Soluções das questões. algumas propostas de resolução

Transcrição

1 Soluções das questões e algumas propostas de resolução 5

2 Tema I e II - Soluções Epressões Algébricas e Condições 1.a) 3 em IR \{-;0} b) 3 em IR \{-3; 0} d) 11 1 em IR \{-1;1} 1 f ) (3 ) em IR \{0;1} e) 3 1 g) 1 c) 1 em IR \{- ; } ( ) 3 em IR \{0} em IR \{-3/ ;1}. c) a) ( 3)( 1) em IR \{-4;0} b) em IR \{0;1,3} 5 1 em IR{-,-1;1} a) 7 b) 1 9/em IR\ {0;3} 3. c) impossívelem IR \{-;} d) i mpossível e) c.s. { 4;4} e) c.s. {3;11} f ) c.s. {1} 4. a) d) g) IR \[;4] b) IR \[-5;3] c) IR \[-3;] IR \ ( ]-3;3[U{5}) e) ] ; 5[ [;3] f ) ] ;3[\{0;1 } ] 1/ ;13[ h) log log ( 1) 4 log ]0; [ ( ) log 4 ( 1) log ( )

3 i) l) ] - ;-1[ j) / 1 9 k) 5 impossívelem IR 3 / 5 0(porquea baseé menor que1) m) ( )( ) 0 (3 1) 0 n) ]0, 3 1[ <=> <=> <=> 6. Escolha c) 7. Escolha D) 8. ]- ;-]U[-1;5] 9. (- ) (+ )(-1)(+1) O resto é (- ) (-1+ )(-1). 11. Escolha B) 1. Escolha a) 13. <=> <=> <=> <=> <=> as raízes são θ = a) X=-3 v =0 v =3 v =5 b) elaborar o quadro dos sinais c) [-3;0] U [3;+ [ d) deslocar à esquerda 4 unidades, 54

4 13.. a) IR\{-3,0;3} 14.. b) IR\{-,;4} sinal de P() Sem determinar o P(), resolve as condições: a) ( 5). P() = 0 ( 5). P() =0-5=0 v P() = 0 =5 V =-3 V =0 V =3. b) ( 4). P() 0 Є [-3;-] U [0;] U [3; + [ sinal de P() ( 4). P() c) P() 0 P() 0 P() < 0 Є ]-3; 0 [ U ]3; + [. d) P( 4) > sinal de P( +4) P( + 4) > 0 -, - 7-4, O conjunto dos valores reais de que dão significado a cada uma das epressões é o domínio da epressão: a) P( ) Domínio= IR\ {-3;0;3} b) P( 1). Domínio= IR\ {-;1;4} 55

5 Tema III Geometria no plano - Soluções 1. A) k=-1. D) 3. A) 4. B) 5. B) 6.1. B) 6.. K= 7. C) 8. B) 9. B) 10.B) 11. C) 1.1. m = => (4,3) 1. (-3,4) t (,y)= (0; -3) +K(-1;1) 1.6 < => então F (, ) Falsa 13.. Verdadeira Verdadeira D (-; -11) 14.. t (,y)= (-1; ) +K(;8) y= = 3k y = kє IR y = + b. Se passa por A(5, ) então verifica =.5 + b < => b= assim a equação reduzida da recta é dada por y = AB // => // => 16. D) 17. Comece por ver que há triângulos rectângulos com um dos ângulos agudos iguais e por isso semelhantes. Utilize a projecção de um vector sobre outro. 18. B) 19) B) 0. sen cos = cosα+ (-cosα)= 0 donde opção A) = π/ e A()= 50sen (π/) = 501=

6 ou.3. b = = -(-3) + é falso 3.. ou A) 5. E) 6. B) 7.B) 8. D) 9. = =. Mas como então só pode ser k= -1 donde

7 Tema IV Sucessões Soluções 1. D).1. e..3 =.4.. Assim, será a partir do 8º termo inclusivé. 3.(A n ) = =.1. e 4.. Não porque Estritamente decrescente tendo em conta que, (U n ) é monótona e limitada logo (U n ) é convergente. 5. C) 6. O n=799 a menor ordem que verifica U ( 0,1 3) n V 6. b= 1/ r= 1/3 => S= 6.4 U 1 = n = É A) 13. B) n = (X n ) é estritamente dec Nenhum termo pertence ao intervalo referido A) 16. B) 16. A) 17. A) 18. C) 19. B) 0. A) 1. A). C) 3.1. T n+1 - T n = (m. crescente) , -1 <Z n <1 58

