Exercícios Matemática I (M193)

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1 Exercícios Matemática I (M93) Funções. Associe a cada uma das seguintes funções o gráfico que a representa. a) f(x) = 2x + 4. b) f(x) = 3x +. c) f(x) = x 2. d) f(x) = 2x 3. e) f(x) = 0 x. f) f(x) = (0, ) x. g) f(x) = 3 x. h) f(x) = ln x. ) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 2. Determine as funções f(g(x)) e g(f(x)) nos casos seguintes. a) f(x) = 2x 2 x +, g(x) = sen x. b) f(x) = x 2, g(x) = x. c) f(x) = sen x, g(x) = x. d) f(x) = x + x+, g(x) = x x+2 e) f(x) = x 3+x 2, g(x) = x 3. f) f(x) = x 2, g(x) = e x. 3. Escreva cada uma das seguintes funções F (x) na forma f(g(x)). a) F (x) = x 2 +. b) F (x) = sen 2 x. c) F (x) = x2. d) F (x) = 2x+3 x 2. e) F (x) = x6 x 2. f) F (x) = e 3+x2. g) F (x) = sen 3 x 2sen 2 x Resolva cada uma das equações seguintes de forma a obter y como função de x. a) xy+2x+3x 2 = 4. b) 4x 2 +9y 2 = 36. c) x + y =. d) x+ y = Calcule: a) arcsen 3. b) arccos 3. c) arcsen ( ). d) arccos ( 2 ) e) sen (arcsen 2). f) cos(arccos ( )). g) arccos (sen π ). h) sen (arccos x) i) cos(arcsen x). j) arcsen (sen π). k) arcsen (sen ( π)). l) arccos (cos π) m) arccos (cos 3π). n) arccos (cos (20π)). o) arcsen (sen 3π). 5 5 p) arccos (cos( π 8 π 3π )). q) arccos (cos ). r) arcsen (sen ). 8 0

2 Matemática I (M93) 2 6. Calcule: a) ln( ). e x b) e 2 ln(x2). c) ln(e x e y ). d) ln( ex ). e y e) e ln x+ln y. f) ln((e x ) 2 /e x2 ). g) log h) log i) log j) log k) log 0 0. l) log 0. m) log Determine a derivada de cada uma das seguintes funções. a) y = x +. b) y = x2 + 2x 2. c) y = 8 2 x + 9x 3x2. d) y = + 3x. e) y = 3. f) y = (3x) 3. 2x g) y = x 5 2 x 5 2. h) y = x + x 2. i) y = ( x x 2 + ) 2 3. j) y = x sen x cos x. k) y = e x x. l) y = sen (x 2 ). m) y = sen 2 (x). n) y = sen (cos x). o) y = + sen 2 x. p) y = + sen 2 x. q) y = sen ( x + x 2 ). r) y = arcsen (x + ). s) y = arctg (x/3). t) y = (2 arctg x) 3. u) y = e 2x+. v) y = e x2. w) y = e x 2. x) y = e sen x. y) y = (e x + e x ) 2. z) y = ex2 x Determine a derivada de cada uma das seguintes funções. a) y = 3 x. b) y = 3 7x + 7 x. c) y = x x. d) y = ln(x 3 ). e) y = ln x 3 3 ln x. f) y = ln(x 2 + ). g) y = log 0 x. h) y = x log 2 (x + ). i) y = x ln x. j) y = x (ln x)/3. 9. Supondo que cada uma das equações seguintes define implicitamente y como funçãoderivável de x, determine a derivada dy em termos de x e de y. dx a) x 2 + y 2 2 = 0. b) x 2 + xy = y 3. c) x 2 y 3 = 2x y. 0. Calcule os seguintes limites: x 3 2x 2 x + 2 sen x x cos x sen x a) lim x x 3. b) lim. c) lim 7x + 6 x 0 x x 0 x 3. e x d) lim. e) lim x + ln x (x + x + )e 2x. g) lim x + x 2 ( 2 )x. h) lim x xex. j) lim x ex ln x 2. f) lim x 0 ( 3 x 2 x i) lim. x 0 + x sen 2 x x ). + k) lim x ln x. l) lim x 0 + x + ln(x2 x ).

