0 é ponto sela. 15

16 Concavidade e a Segunda Derivada Analisando o gráfico de uma função facilmente constatamos os intervalos onde a sua concavidade é voltada para cima ou para baio. No entanto, se não estivermos a visualizar o gráfico da função para sabermos as concavidades dos gráficos temos de fazer um teste analítico. Acontece que podemos utilizar a segunda derivada da função para determinar esses intervalos, precisamente como utilizamos a primeira derivada da função para determinar os intervalos onde a função é crescente e decrescente. Teorema 7 Seja f uma função que admite segunda derivada num intervalo aberto I. 1. f () > 0, I f tem concavidade voltada para cima em I. 2. f () < 0, I f tem concavidade voltada para baio em I. Para uma função f contínua, podemos calcular os intervalos em que f tem concavidade é voltada para cima ou para baio.( Para uma função descontínua, os intervalos de teste devem ser formados utilizando-se os pontos de descontinuidade juntamente com os pontos em que f () é zero ou não é definida). 16

17 Eemplo 10. Para estudarmos a concavidade da função f() = começamos por determinar os pontos onde a segunda derivada se anula: f () = 0 30(1 2 ) ( 2) = = 0 30( ) = = 0 = 2 = 2 Valor de f () f() pt pt pt + inf inf inf Então, podemos afirmar que a função tem concavidade voltada para 2 2 baio no intervalo ( 2, 0) (, + ) e concavidade voltada para cima no intervalo (, 2 ) (0, 2 ) Indeterminações: Regra de Cauchy Em secções anteriores estudámos limites como 2 1 lim 1 1 e lim

18 e um processo para calcular esses limites. Vamos agora aprender um novo processo analítico para o cálculo de limites. Regra de Cauchy: Seja (a, b) um intervalo que contém c. Sejam f e g funções dife- renciáveis em (a, b), ecepto possivelmente em c. Se o limite de f() quando tende para c resulta na forma indeterminada g() 0 0 ou, então f() lim c g() = lim f () c g () desde que o limite da direita eista ou seja infinito. A forma indeterminada pode apresentar-se de quatro formas: + +, +, + e. A Regra de Cauchy pode aplicar-se sucessivamente. Eemplo 11. a) lim + b) lim e e e = lim + = lim e = lim 2e2 + 2 e = lim 1 2e = 0 2 e = 0 18

19 Eercícios 1. Considere a função real de variável real definida por f() =. f( + h) f() (a) Mostre que lim = 1 h 0 h 2f(). (b) Interprete o significado matemático do limite calculado na alínea anterior. 2. Na figura estão representadas três funções, a função f, f e f. Faça corresponder a cada uma das funções o respectivo gráfico. 3. De uma função f sabe-se que f (2) = 5. (a) Qual é o significado geométrico do valor 5, indicado como derivada da função no ponto de abcissa = 2. (b) Determine o valor de lim 2 f() f(2) Determine as derivadas das seguintes funções: (a) f(t) = t 7 + 8t 4 t (b) f() = (2 1) + 2 (c) f() = ln()e + 1 (d) f(s) = (2s 2 3s + 1)(9s 1) 4 (e) f() = ln (f) f(y) = y2 1 y + 3 ( ) (g) f() = ln( 2 + 2) + e 2+ e u (h) f() = log 3 ( + e ) + e (i) f(u) = ln u 19

20 a + 3b se 2 5. Seja g() = + 4 se > 2, (a, b IR) uma função de domínio IR. (a) Determine os valores de a e b de modo que a função f seja contínua em IR. (b) Comente a seguinte afirmação : Eistem valores a e b diferentes dos obtidos na alínea anterior onde a função f é diferenciável em = Determine, caso eistam, os pontos em que o gráfico da função f() = tem recta tangente horizontal. 7. Considere a função f definida por f() = e/2 (a) Estude os intervalos de monotonia e eistência de etremos para a função f. (b) Estude a concavidade e a eistência de pontos de infleão para a função f. (c) Mostre que a recta tangente ao gráfico de f na origem é perpendicular à recta dos quadrantes pares e coincide com a recta dos quadrantes ímpares. 8. Considere a função f definida por ln( + 1) se > 0 g() = se 0 2 (a) Determine caso eista g (0). (b) Comente a seguinte afirmação: A função g tem concavidade voltada para cima para < 0 e é monótona crescente para > 0. (c) Determine a equação da recta tangente e da recta normal ao gráfico de g em = As funções preço de venda e custo de um produto admite respectivamente como modelos: P v () = 75 e C() = onde é o número de unidades produzidas. (a) Estabeleça a função lucro para este produto. (b) Determine o lucro marginal para a produção de 80 unidades. (c) Que nível de produção proporcionará lucro máimo? 20