8 4.3. Não é limitada porque admite uma subsucessão (a dos termos de ordem par) que tem limite -1 e uma outra subsucessão (a dos termos de ordem impar) que tem limite lim W n = Com base na alínea anterior (W n ) não é limitada. 5.3 W n+1 - W n = n+19>0 V W n+1 - W n = n-13 que só é positivo a partir de n> n >100 n-15>100 n> n > n>517,5 para n>

9 Tema V e VI Funções Reais de Variável real; Derivadas e suas aplicações - Soluções a k (k 1), k Z C) 3. B) 4. A) 5. B) 6. D) 7. Y= 1/3 7.. l n ( ) 7.3 é decrescente em todo o domínio. 8.1 Não eiste limite 8.. Não é contínua para = em IR -, f ()= 1/ (-1) => f (0)= 1/ (0-1)= y = ,,, ; D= ; 1 1 ; CD= ; ; 11. =1 y= y= V, F, F, F, F. 1.1 j()= 1 em IR\{} 1. Os gráficos são iguais. 13. A) 14. C) 15. C) 16. f()=0=0v=6 y= e y=6- =0v=5. para =5 y=5 donde A(5,5). 16. Area= 65/= 15 unidades de medida TMV= f ()= 6- => f (4)= 6-8 = C(3/, 7/4). 57. De uma função f de domínio [1; 3] sabe-se que: f é contínua em todo o seu domínio f() < 0 para qualquer do intervalo [1; 3] f(1)= f(3) Das afirmações seguintes em relação à função f, identifique as que são verdadeiras: As resoluções passam pela procura de um contra-eemplo g) A função f é uma função constante. 60

10 Pode ser verdadeira mas também pode ser falsa pelo que não pode ser escolhida E: para f 1()= - 4 verifica as condições do enunciado mas não é constante. h) O gráfico da função f situa-se no semi-plano inferior direito. Verdadeira para qualquer função nas condições do enunciado. O Domínio coloca o gráfico no semi-plano direito e as imagens negativas situam o gráfico no semi-plano inferior. i) A função f é ou monótona crescente ou monótona decrescente. Falsa, porque por eemplo a função f 1()= - 4 não é monótona no intervalo [1;3] embora verifique as condições do enunciado. j) A função f admite = 1 e = 3 como maimizante. Falsa, porque por eemplo a função f ()= , =1e =3 não são maimizantes. k) Se a função f não for constante então admite etremos. Verdadeira. l) Nada se pode concluir em relação à injectividade da função f. Falsa. Porque a função é certamente não injectiva já que 1 3 e f (1)= f(3). 58. De uma função f, de domínio IR, sabe-se que: a sua derivada, f, é definida por f () = (-)e a ordenada do ponto de intersecção do seu gráfico com o eio dos yy é Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto em que intersecta o eio dos yy. A recta tangente tem equação y = m+b. A recta é tangente no ponto (0; 3) e m= f (0) = (-0)e 0 = 1=. Então uma equação é y = + 3 (por ser 3 a ordenada na origem) Identifique os intervalos de monotonia da função f. A monotonia pode ser estudada através dos sinais da função derivada: - + f () f() Ma Assim, de acordo com o quadro podemos concluir que f é monótona crescente para Є ] - ; ] e decrescente para Є [; + [ Conclua sobre a eistência de etremos. 61

