Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Engenharia Informática e de Computadores

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Engenharia Informática e de Computadores"

Transcrição

1 Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Engenharia Informática e de Computadores Teoria dos Sinais e dos Sistemas O procedimento de Gram-Schmidt: definição, exemplos e aplicações Artur Ferreira 5 Outubro Versão. Motivação e Objectivos Este documento tem como objectivo apresentar o procedimento de Gram-Schmidt, como método sistemático de obtenção de base ortonormada para determinado conjunto de sinais. Começa-se por resumir as propriedades dos vectores, realizando de seguida o mapeamento entre sinais e vectores. Apresenta-se o procedimento como um algoritmo que manipula sinais como vectores. Apresentam-se exemplos de cálculo de bases ortonormadas, com a respectiva interpretação vectorial. Utilizam-se sinais contínuos de energia e discretos de potência como exemplos. Exploram-se conceitos da análise de sinais como vectores, tais como: a norma, o produto interno, ângulo relativo e projecção. Dá-se ênfase à exploração das propriedades das bases ortonormadas e dos coeficientes de projecção sobre as mesmas. No final sugerem-se exercícios de aplicação destes conceitos. Índice Resumo da análise de sinais como vectores. Conceitos básicos sobre vectores Produto interno Norma Ângulo Relativo Projecção vectorial Base vectorial Base ortonormada Propriedades dos coeficientes de projecção Relação entre sinais e vectores Procedimento de Gram-Schmidt 5. Definição Forma discriminada Forma compacta Propriedades do procedimento Ilustração das propriedades Interpretação vectorial Exemplos de aplicação Sinais contínuos de energia Representação vectorial Exemplo de outra base ortonormada Sinais discretos de potência i

2 Resumo da análise de sinais como vectores Nesta secção introdutória resumem-se conceitos da análise de sinais como vectores, utilizados ao longo do restante documento. Tratando-se de um resumo, não dispensa a consulta da bibliografia recomendada sobre este tópico. Introduzem-se conceitos matemáticos genéricos sobre vectores e em seguida estabelece-se a relação entre estes conceitos matemáticos e as propriedades físicas dos sinais.. Conceitos básicos sobre vectores.. Produto interno Da análise vectorial resulta que o produto interno é uma medida de semelhança entre vectores. Sejam x e y dois vectores com N elementos (coordenadas) tal que: x = [x, x,..., x N ] y = [y, y,..., y N ] () O produto interno entre estes dois vectores está definido da seguinte forma: N ( x, y) = x[n]y[n] () n= O cálculo do produto interno consiste no produto ponto a ponto dos dois vectores seguido da soma de todos esses produtos. Expresso na forma matricial tem-se: ( x, y) = xy T () Quando o produto interno entre dois vectores é nulo, estes dizem-se ortogonais (ou perpendiculares)... Norma A norma (comprimento) do vector é definida em função do produto interno: x = ( x, x) = ( x, x) = N x [n] = x [] + x [] x [N] () n= Atendendo à definição de norma tem-se que o produto interno entre dois vectores também pode ser escrito na forma: ( x, y) = x y cos(θ xy ) (5) O produto interno de um sinal consigo mesmo resulta em:.. Ângulo Relativo ( x, x) = x x cos() = x (6) Por sua vez, o ângulo relativo entre dois vectores obtém-se a partir do produto interno: ( ) ( x, y) Θ xy = arccos x y Vectores ortogonais (perpendiculares) apresentam um ângulo relativo de π. Quanto menor for o valor do ângulo relativo mais próximos (semelhantes) são os vectores. (7)

