Lista 8. Bases Matemáticas. Funções Quadráticas, Exponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas. Funções Quadráticas

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1 Lista 8 Bases Matemáticas Funções Quadráticas, Eponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas Funções Quadráticas Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando em quais intervalos as funções são crescentes e decrescentes e encontrando as coordenadas dos pontos de máimo e/ou mínimo. a) f () = ( ) + b) f () = ( ) c) f () = ( + ) + d) f () = ( + ) e) f () = f) f () = g) f () = 6 + h) f () = 7 + i) f () = + j) f () = Um fazendeiro pretende construir um chiqueiro retangular e para isso possui 00m de cerca. Ache as dimensões do chiqueiro de modo a maimizar a área do mesmo. Qual é essa área? Uma calha é feita dobrando uma folha de alumínio de 0cm de largura de modo que as laterais formem um ângulo reto com o fundo. Determine a profundidade da calha que maimiza o volume de água que a calha suporta. Um fazendeiro possui 000m de cerca para construir 6 currais conforme mostrados na figura abaio. Ache as dimensões que maimizam a área cercada. Determine essa área. 5 Um projetil é lançado no ar. A função que descreve sua altura em relação ao solo em função do tempo é dada por: h(t) = h 0 + v 0 t gt sendo h 0 a altura inicial, v 0 a velocidade inicial e g a aceleração da gravidade (constate). a) Em que instante de tempo a altura máima é atingida? b) Depois de quanto tempo o projetil atinge o solo? c) Determine a altura máima atingida pelo projetil se ele for lançado do solo. d) Para um projetil lançado do solo, o que

2 acontece com sua altura se dobrarmos a velocidade inicial? Eponencial 6 Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eios e y, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes, decrescentes e os pontos de máimo e mínimo local se eistirem. a) ( π) b) ( π) (+π) c) d) ( π) 5 e) 5 f) 5 + g) + + h) 7 Esboce o gráfico das funções f () e g() no mesmo sistemas de coordenadas cartesianas: a) f () = e g() = b) f () = h () com h() = g() =. 8 A eplosão da usina de Chernobil em 986 lançou aproimadamente 000 quilogramas do elemento radioativo césio 7 na atmosfera. Sabendo que o césio 7 possui uma meia vida de 0 anos, ou seja, a cada 0 anos a quantidade de césio 7 cai pela metade. a) Escreva a função que descreve a massa de césio na atmosfera em função do tempo. b) Determine em quanto tempo a massa de césio na atmosfera reduzirá a kg. Logaritmo 9 Determine o domínio das seguintes funções: a) log + b) log c) log + d) log cos() 0 Esboce os gráficos das seguintes funções: a) log( + ) b) log c) log d) log Use as propriedades do logaritmo para epandir as epressões abaio o máimo possível: a) log 9 9 b) log 9 9 c) log 6 + d) log y 5 e) log 000 (5 ) (+) Use as propriedades do logaritmo para condensar as epressões abaio o máimo possível: a) (log () log (y)) b) (log () log (y)) c) log + 7 log + log z d) log() log z e) (log log y) + log ( + ) Resolva as seguintes equações:

3 a) 0 = 5 b) 0 = 00 c) + = 0 d) 5 + = e) log 5 ( 7) = f) log ( ) = g) log 6 ( + 5) + log 6 () = h) log ( + ) = i) log ( ) + log () log ( + ) = Funções Trigonométricas Determine o domínio das seguintes funções: a) tg( ) b) cos() c) arccos + d) cos 5 Esboce os gráficos das seguintes funções: a) cos b) sen( + π) c) sen() + d) tg( ) e) sen() 6 Calcule a) sen(a) sabendo que cos(a) = b e 0 a π/ b) sen(a) sabendo que tg(a) = b/c e 0 a π/ c) sen(a) sabendo que tg(a) = b/c e π/ a π d) cotg(a) sabendo que sen(a) = b/c e 0 a π/ 7 Calcule a) arcsen( ) b) arctan() arctan( ) c) arcsen(cos()) 0 π/ d) arcsen(cos()) π/ π/

4 Respostas dos Eercícios a.)coordenadas do ponto de mínimo (, ). A função é crescente para e decrescente para A 5 a.)a altura máima é atingida no tempo t = v 0 /g b.)dica: procure a maior raiz da equação quadrática c.)nesse caso h 0 = 0 6 a.) Translação por π, j.)dica: Faça a substituição t = para encontrar as raízes e os pontos de máimo e mínimo. Raízes:,. Pontos de mínimo: (, 9 ) e ( ). Ponto de máimo: (0, ). Decrescente para e [0, 0 ]. e.) ( π) g.)o gráfico de (+) + é obtido transladando o gráfico de uma unidade para a esquerda e duas unidades para cima. A área do chiqueiro é dada pela função A() = (50 ) = (+) + 50 A coordenada do vértice da parábola é b/a. Logo o máimo ocorre quando = 5 e nesse caso o chiqueiro é um quadrado de área 65 9 a.)r b.)(, )

5 c.)(, ) (0, + ) d.)o domínio é a união dos intervalos da forma ( π + kπ, π + kπ), com k Z. 0 b.)dica: log = log. a.)+log 9 b.) log 9 d.)log (y) + log() log(5) a.)log ( y a.)log 0 5 b.)5 ) c.)dica: faça t =. d.) +log 5 +log 5 = log a.)r\{ π + kπ} com k Z c.)[, ] 6 a.) b ; b b.) c.) b +c ; b b +c 7 c.) π ; d.) + π 5