11 De acordo com a análise do quadro anterior a função admite um máimo no ponto de abcissa =. 60. Sabe-se que a concentração, C, em miligramas por litro, de um analgésico, na circulação sanguínea, t horas após a sua ingestão, é dada por: C(t) = 10 (e -t e -t ) 60.1 Determine o tempo necessário para que a concentração desse analgésico seja superior a 0,01. C(t)>0,01 10 (e -t e -t ) )>0,01 e -t (1 e -t )>0,001 e -t +e -t - 0,001>0 e -t -e -t - 0,001< 0 Calc. Auiliares e -t -e -t - 0,001= 0 (e -t ) - e -t - 0,001= 0 e -t = 1 0,996 v e -t = e -t 1 v e -t ,996 e -t 1,998 v e -t 0,00 v t ln1000 t 0 v t 6, 9 t 0 Assim, o tempo necessário para uma concentração superior a 0,01 miligrama é entre perto das 0 horas até cerca 6,9 h depois. 60. Mostre que C (t) = 10 (e -t e -t ) C (t) = (10 (e -t e -t )) = 10(-e -t (-)e -t )= 10(-e -t + e -t )= 10(e -t e -t ) 60.3 Determine o tempo (hora) a partir do qual a concentração começa a diminuir. Começa a diminuir depois de atingir um máimo: Verificar se o valor que anula a derivada é um máimo. C (t) =0 10(e -t e -t )=0 10e -t (e -t -1)=0 e -t -1=0 e -t =1/ t=ln t 0, 69 t 0 ln + C (t) C (t) Ma Logo começa a diminuir cerca de 0,7 de horas após ter sido ingerido. 63. Considere o triângulo da figura inscrito numa semi-circunferência de centro C Justifica que o triângulo é rectângulo. Trata-se de um triângulo inscrito numa semicircunferência e como todos nessas condições ele também é por isso rectângulo. 63. Eprima a área (A) do triângulo em função do raio e do cateto.. C 6

12 Num triângulo rectângulo a área é dada pela metade do produto dos catetos. Um dos catetos é, a hipotenusa = r (diâmetro da circunferência ). O outro cateto pode ser obtido através do teorema de Pitágoras por c = 4r e a área por A() = r Qual deve ser o raio da circunferência para que o ângulo tenha área 10 e um cateto seja o dobro do outro? Se é um cateto e é o dobro do outro então c 1= e c = e A = (1/ do produto dos catetos). Se A =10 então = 10. Pelo teorema de Pitágoras (r) = () + 4r = 4 + 4r = 5, então r = 5 Se = 10, então r = 5 r = Se o raio for igual a 5, qual é a maior área do triângulo inscrito? 4. Seja b o outro cateto. 10 = b +, então b = c donde A = 100. A ()= ( 100 ) = 100 A ()=0 <=> 100 = 0 <=> 100- = <=> = 50 <=> = 5 v = 5. Como deve ser positivo então a solução é analisada apenas para = 5. Pela análise do quadro seguinte podemos concluir que se trata de um máimo. Assim a área do triângulo é máima para um triângulo rectângulo de catetos iguais a A () A() Na figura pode encontrar parte da representação gráfica de uma função f, de domínio IR. Tal como a figura sugere, o eio OX e a recta de equação Y=1 são assímptotas do gráfico de f. Seja g a função, de domínio IR, definida por g() = ln [ f () ] Numa das opções dadas está parte da representação gráfica da função g. Em qual delas? 63

13 Trata-se da opção A pelas seguintes razões: Como então Como então =0 é maimizante para f donde sê-lo-á também para g já que ln é injectiva e estritamente crescente. 64

14 Testes De Instituições diversas 65

15 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E ENSINO SUPERIOR INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA & TECNOLOGIA Prova de Selecção para os Candidatos ao Curso de Licenciatura em Matemática referente ao Ano Lectivo 006/07 Data: 05/09/006 Duração: h30m 1. Desligue o seu telemóvel.. Não utilize calculadoras. 3. Leia atentamente cada uma das questões antes de iniciar a sua resolução. 4. Apresente todos os cálculos que efectuar e justifique todos os passos nas suas resoluções. 5. Antes de entregar certifique-se que não se esqueceu de responder a nenhuma questão. 1. Factorize o mais possível o polinómio sabendo que ele é divisível por ( +) A( ) ,. Num r.o.n. O, (e, f ) c( c, c 1), 1 com c, c, 1 b IR. são dados os vectores a(,3), b( 3, b ) a) Determine para que valor(es) reais de b, o vector b faz um ângulo de 30º com e ( o 1º vector da base). b) Identifique a relação que deverá eistir entre 1, entre os vectores c e a. c, c de modo a garantir a ortogonalidade e 3. Seja T um triângulo equilátero. Construa-se 1 T a partir de T, unindo os pontos médios dos 1 lados de T e pintando a negro o triângulo central. Construa-se 1 T a partir de n T n-1, (n > ) repetindo, em cada um dos triângulos que ficaram em branco, a construção indicada, de acordo com a figura. a) Quantos triângulos brancos há em T? 5 b) Sendo X n o número de triângulos brancos da figura T n, e sendo A n a área de cada um deles, mostre que as sucessões (X n ) e (A n ) são progressões geométricas e identifique aquela que for crescente. 66