3 x e x y y Figura : Ilustração da projecção de vectores... Projecção vectorial A projecção de um vector sobre outro é um conceito fundamental na manipulação de vectores sobre uma base vectorial. Considere a figura onde se ilustra a projecção do vector x sobre o vector y. Analisando a figura, podemos definir o vector projecção de x sobre y como: x y = α y (8) indicado que x y e y são colineares. Por sua vez o vector e é definido como: Verifica-se também que e é ortogonal a y: x = x y + e e = x x y (9) ( e, y) = () O coeficiente de projecção α traduz a porção do vector x que se projecta sobre o vector y. Vamos determinar a expressão genérica deste coeficiente de projecção, utilizando conjuntamente as equações (8), (9) e (). ( e, y) = ( x x y, y) = ( x α y, y) = ( x, y) α( y, y) = ( x, y) = α( y, y) α = ( x, y) ( y, y) α = ( x, y) y () Tendo em conta a equação (5) tem-se que o coeficiente de projecção da equação () pode ser escrito na forma: α = ( x, y) y = x y cos(θ xy) y = x cos(θ xy) y No caso do vector y ter norma unitária, y =, o cálculo do coeficiente de projecção é simplificado:..5 Base vectorial () α = ( x, y) () α = x cos(θ xy ) () A um conjunto de N vectores ortogonais entre si dá-se o nome de base vectorial (ou base ortogonal). Considere o conjunto Φ = { Φ, Φ,..., Φ N } com N vectores ortogonais (os vectores de base). Este conjunto gera um espaço vectorial de dimensão N. Qualquer elemento x, desse

4 espaço (ou seja, um vector com N coordenadas) pode ser escrito na forma de combinação linear dos vectores de base: x = N k= α k Φk = α Φ + α Φ α N ΦN (5) Os coeficientes α k vectores de base: da combinação linear resultam da projecção do vector x sobre os N α k = ( x, Φ k ) Φ k (6)..6 Base ortonormada Considere o conjunto de vectores ortogonais Φ = { Φ, Φ,..., Φ N }. Se para além de ortogonais entre si, todos estes vectores possuírem norma unitária a base diz-se ortonormada (ortogonal + normalizada), tal como expresso na equação (7). ( Φ m, Φ l ) = {, m = l, m l (7) Nesta situação, os coeficientes de projecção são calculados, de acordo com a equação (), ou seja: α k = ( x, Φ k ) (8)..7 Propriedades dos coeficientes de projecção Quando se projecta um vector sobre determinada base ortogonal ou ortonormada os coeficientes de projecção descrevem univocamente o vector. São as coordenadas do sinal nesse espaço vectorial. Considere os vectores x e y escritos sobre a mesma base ortonormada: N x = α kφk N y = β kφk (9) k= k= Assumindo que os coeficientes de projecção α k e β k são reais, tem-se que o produto interno ( x, y) é dado por: ( N ) N N ( x, y) = α kφk, β kφk = α k β k () k= Por outro lado calculando o produto interno do vector consigo próprio, tem-se: k= ( N ) N N ( x, x) = α kφk, α kφk = αk = x () k= k= k=. Relação entre sinais e vectores A operação de produto interno está definida para todos os tipos de sinal, tal como se apresenta na tabela, considerando sinais reais. Sobre o produto interno de sinais contínuos de potência observe que o valor de T é o mínimo múltiplo comum entre os períodos dos dois sinais: T = mmc(t x, T y ). O mesmo se passa para sinais discretos de potência: N = mmc(n x, N y ). Realizando o produto interno de um sinal consigo mesmo, tal como indicado na tabela, conclui-se que: k=

5 Tipo Contínuo Discreto Energia x(t)y(t) dt n= x[n]y[n] Potência T T x(t)y(t) dt N N n= x[n]y[n] Tabela : Definição do produto interno para os quatro tipos de sinal com amplitudes reais. Tipo Contínuo Discreto Energia E x = x (t) dt E x = n= x [n] Potência P x = T T x (t) dt P x = N N n= x [n]] Tabela : Produto interno de um sinal consigo próprio. se o sinal é de energia, obtém-se o valor da sua energia: E x ; se o sinal é de potência, obtém-se o valor da sua potência: P x ; Tendo em conta a equação (6) conclui-se que a ligação entre sinais e vectores é estabelecida entre a energia/potência do sinal e a norma do vector. (x, x) = x = E x, tipo energia. () (x, x) = x = P x, tipo potência. () Ou de outra forma, tem-se que o comprimento (norma) do vector que representa o sinal é a raiz quadrada da sua energia, caso o sinal seja do tipo energia, ou então a raiz quadrada da sua potência caso o sinal seja do tipo potência. x = x = E x, tipo energia. () P x, tipo potência. (5) Por sua vez, o ângulo relativo entre vectores descreve o desfasamento entre sinais.