3 Matemática I (M93) 3 Primitivas. Calcule as seguintes primitivas: a) ( + x 2 x 3 ) dx. b) x 3 4 dx. c) 6x 5 dx. d) x 2 x dx. e) + 8x + x 2 x 4 dx. f) (x x )2 dx. g) (x 5) 6 dx. h) x 2 + 2x + dx. i) dx. j) 5 8x + 5 dx. k) (e x +e 4x ) dx. l) (e x + ) 2 x + 4 e x dx. m) 3 x dx. n) (0 4x 2x + 4 ) dx. o) ( + sen (5x)) dx. 3x Calcule as seguintes primitivas: a) x 2 x 3 dx. b) x x 2 + dx. c) x 2 (x 2 4x + 3) 3 dx. d) x e x2 dx. e) e x (e x + ) 2 dx. f) e x e x e x + e x dx. g) x( x + ) 3 dx. i) ( x + 3) 4 x dx. j) x( x + ) dx. h) e x x dx. k) ln x x dx. l) e x e x + dx. m) (2 + ln x) 2 x dx. n) x(ln x) 2 dx. o) x 3 x2 dx. p) x 2 2 x3 dx. q) sen x cos 2 x dx. r) tg x dx. s) (tg x) 3 (cos x) 2 dx. t) tg x ln(cos x) dx. u) x x dx. v) x dx. w) x dx. x) dx. 4 x 2 4 x 2 3. Calcule as seguintes primitivas de funções trigonométricas: a) sen 2 (2x) dx. b) sen x cos x dx. c) cos 4 x dx. d) sen 2 x cos 2 x dx. e) cos 3 x dx. f) sen 3 x cos 2 x dx. g) sen 5 x cos 3 x dx. h) sen 5 x dx. 4. Calcule as seguintes primitivas, usando primitivação por partes: a) xe x dx. b) x 2 sen x dx. c) x 2 e 3x dx. d) (ln x) 2 dx. e) arctg x dx. f) e x sen x dx. g) sen x cos(3x) dx. h) ln( x) dx. 5. Calcule as seguintes primitivas de funções racionais: a) (x 2)(x 3) dx. b) 7x + 5 (2x + )(x + ) dx. c) x + 6 x 2 + 2x 8 dx. d) 6x (x ) 2 dx. e) 9x x 25 3x 3 5x 2 dx. f) 4x 3 + 2x 2 + 4x 3 dx. g) x + x x 2 + 2x + 7 dx. 6. Calcule as seguintes primitivas: a) sen x ln(cos x) dx. b) ( 2x x ) ln x dx. c) x (sen x + sen (x 2 )) dx. d) ( x arctg x + arctg x ) + x 2 dx. e) cos x + sen 2 x dx. f) sen (ln x) dx. g) sen x cos x 2 + sen x dx. h) x dx. i) x dx. x 4 x + 2 j) dx. k) cos( x) dx. l) x x + 4 (x ) 6 dx. m) x + 3 x dx.

4 Matemática I (M93) 4 Integrais 7. Escreva cada uma das seguintes somas na forma de um único integral definido. a) f(x) dx + 5 f(x) dx. b) 6 f(x) dx 2 f(x) dx c) 2 f(x) dx + f(x) + 3 f(x) dx Derive cada uma das seguintes funções : a) F (x) = x 0 (t3 4 t + 5) dt, x > 0. b) F (x) = 0 t4 + dt, x R. x c) F (x) = x 2 sen 3 t dt, x R. d) F (x) = x 2 t4 + dt, x R. 0 2x 9. Calcule os seguintes integrais: a) 0 (2x + 3)2 dx. b) 3 2x x 2 dx. c) 6 x 4 dx. d) 3 e) 2 2 x5 dx. f) π x cos x dx. g) π ( + sen x) dx. h) π π i) π/4 tg x dx. j) π/4 e x dx. k) /e /e 2 x ln x dx. l) Identifique o passo errado na seguinte resolução: x dx = ] = = 2. 2 x π π x dx. sen x dx. e x x dx. 2. Calcule a área da região determinada pelo gráfico de f(x) em [a, b] nos casos seguintes: a) f(x) = x 2 e [a, b] = [, 2]. b) f(x) = e x e [a, b] = [, ]. c) f(x) = ln x e [a, b] = [/e, ]. d) f(x) = sen x e [a, b] = [ π 3, π 6 ]. 22. Calcule as áreas das regiões do plano limitadas por: a) y = x 2, y = x 2, x = e x = 2. b) y = x 2, y = x 4, x = 2 e x = 3. c) y = sen x, y = 2, x = 0 e x = π. d) y = ex, y = e x, x = e x = 2. e) y = x 2 + e y = 5. f) y = x e y = x 2. g) y = 2 x 2 e y = 2 2x. h) y = x 2 e y = x 3. i) y = x e y = x 3. j) y = x, y = x 2 e x = 2. k) 2x y = e y 2 = x. l) x + y 2 = 3 e x y 2 = Estude a convergência dos seguintes integrais impróprios e indique o valor dos que são convergentes. a) 2 0 x 2 dx. b) π/2 tg x dx. c) e x dx. d) x 0 /3 dx. ( x) e) 4 0 (x 3) 2 dx. f) e x e x dx. g) x dx. h) + 2 (x ) 2 dx. i) + e x dx. j) + ln x 0 x 2 dx. k) + xe x dx. l) + 0 xe x2 dx. m) 0x dx. n) + e x ln x dx. o) + cos 2 x dx. p) x 2 dx.