16 c) Mostre que a sucessão cujo termo geral é a área total da parte branca da figura T n, é um infinitésimo. (Caso não tenha conseguido o termo geral da sucessão pedida, utilize a 3 1-3n sucessão w= ). n - n n 9 continua n 7 4. Calcule lim n 5 5. Resolva em IR a seguinte inequação, n As funções g e j estão definidas respectivamente por g ( ) e j( ) a) Transcreva para a sua prova a igualdade correcta (ou A ou B ou C). 18 ( -3) A: ( g j)( ) 1 B: ( g j)( ) -3 C: ( g j)( ) 3 3 b) Analise a função g quanto à monotonia e eistência de etremos. c) Averigüe e justifique com três características se o gráfico de g podia ou não ser o seguinte: 7. Considere a função real de variável real f, definida por f ( ) log cos( ) 7 a) Calcule, na sua forma mais simples, a imagem de dada por f. 8 b) Determine o domínio de f. c) Analise e justifique se f é ou não uma função limitada. Questão 1..a.b 3.a 3.b 3.c a 6.b 6.c 7.a 7.b 7.c Cotação

17 68

18 69

19 70

20 71

21 7

22 73

23 74

24 75

25 76

26 77

27 78

28 79

29 80

30 81

31 8

32 83

33 84

34 85

35 86

36 87

37 88

38 Bibliografia Abrantes, P., Carvalho, R. (1986). M 1- Matemática. Lisboa. Teto Editora. Abrantes, P., Carvalho, R. (1986). M 11- Matemática. Lisboa. Teto Editora. Agudo, F. R. Dias. (1989). Análise Real, Volume I.Lisboa. Escolar Editora. Alves, A., Neves, M. A., Vieira, M.T., (1984). Eercícios de Matemática: 1ºano.Porto. Porto Editora. Apostol,Tom (001). Cálculo Vol I. Barcelona. Editorial Reverté, S.A. Campos, J. Ferreira Introdução à Análise Matemática. Lisboa. Fund. Calouste Gulbenkian. Demidovicth, B. () Análise Matemática. Brasil. Editora MCGraw Hill. Gomes, F., Lima, Yolanda (1994). 11º Matemática: XEQMAT. Lisboa. Editorial o Livro. Guidorizzi, Hamilton (1998). Um Curso de Cálculo Vol I e II. 3ª edição. Rio de Janeiro. Editora LTC, S.A. Neves, Mª Augusta, (000). Matemática 11ºano - Parte 1: Geometria. Porto. Porto Editora. Neves, Mª Augusta, (000). Matemática 11ºano - Parte : Funções. Porto. Porto Editora. Neves, Mª Augusta, (000). Matemática 11ºano - Parte 3: Sucessões. Porto. Porto Editora. Neves, Mª Augusta, (000). Matemática 1ºano - Parte : Funções 3. Porto. Porto Editora. Neves, Mª Augusta, (000). Matemática 1ºano - Parte 3: Trigonometria. Porto. Porto Editora. Neto, José (003). Como se faz? Matemática 1ºano: Eercícios e Resoluções. Lisboa. Edições ASA. Sequeira, F. (001). Análise Matemática Vol I e II. Portugal. Editora Litea. Silva, J.S. ( ). Compêndio de Matemática e Guias de Utilização. Edição GEP Ministério da Educação, Lisboa. Piskounov,N. (1975).Cálculo Diferencial e Integral, Vol I. Porto. Livraria Lopes da Silva Editora