6 Procedimento de Gram-Schmidt O procedimento de Gram-Schmidt tem como finalidade obter uma base ortonormada onde se representa, sem erro de projecção, determinado conjunto de sinais. Os sinais podem ser de qualquer tipo: energia ou potência nos domínios contínuo e discreto, dado que são analisados como vectores.. Definição Nesta secção apresenta-se o procedimento(algoritmo) em duas versões: discriminada, onde se evidenciam as propriedades do algoritmo passo a passo; compacta, em que se ilustra a simplicidade do algoritmo... Forma discriminada Entrada: conjunto de M sinais(vectores) com norma não nula {s, s,..., s M }. Saída: conjunto de N ( M) sinais(vectores) que formam uma base ortonormada {Φ, Φ,..., Φ N } onde é possível representar os M sinais(vectores) de entrada sem erro de projecção.. Escolher um sinal de entrada (s por exemplo) e efectuar a sua normalização, obtendo o primeiro sinal da base: Φ = s s ;. Escolher outro sinal de entrada (s por exemplo) e calcular a projecção sobre o sinal de base Φ : α = (s, Φ ). Definir o sinal auxiliar de erro g = s α Φ. Dado que g é ortogonal a Φ, obtém-se o segundo sinal de base: Φ = g g, se g ;. Escolher outro sinal de entrada (s por exemplo) e calcular a projecção sobre os dois sinais de base existentes: α = (s, Φ ) e α = (s, Φ ); Define-se o sinal de erro g = s α Φ α Φ ; Tendo em conta que g é ortogonal a Φ e Φ obtém-se o terceiro sinal de base após normalização: Φ = g g, se g ;. Proceder como no ponto anterior até considerar os M sinais de entrada. No ponto do algoritmo afirma-se que g e Φ são ortogonais. Apresenta-se aqui a demonstração desse facto. (g, Φ ) = (s α Φ, Φ ) = (s, Φ ) (α Φ, Φ ) = (s, Φ ) α (Φ, Φ ) α = α α = (6) De forma idêntica, no ponto indica-se que g é ortogonal a Φ e Φ. Demonstram-se de seguida estas ortogonalidades. (g, Φ ) = (s α Φ α Φ, Φ ) = (s, Φ ) α (Φ, Φ ) α α (Φ, Φ ) = α α = (7) 5

7 .. Forma compacta (g, Φ ) = (s α Φ α Φ, Φ ) = (s, Φ ) α (Φ, Φ ) α α (Φ, Φ ) = α α = (8) Entrada: conjunto de M sinais(vectores) com norma não nula {s, s,..., s M }. Saída: conjunto de N ( M) sinais(vectores) que formam uma base ortonormada {Φ, Φ,..., Φ N } onde é possível representar os M sinais(vectores) de entrada sem erro de projecção. Os vectores Φ k vectores g k : que constituem a base ortonormada são obtidos pela normalização dos Φ k = Os vectores g k são obtidos da seguinte forma: g k g k, g k (9) g = s dá origem ao primeiro sinal de base; g k = s k k m=(s k, Φ m )Φ m = s k k m= α km Φ m k M. Propriedades do procedimento O procedimento de Gram-Schmidt, garante a obtenção de uma base ortonormada que representa sem erro de projecção determinado conjunto de sinais de qualquer tipo, ou seja, de energia ou potência nos domínios contínuo e discreto. Esta generalização para qualquer tipo de sinal é conseguida através da análise de sinais como vectores. A dimensão da base obtida (ou seja, o número total de sinais que a constituem) é a menor possível. Os sinais constituintes da base variam consoante a ordem pela qual são analisados os sinais de entrada... Ilustração das propriedades Considere o exemplo apresentado na figura em que são dados M = sinais de entrada para a aplicação do procedimento. Analisam-se os seguintes casos: () Os três sinais de entrada s, s e s são colineares; a base obtida terá N = sinal; a projecção dos sinais na base tem a forma:. s = α Φ ;. s = α Φ ;. s = α Φ ; ou seja, apenas com um sinal de base exprimem-se os três sinais de entrada; () Dois sinais colineares s e s e o terceiro, s, é ortogonal a estes dois; a base obtida terá N = sinais; um sinal de base exprime s e s ; o outro sinal de base exprime s : 6