21 10. O custo anual (em milhões de euros) para um departamento do governo apreender p% de uma droga ilegal é C(p) = 528p 100 p, 0 p < 100. Determine a taa de variação do custo quando p = 30%. 11. Um contabilista estimou que o custo de aquisição e armazenagem de unidades de um produto é dado por C() = , 0 < < 200. Determine o numero de unidades de modo que o custo seja mínimo. 12. Numa fábrica, o custo total da produção mensal de q centenas de peças, epresso em milhares de euros, é dada por: C(q) = q 3 12q q (a) Determine o custo marginal, e calcule o seu valor para seis centenas de peças. (b) Estude a variação do custo total no intervalo ]0, 8[. Qual o número de peças que aconselha ao fabricante para que o custo total seja mínimo? 13. O custo com máquinas registadoras de um supermercado é função do número de máquinas que estão a operar num dado momento. Sendo o número de máquinas, o custo estimado C, em euros, é dado por C() = Quantas máquinas deveriam estar a operar de modo que o custo fosse mínimo? 14. O custo de inventário depende dos custos de eecução da encomenda e da armazenagem, e é dado por C() = ( ) Q ( s + r, 2) onde Q é o número de unidades vendidas por ano, r é o custo da armazenagem de uma unidade durante 1 ano, s é o custo da colocação de um pedido, e é o número de unidades no pedido. Determine o tamanho do pedido que minimize o custo quando Q = 10000, s = 4, 5 e r = 5,

22 15. A venda anual S de um novo produto é dada por: onde t é o tempo em anos. S(t) = 5t 8 + t2, 0 t 3, Determine o instante eacto em que a venda anual estará a crescer com taa máima. 16. Um comerciante vende unidades por mês ao preço de 10 ε cada. Ele pode vender mais 250 unidades por mês para cada 0.25 ε de redução no preço. que preço unitário maimizará a receita? 17. Se h() = f(g()) com f(2) = 4, g(2) = 2, f (2) = 3 e g (2) = 5, calcule h (2). 18. Mostre que d d (ln(1 + e )) = e 1 + e, utilizando: (a) O teorema da derivada da função composta. (b) O teorema da derivada da função inversa. 19. Se s = 3r 2 2 r + 1 e r = t 3 +1, utilize a regra da cadeia para determinar o valor de ds dt. 20. Seja f uma função real de variável real tal que a equação da recta tangente ao gráfico de ( ) f no ponto de abcissa 1 é y = 2. Sabendo que g() = f e 2 +2, calcule g (0). 21. Seja f uma função diferenciável em IR tal que f(2) = 1 e f(4) = 1. Considere a função g() = f(), IR. (a) Prove que a função g() = 0 tem pelo menos uma raiz positiva. (b) Prove que eiste um β ]0, 2[ tal que a tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa β é paralela à recta y =. 22. Calcule, caso eista, cada um dos seguintes limites: 4 3 (a) lim 0 (b) e lim + 2 (c) lim 1 e 1 ( 1) 2 2 (d) lim 0 e 1 2 (e) 4 lim ln() (f) lim

23 23. Considere a função f() = e + ln() (a) Determine o diferencial de f. (b) Determine a variação da função f se varia de 1 para 1,02. (c) Calcule o valor aproimado de e ln(1.1). 24. O lucro auferido com a venda de unidades de um produto admite como modelo P = Utilize o diferencial dp para aproimar a variação no lucro quando o nível de produção aumenta de 50 para 51 unidades. Compare com o lucro efectivo decorrente do aumento do nível de produção de 50 para 51 unidades. 25. Considere as funções f() = ln() e g() = 1 1 (a) Calcule o diferencial de fog. (b) Mostre, utilizando diferenciais que (f og)(0.1) A venda mensal de cotas de um clube recem-inaugurado tem por modelo M(t) = 300t t , onde t é o número de meses decorridos desde a abertura do Clube. Sabendo que o Clube abriu no inicio de Janeiro de 2005, determine: (a) o mês do ano onde se venderam mais cotas. (b) a variação das vendas de cotas na primeira semana de Junho. 27. O custo anual do controle de stock para um fabricante é C = , 3Q, onde Q é Q o vulto do pedido quando se repõe o stock. Determine a variação anual do custo quando Q é aumentado de 350 para O custo (em euros) da produção de unidades de um artigo é dado por C() = Determine, utilizando diferenciais o valor aproimado do custo da produção de 15 unidades do artigo. 23

24 29. Na figura seguinte está representado o gráfico de uma função r.v.r., y = f(): y 6 y = f() (a) Sem efectuar cálculos, justifique que f() não é diferenciável no ponto de abcissa = 1. (b) Seja h() = e 1, IR. Determine a epressão que define f(), IR, sabendo que f() = h 1 (), 2. (c) Com base no gráfico de f(), indique a solução da inequação f() < 0. (d) i. Sem efectuar cálculos, indique, justificando, qual o valor do declive da recta tangente ao gráfico de f quando = 0. ii. Prove que o ponto de abcissa = 0 é o único ponto do domínio de f onde o declive da recta tangente ao gráfico tem o valor apurado na alínea anterior. (e) Mostre, não efectuando cálculos, que a função f() se < 1 g() = f() 2 se 1 < 2 f() se 2 é contínua em = 1. 24