Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 10/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.

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1 Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatística Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 1/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I (12 valores) (a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss y + z w = 7 z w = 6 2x + y = 5 2y + 2z w = 11 (b) Sendo A = e B = determine AB 2. Com base neste resultado, calcule, justificando, B 1. (c) Determine os vectores de R 4 com norma 3 cujas projecções sobre os vectores u = (1,,, 1) e v = (, 1, 1, ) são, respectivamente, u e v, e que são perpendiculares ao vector w = (,, 1, 1). (d) Determine o ponto da recta 3x + 4y = 6 que está mais próximo do ponto ( 1, 1). (e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a sua soma num dos casos. ( ) n 5 3 n i) 7 2 n + 5 n, (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: i) 3x 6/5 + x 4 + x 2 + ex 1 + e 2x x cos(2x)

2 II (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais π ( ) i) 3 cos 34 x + 5 sin(2x) dx + xe 2x2 dx (b) Considere a região do plano definida por X β = { (x, y) R 2 : < y < e βx < x }, onde β é um número real positivo. Determine o valor de β para o qual a área de X β é igual a 1. III (1.5 valores) Calcule os seguintes limites i) lim x arctan(x) x x 3 lim x 5x e t2 dt e 2x. 1 IV (2 valores) Sejam u 1 e u 2 vectores de R n perpendiculares entre si e com norma um. (a) Mostre que os vectores v 1 e v 2 definidos por v 1 = cos(θ) u 1 + sin(θ) u 2 v 2 = sin(θ) u 1 + cos(θ) u 2 também são perpendiculares entre si e também têm norma um, qualquer que seja o valor de θ real. (b) Seja w = a 1 u 1 +a 2 u 2. Determine b 1 e b 2 tais que w = b 1 v 1 +b 2 v 2.

3 Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatística Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 1/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I (12 valores) (a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss z w = 6 y + z w = 7 2x + y = 5 2y + 2z w = 11 (b) Sendo A = e B = determine AB 2. Com base neste resultado, calcule, justificando, B 1. (c) Determine o ponto da recta 2x + 3y = 6 que está mais próximo do ponto (1, 1). (d) Determine os vectores de R 4 com norma 4 cujas projecções sobre os vectores u = (1,,, 1) e v = (, 1, 1, ) são, respectivamente, u e v, e que são perpendiculares ao vector w = (,, 1, 1). (e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a sua soma num dos casos. ( ) n 3 4 n i) 4 3 n + 5 n n=2, (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: i) 4x 2/ x 2 + sin(7x) 1 + cos(7x) x sin(6x)

4 II (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais π ( ) i) 3 cos 25 x + 7 sin(2x) dx + xe 2x2 dx (b) Considere a região do plano definida por X β = { (x, y) R 2 : < y < e βx < x }, onde β é um número real positivo. Determine o valor de β para o qual a área de X β é igual a 1. III (1.5 valores) Calcule os seguintes limites i) lim x arctan(x) x x 3 lim x 2x e t2 dt e 3x. 1 IV (2 valores) Sejam u 1 e u 2 vectores de R n perpendiculares entre si e com norma um. (a) Mostre que os vectores v 1 e v 2 definidos por v 1 = cos(θ) u 1 + sin(θ) u 2 v 2 = sin(θ) u 1 + cos(θ) u 2 também são perpendiculares entre si e também têm norma um, qualquer que seja o valor de θ real. (b) Seja w = a 1 u 1 +a 2 u 2. Determine b 1 e b 2 tais que w = b 1 v 1 +b 2 v 2.

5 Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatística Exame de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 1/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I (12 valores) (a) Determine os valores de α para os quais o sistema z w = 6 2y + 2z w = 11 2x + y = 5 y + z + αw = 7 é possível e determinado. Determine a solução quando α = 1. (b) Sendo A = e B = determine AB 2. Com base neste resultado, calcule, justificando, B 1. (c) Determine o ponto da recta 2x + 3y = 6 que está mais próximo do ponto (1, 1). (d) Determine os vectores de R 4 com norma 3 cujas projecções sobre os vectores u = (1,,, 1) e v = (, 1, 1, ) são, respectivamente, u e v, e que são perpendiculares ao vector w = (,, 1, 1). (e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a sua soma num dos casos. ( ) n 4 4 n i) 5 2 n + 5 n n=2, (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: i) 4x 6/5 + x 1 + x 4 + 3x 1 + 2x 2 xe 7x

6 II (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais π ( ) i) 2 cos 54 x + 3 sin(2x) dx + xe 2x2 dx (b) Considere a região do plano definida por X β = { (x, y) R 2 : < y < e βx < x }, onde β é um número real positivo. Determine o valor de β para o qual a área de X β é igual a 1. III (1.5 valores) Calcule os seguintes limites i) lim x arctan(x) x x 3 lim x 3x e t2 dt e 2x. 1 IV (2 valores) Sejam u 1 e u 2 vectores de R n perpendiculares entre si e com norma um. (a) Mostre que os vectores v 1 e v 2 definidos por v 1 = cos(θ) u 1 + sin(θ) u 2 v 2 = sin(θ) u 1 + cos(θ) u 2 também são perpendiculares entre si e também têm norma um, qualquer que seja o valor de θ real. (b) Seja w = a 1 u 1 +a 2 u 2. Determine b 1 e b 2 tais que w = b 1 v 1 +b 2 v 2.