8 N= s s s s N= s s s N= s s N= s s s s s s N= () () () () (5) Figura : Ilustração da dimensão da base obtida em 5 casos diferentes.. s = α Φ ;. s = α Φ ;. s = α Φ ; () Dois sinais ortogonais s e s e o terceiro, s, é expresso pela combinação linear desses dois sinais: s = αs + βs ; a base obtida terá N = sinais que resultam da normalização de s e s ; os sinais de entrada serão expressos na forma:. s = α Φ ;. s = α Φ ;. s = α Φ + α Φ ; () Existem dois sinais não colineares s e s e o terceiro, s, é expresso pela combinação linear desses dois sinais; a base obtida terá N = sinais; (5) Os três sinais são ortogonais, ou seja, constituem base ortogonal; a base ortonormada também terá N = sinais; os sinais de base são obtidos pela normalização dos sinais de entrada: {Φ = s, Φ s = s, Φ s = s s }; os sinais de entrada serão expressos na forma:. s = α Φ ;. s = α Φ ;. s = α Φ ;. Interpretação vectorial Apresenta-se agora a interpretação vectorial da aplicação do procedimento sobre dois sinais s e s, representados aqui através de vectores, na figura. s s Figura : Vectores s e s a analisar. Note que os sinais s e s não são colineares, pelo que será necessário obter dois sinais (vectores) para a base que os representa, designados por p e p, tal como representado na O ângulo relativo Θ ss não é zero. 7

9 figura. No primeiro caso considera-se s como primeiro sinal, pelo que p e s são colineares e s tem projecção não nula em p e p : s = s p ; s = α p + g p ; No segundo caso, em que se considera primeiro o sinal s tem-se que s e p são colineares, dado que p resulta da normalização de s. O sinal s projecta-se sobre p e p. s = α p + g p ; s = s p ; Desta forma verifica-se que os vectores de base obtidos, são diferentes nas duas situações, tal como os coeficientes de projecção associados a cada sinal. º caso Gram-Schmidt p s s p s Sinal s seguido de s p p s º caso Gram-Schmidt p s s p Sinal s seguido de s p p Figura : Vectores originais s e s e de base p e p, obtidos em duas aplicações diferentes do procedimento de Gram-Schmidt.. Exemplos de aplicação Nesta secção apresentam-se exemplos da aplicação do procedimento a diferentes tipos de sinal: contínuos de energia e discretos de potência... Sinais contínuos de energia Considere os pulsos rectangulares s (t) e s (t) (sinais contínuos de energia), apresentados na figura 5, cujas expressões analíticas (compactas) são as seguintes: s (t) = ( ) t s (t) = ( ) t Vamos utilizar o procedimento e obter os sinais de uma base ortonormada que representa sem erro estes dois sinais. Começa-se por analisar os dois sinais, representando-os através de vectores. Em seguida aplica-se o procedimento e verificam-se os resultados. Normas de s (t) e s (t) E s = s (t) dt = dt = 6 s = 8 () E s = 6 = ()

10 s (t) s (t) - t t E s = Figura 5: Sinais contínuos de energia s (t) e s (t). s (t) dt = Produto interno entre s (t) e s (t) (s, s ) = Ângulo relativo entre s (t) e s (t) Θ s,s = arccos dt = s = s (t)s (t) dt = E s = = () dt = () ( ) ( ) ( (s, s ) = arccos = arccos = s s. ) π rad = 6o () s = s 6º s = s Figura 6: Representação de s (t) e s (t) através de vectores. Tendo em conta esta representação vectorial, nomeadamente o ângulo relativo, verifica-se à partida que são necessários dois sinais de base para realizar a representação de s (t) e s (t) sem erro de projecção. Aplicação do procedimento. Primeiro sinal de base Φ (t) = s (t) s = s (t) = ( ) t (5) Este é o primeiro sinal de base: Φ (t).. Segundo sinal de base α = (s, Φ ) = dt = (6) g (t) = s (t) α Φ (t) p (t) = s (t) Φ (t) = ( ) t ( ) t 9

11 .5 - t Figura 7: Primeiro sinal de base Φ (t). g (t) =, t, < t, < t (7) s (t) - p (t).5 =.5 g (t) t - t - t -.5 Figura 8: Cálculo do sinal de erro g (t). Normalizando o sinal de erro g (t), obtém-se o segundo sinal de base: Φ (t). E g = ( ) dt + ( ) dt + dt = g = E g = (8) Φ (t) = g (t) g = g (t) =, t, < t, < t (9) Desta forma, tem-se a base completa com dois sinais Φ (t) e Φ (t), apresentados na figura. Confirmação dos resultados Os sinais obtidos formam base ortonormada se todos são ortogonais entre si e possuírem norma unitária. {, m = l (Φ m (t), Φ l (t)) = (), m l