5 Matemática I (M93) 5 Equações Diferenciais 24. Verifique que: a) y = 2 x ex é solução da equação y y = e x. b) y = 2 sen x e y 2 = 4 cos x são soluções da equação y + y = 0. c) y = 2 + e x3 é solução da equação y + 3x 2 y = 6x 2. d) y = 2 + ln x x é solução do problema de valor inicial x 2 y + xy =, y() = 2. e) y = 2 cos x + 3 sen x é solução do problema de valor inicial y + y = 0, y(0) = 2 e y (0) = Verifique se cada uma das seguintes equações diferenciais é separável ou linear. a) y + e x y = x 2 y 2. b) y + e x y = x 2 y. c) y + sen x = x 3 y. d) xy + ln x x 2 y = 0. e) yy = sen x. f) y = 2xy 2y + 2x Resolva cada uma das equações seguintes e esboce o gráfico da respectiva solução. a) y = 3y, y(0) =. b) y = 3y, y(0) = 0. c) y = 3y, y(0) =. 27. Resolva cada uma das equações seguintes: a) dy dy = cos x. b) dx dx = y2 x. c) y dy dx = x. xe x y + y. 2 e) y y cos x = 0. f) y = 2(y 3). g) xy = xy + x 2. h) y = 2xy + x. dy d) dx = i) y + 2y = 2e x. j) y cos x = ysen x + sen (2x), π 2 < x < π 2. k) y 6y + 8y = 0. l) y + 8y + 4y = 0. m) 3y 6y + 3y = 0. n) 4y + y = 0. o) 4y + y = 0. p) y 2y y = Resolva cada um dos seguintes problemas de valor inicial: a) y y = x dy, y() =. b) dx = + + x y, y(0) =. c) y = xy 2 x, y(2) =. d) y = y 2 +, y() = 0. e) dy dx = x xy +, x > 0, y() = 4. f) ye x dy dx = x, y(0) =. g) y + y = x + e x, y(0) = 0. h) xy + 2y = x 3, x > 0, y() = 0. i) x 2 y + 2xy = cos x, y(π) = 0. j) 2y +5y +3y = 0, y(0) = 3, y (0) = 4. k) 4y 4y +y = 0, y(0) =, y (0) =. l) y + 6y = 0, y( π 4 ) = 3, y ( π 4 ) = 4. m) y + 2y + 2y = 0, y(0) = 2, y (0) =. 29. Um tanque contém 000 litros de água salgada com 5 Kg de sal dissolvido. Água pura entra no tanque a uma taxa de 0 l/min. A solução é mantida misturada e sai do tanque à mesma taxa. Quanto sal permanece no tanque depois de t minutos?