12 - - t Figura 9: Segundo sinal de base: Φ (t)..5 - t - t - Figura : Sinais de base: Φ (t) e Φ (t). Os sinais da figura verificam esta condição, como a seguir se demonstra: (Φ (t), Φ (t)) = E Φ = Φ = Φ (t) dt = ( ) dt = dt = () (Φ (t), Φ (t)) = E Φ = Φ = Φ (t) dt = ( = ) ( ) ( ) dt + dt + dt = = () (Φ (t), Φ (t)) = Φ (t)φ (t) dt = ( ) ( ) dt + ) ( ) ( dt ( = ) ( ) + = () Os coeficientes de projecção dos sinais s (t) e s (t) obtidos ao longo do procedimento e apresentados nas equações (5), (6) e (8), permitem exprimir estes sinais à custa dos sinais de base: s (t) = s Φ (t) + Φ (t) = [ s ] [ Φ (t) Φ (t) ] = [ ] [ Φ (t) Φ (t) ] ()

13 s (t) = α Φ (t) + g Φ (t) = [α g ] [ Φ (t) Φ (t) ] = [ ] [ Φ (t) Φ (t) Após a confirmação de que a base é ortonormada, vamos confirmar os coeficientes de projecção dos sinais s (t) e s (t). Realizando as operações indicadas nas equações () e (5) obtêm-se os sinais originais s (t) e s (t). Por outro lado, os coeficientes de projecção sobre base ortonormada têm determinadas propriedades que podem ser utilizadas para a verificação da correcção do seu valor. Nomeadamente, tal como descrito na equação (), a energia do sinal pode ser calculada pelos coeficientes de projecção, da seguinte forma: ] (5) E s = αk = s = = 6 (6) k= E s = αk = α + g = + ( ) = + = (7) k= Por comparação com as equações () e () verifica-se a correcção dos valores dos coeficientes. Os coeficientes de projecção também podem ser utilizados para cálculo do produto interno: Este cálculo é confirmado pela equação ()... Representação vectorial (s, s ) = α k α k =. +. = (8) k= A representação vectorial dos sinais s (t) e s (t) sobre o sistema de eixos formado pelos sinais de base apresenta-se na figura. s s Figura : Representação vectorial dos sinais s (t) e s (t) sobre o sistema de eixos formado por Φ (t) e Φ (t). Sobre a representação vectorial, note que o ângulo relativo entre s (t) e s (t) pode ser calculado através de: ( ) Θ s s = arctan = π rad = 6o (9) obtendo-se o valor apresentado na equação (). A figura representa estes quatro sinais como vectores.

14 s s Figura : Representação vectorial conjunta dos sinais s (t), s (t), Φ (t) e Φ (t)... Exemplo de outra base ortonormada Note que a base apresentada na figura é uma base ortonormada sobre a qual é possível representar os sinais s (t) e s (t) sem erro. Outra base ortonormada seria obtida se o sinal s (t) fosse considerado em primeiro lugar na aplicação do procedimento. Outro exemplo de base ortonormada adequada à representação, sem erro, destes sinais é apresentada na figura. - t t t Figura : Base ortonormada onde é possível representar sem erro s (t) e s (t). Note que esta base é ortonormada (cumpre a definição apresentada na equação ), com dimensão, ou seja, é constituída por três sinais. Com a aplicação do procedimento de Gram- Schmidt obteve-se uma base com dimensão, ou seja, com dimensão mínima, tal como sugerido pela representação vectorial da figura. Sobre esta base, de dimensão, os sinais s (t) e s (t) possuem três coeficientes de projecção que são os seguintes: Projecção de s (t): α = proj Φ s = (s, Φ ) = α = proj Φ s = (s, Φ ) = dt = (5) dt = (5) α = proj Φ s = (s, Φ ) = (5) s (t) = [ ] Φ (t) Φ (t) (5) Φ (t) Projecção de s (t): α = proj Φ s = (s, Φ ) = (5) α = proj Φ s = (s, Φ ) = α = proj Φ s = (s, Φ ) = dt = (55) dt = (56)

15 s (t) = [ ] Φ (t) Φ (t) Φ (t) (57) Efectuando a verificação dos valores das energias e do produto interno com estes coeficientes de projecção tem-se: E s = αk = ( ) + ( ) =. +. = 6 (58) k= E s = αk = ( ) + ( ) = + = (59) k= (s, s ) = α k α k = ( )( ) = (6) k= Confirmando os valores obtidos anteriormente... Sinais discretos de potência Apresenta-se agora outro exemplo de cálculo de base ortonormada para três sinais discretos periódicos (tipo potência): s [n] = cos ( π n) u[n] s [n] = sin ( π n) u[n] s [n] = ( + cos(πn))u[n] apresentados na figura. s [n] s [n] s [n] 5... n 5... n - - N= N= 5... n N= Figura : Sinais periódicos discretos s [n], s [n] e s [n]. Normas de s [n], s [n] e s [n] P s = ( ) π cos n= n = P s = ( ) π sin n= n = ( + ( ) ) = s = P s = ( + cos(πn)) = n= ( ) = s = ( + ( ) ) = s = P s = (6) P s = (6) P s = (6)

16 Produtos internos: (s, s ), (s, s ) e (s, s ) (s, s ) = (s, s ) = (s, s ) = n= n= n= s [n]s [n] = ( ( )) = (6) s [n]s [n] = ( ( ).) = (65) s [n]s [n] = ( ( ). +.) = (66) Ângulos relativos Os três sinais são ortogonais entre si, pelo que todos os ângulos relativos valem π. Cálculo da base ortonormada Dado que os três sinais são todos ortogonais entre si constituem base ortogonal. Para obter uma base ortonormada, a partir da base ortogonal, basta normalizar cada um destes sinais, não sendo necessário aplicar o procedimento de Gram-Schmidt : Φ [n] = s [n] s = s [n] = cos ( π n) u[n] = ( ) π cos n u[n] (67) Φ [n] = s [n] s = s [n] = sin ( π n) u[n] = ( ) π sin n u[n] (68) Φ [n] = s [n] s = s [n] = + cos(πn)u[n] = ( + cos(πn) ) u[n] (69) Projecção dos sinais s [n], s [n] e s [n] Os sinais s [n], s [n] e s [n] são escritos sobre esta base ortonormada {Φ [n], Φ [n], Φ [n]} da seguinte forma: s [n] = Φ [n] + Φ [n] + Φ [n] = [ ] s [n] = Φ [n] + Φ [n] + Φ [n] = s [n] = Φ [n] + Φ [n] + Φ [n] = [ [ Φ [n] Φ [n] Φ [n] ] Φ [n] Φ [n] Φ [n] ] Φ [n] Φ [n] Φ [n] (7) (7) (7) A correcção dos valores destes coeficientes é facilmente verificada através do cálculo da potência realizando de seguida a comparação com os valores apresentados nas equações (6), (6) e (6). P s = α k = ( ) = (7) k= A aplicação do procedimento irá conduzir ao mesmo resultado. 5

17 P s = α k = k= ( ) = (7) P s = α k = ( ) = (75) k= A figura 5 representa os sinais s [n], s [n], s [n], Φ [n], Φ [n] e Φ [n] através de vectores. s s s Figura 5: Representação vectorial conjunta de s [n], s [n], s [n], Φ [n], Φ [n] e Φ [n]. Projecção do sinal s [n] = s [n] + s [n] na base ortonormada Tendo em conta que os sinais s [n] e s [n] são completamente expressos pela base ortonormada, tal como se verifica pelas equações (7) e (7) tem-se imediatamente a projecção do sinal s [n]: s [n] = s [n] + s [n] = Φ [n] s [n] + Φ [n] s [n] = [ ] Φ [n] Φ [n] Φ [n] (76) Utilizando o cálculo dos coeficientes de projecção e projectando sobre todos os sinais de base tem-se: α = proj Φ s = (s, Φ ) = (s + s, Φ ) = (s, Φ ) + (s, Φ ) = +. = (77) α = proj Φ s = (s, Φ ) = (s + s, Φ ) = (s, Φ ) + (s, Φ ) =. +. = (78) α = proj Φ s = (s, Φ ) = (s + s, Φ ) = (s, Φ ) + (s, Φ ) =. + = (79) Obtendo-se os mesmos coeficientes relativamente à equação (76). A figura 6 representa os sinais s [n], s [n], s [n], s [n], Φ [n], Φ [n] e Φ [n] através de vectores. Exercícios relacionados com os sinais apresentados no guia ) Confirme a correcção dos coeficientes de projecção do sinal s [n]. Calcule a potência do sinal e confirme este valor através dos coeficientes de projecção obtidos; ) Calcule os produtos internos (s, s ), (s, s ) e (s, s ) utilizando a definição. Realize o mesmo cálculo com os coeficientes de projecção e confirme os resultados obtidos. 6