6 Matemática I (M93) Um tanque contém 000 litros de água pura. Por uma ligação do tanque entra água salgada com uma concentração de sal de 0, 05 kg/l, a uma taxa de 5 l/min. Por outra ligação entra água salgada com uma concentração de sal de 0, 04 kg/l, a uma taxa de 0 l/min. A solução mantem-se misturada e é retirada do tanque a uma taxa de 0 l/min. Quanto sal está no tanque depois de hora? 3. Um tanque com a capacidade de 400 litros está cheio com uma mistura de água e cloro com uma concentração de 0, 05 g/l. Para reduzir a concentração de cloro, é bombeada no tanque água pura a uma taxa de 4 l/s, a mistura é agitada e retirada a uma taxa de 0 l/s. Calcule a concentração de cloro no tanque em função do tempo. 32. Uma solução de glicose é administrada por via intravenosa na corrente sanguínea a uma taxa constante de α g/min. À medida que a glicose é adicionada, ela é convertida noutras substâncias e removida da corrente sanguínea a uma taxa que é proporcional à sua concentração na corrente sanguínea nesse instante, sendo β a constante de proporcionalidade. Determine a concentração da solução de glicose na corrente sanguínea em cada minuto t. 33. Uma população de protozoários desenvolve-se a uma taxa de crescimento diário per capita constante de 0,79. Tendo a população começado com dois elementos, calcule o seu tamanho ao fim de 6 dias. 34. Uma cultura de bactérias começa com 500 bactérias e cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho; 3 horas depois existem 8000 bactérias. a) Encontre uma expressão para o número de bactérias ao fim de t horas. b) Calcule a taxa de crescimento depois de 4 horas. c) Quando é que o número de bactérias alcançará 30000? 35. Uma cultura de bactérias segue um crescimento exponencial e duplica de tamanho nos 0 minutos iniciais. Se a cultura contiver 00 bactérias no instante inicial t = 0, quanto tempo demorará até que a cultura atinja as 3000 bactérias? 36. A massa de uma certa substância radioactiva decresce a uma taxa anual que é proporcional à massa restante, sendo a constante de proporcionalidade 0, a) Sendo a massa inicial de uma amostra de grama, indique a massa que permanece após t anos. b) Quantos anos demorará até que a massa decresça para 0, 8 g? 37. Uma amostra de polónio-20 tem uma massa de 200 mg. Sabendo que o polónio-20 tem uma meia-vida (tempo necessário para a massa da substância radioactiva decair para metade) de 40 dias, calcule a) a massa que resta ao fim de t dias. b) o tempo necessário para a massa ser reduzida para 0 mg. 38. O isótopo radioactivo do carbono, carbono-4, tem uma meia vida de cerca de 5730 anos. Foi descoberto, num local arqueológico, um pedaço de tecido com uma concentração de carbono-4 de cerca de 74% da existente num pedaço de madeira acabado de cortar. Estime a idade do pedaço de tecido.

7 Matemática I (M93) A lei do arrefecimento de Newton estabelece que a taxa de arrefecimento de um objecto é proporcional à diferença entre a temperatura do objecto e a temperatura ambiente. Um termómetro é levado de um aposento onde a temperatura é 20 o C para o exterior onde a temperatura é 5 o C e minuto depois a leitura do termómetro é 2 o C. Quando é que a leitura do termómetro será 6 o C? 40. A taxa de variação da pressão atmosférica P em função da altitude é proporcional a P, desde que a temperatura seja constante. A 5 o C, a pressão ao nível do mar é 0,3 kpa e a 000 m de altitude á 87,4 kpa. Admitindo que a temperatura se mantém em 5 o C, calcule a pressão atmosférica a) a uma altitude de 3000 m. b) no topo do monte McKinley, que está a uma altitude de 687 m. 4. Dados experimentais mostram que, se a reacção química N 2 O 5 2NO O 2 for realizada a 45 o C, a taxa de reacção do pentóxido de nitrogénio (taxa de variaçãoda concentração) é proporcional à sua concentração, sendo 0, 0005 a constante de proporcionalidade. a) Encontre uma expressão para a concentração de N 2 O 5 depois de t segundos, sendo a concentração inicial de 5 atmosferas. b) Quanto tempo levará para reduzir a concentração de N 2 O 5 para 90% do seu valor original? 42. Numa reacção química elementar, uma molécula do reagente A e uma do reagente B formam uma molécula do produto C: A + B C. A taxa de reacção de C é proporcional ao produto das concentrações de A e B. Suponha que as concentrações iniciais de A e de B são iguais a 3 mol/l. a) Escreva a equação diferencial que modela esta reacção. b) Se [C] = 3 2 mol/l depois de 20 segundos, determine [C] no segundo t. 43. Uma substância química S é produzida, numa reacção química, a uma taxa de 9 mol/min. Ao mesmo tempo, essa substância é consumida a uma taxa de 5 mol/min, por mole de S. a) Determine uma expressão para o número de moles de S presentes no instante t. b) Determine a quantidade estacionária da substância química. Folhas de exercícios de 20/202, elaboradas por Ana Oliveira.

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