18 s s s s s s Figura 6: Representação vectorial conjunta de s [n], s [n], s [n], s [n], Φ [n], Φ [n] e Φ [n]. ) Qual a base obtida pelo procedimento de Gram-Schmidt se fossem apresentados os sinais s [n], s [n], s [n] e s [n] e considerados por esta ordem? ) Projecte os sinais x(t) e y(t) na base da figura ; verifique se existe erro de projecção e caso exista apresente a solução para este problema. 5) Demonstre a equação (). x(t) = ( ) t y(t) = ( ) t Exercícios gerais ) Obtenha uma base ortonormada onde seja possível representar, sem erro, os seguintes sinais: a[n] = (u[n] u[n ]) b[n] = u[n ] u[n ] c[n] = u[n ] u[n 8] ) Calcule o ângulo relativo entre os sinais x(t) e y(t): x(t) = A cos(πft + α) y(t) = B cos(πft + β) 7

1 Espaços Vectoriais

1 Espaços Vectoriais Nova School of Business and Economics 1 Definição Espaço Vectorial Conjunto de elementos que verifica as seguintes propriedades: Existência de elementos: Contém pelo menos um elemento. Soma: Fecho: A soma

Leia mais

1 Espaços Vectoriais

1 Espaços Vectoriais Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Espaço Vectorial Conjunto de elementos que verifica as seguintes propriedades: Existência de elementos: Contém pelo menos um

Leia mais

Produto interno no espaço vectorial R n

Produto interno no espaço vectorial R n ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno Produto interno no espaço vectorial R n A noção de produto interno (ou escalar) de vectores foi introduzida no ensino secundário, para

Leia mais

Resolução do 1 o Teste - A (6 de Novembro de 2004)

Resolução do 1 o Teste - A (6 de Novembro de 2004) ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Ano Lectivo de 2004/2005 Resolução do 1 o Teste - A (6 de Novembro de 2004) 1 Considere o subconjunto

Leia mais

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVISÃO DA PARTE III Parte III - (a) Ortogonalidade Conceitos: produto

Leia mais

Produto interno no espaço vectorial R n

Produto interno no espaço vectorial R n ALGA - 00/0 - Produto interno 8 Produto interno no espaço vectorial R n A noção de produto interno de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores de R e R : Neste capítulo generaliza-se

Leia mais

ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão

ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão Módulo 5 ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão Contents 5.1 Bases, coordenadas e dimensão............. 58 5.2 Cálculos com coordenadas. Problemas......... 65 5.3 Mudanças de base e de coordenadas..........

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu www.est.ip.pt/paginaspessoais/lucas lucas@mat.est.ip.pt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica

Leia mais

Capítulo 2. Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt. Curso: Licenciatura em Matemática

Capítulo 2. Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt. Curso: Licenciatura em Matemática Capítulo 2 Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves de Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula

Leia mais

Ficha de Trabalho 06 e 07

Ficha de Trabalho 06 e 07 Ficha de rabalho 06 e 07 Produto Interno. (Aulas 1 a 18). Produto interno em R n. Vectores livres: Ângulo de dois vectores. Vectores ortogonais. Vectores em R n : Produto interno. Norma. Desigualdade de

Leia mais

Apontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico

Apontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Apontamentos III Espaços euclidianos Álgebra Linear aulas teóricas 1 o semestre 2017/18 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice Índice i 1 Espaços euclidianos 1 1.1

Leia mais

Seja f um endomorfismo de um espaço vectorial E de dimensão finita.

Seja f um endomorfismo de um espaço vectorial E de dimensão finita. 6. Valores e Vectores Próprios 6.1 Definição, exemplos e propriedades Definição Seja f um endomorfismo de um espaço vectorial E, com E de dimensão finita, e seja B uma base arbitrária de E. Chamamos polinómio

Leia mais

Produto interno, externo e misto de vectores

Produto interno, externo e misto de vectores MTDI I - 00/08 - Produto Interno Produto interno, externo e misto de vectores A noção de produto interno (ou escalar) de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores com duas ou três coordenadass.

Leia mais

Matemática /09 - Produto Interno 32. Produto Interno

Matemática /09 - Produto Interno 32. Produto Interno Matemática - 2008/09 - Produto Interno 32 Produto Interno A noção de produto interno (ou escalar) de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores com duas ou três coordenadass. Neste capítulo

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Espaços Vetoriais Reais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Espaços Vetoriais Reais universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 4 Espaços Vetoriais Reais Definição de espaço vetorial real [4 01] O conjunto

Leia mais

Produto interno no espaço vectorial R n

Produto interno no espaço vectorial R n ALGA - 008/09 - Produto interno 8 Produto interno no espaço vectorial R n A noção de produto interno de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores de R e R : Neste capítulo generaliza-se

Leia mais

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto

Leia mais

Vectores e Geometria Analítica

Vectores e Geometria Analítica Capítulo 1 Vectores e Geometria Analítica 1.1 Vectores em R 2 e R 3. Exercício 1.1.1 Determine um vector unitário que tenha a mesma direcção e sentido que o vector u e outro que que tenha sentido contrário

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR. Exame Final

ÁLGEBRA LINEAR. Exame Final UNIVERSIDADE DE AVEIRO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR Exame Final 9/0/00 DURAÇÃO: 3 horas Nome: N o Aluno: Observação: Declaro que desisto: (Justifique sempre as suas respostas) Folha. (4,0

Leia mais

O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada.

O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada. Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 2 o semestre 08/09 Nome: Número: Curso: Sala: 1 o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL-II LEIC-Taguspark, LERC, LEGI, LEE 4 de Abril de 2009 (11:00)

Leia mais

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Leia mais

Espaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais:

Espaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: Espaços Euclidianos Espaços R n O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. R 1 é simplesmente o conjunto R dos números

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 3. Roteiro

Álgebra Linear I - Aula 3. Roteiro Álgebra Linear I - Aula 3 1. Produto escalar. Ângulos. 2. Desigualdade triangular. Roteiro 1 Produto escalar Considere dois vetores ū = (u 1, u 2, u 3 ) e v = (v 1, v 2, v 3 ) de R 3. O produto escalar

Leia mais

Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Módulo e Produto Escalar - Parte 1. Terceiro Ano - Médio

Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Módulo e Produto Escalar - Parte 1. Terceiro Ano - Médio Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Módulo e Produto Escalar - Parte 1 Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Módulo de um vetor O módulo

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 2. Roteiro

Álgebra Linear I - Aula 2. Roteiro Álgebra Linear I - Aula 2 1. Produto escalar. Ângulos. 2. Desigualdade triangular. 3. Projeção ortugonal de vetores. Roteiro 1 Produto escalar Considere dois vetores = (u 1, u 2, u 3 ) e v = (v 1, v 2,

Leia mais

Produto interno e produto vetorial no espaço

Produto interno e produto vetorial no espaço 14 Produto interno e produto vetorial no espaço Sumário 14.1 Produto interno.................... 14. Produto vetorial.................... 5 14..1 Interpretação geométrica da norma do produto vetorial.......................

Leia mais

Vectores. Figura Vector PQ

Vectores. Figura Vector PQ Vectores 1 Introdução Neste tutorial vou falar sobre vectores. Os vectores são muito importantes em muitas ciências quer para a matemática, quer para alguns tipos de programação (especialmente programação

Leia mais

7 Formas Quadráticas

7 Formas Quadráticas Nova School of Business and Economics Prática Álgebra Linear 1 Definição Forma quadrática em variáveis Função polinomial, de grau, cuja expressão tem apenas termos de grau. Ex. 1: é uma forma quadrática

Leia mais

Produto interno, externo e misto

Produto interno, externo e misto Produto interno, externo e misto Definição: Chama-se norma (ou comprimento) do vector u ao comprimento do segmento de recta [OP ] e representa-se por u. Definição: Sejam a = OA e b = OB dois vectores não

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR AULA 9 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS

ÁLGEBRA LINEAR AULA 9 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS ÁLGEBRA LINEAR AULA 9 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 11 1 Produto Interno 2 Módulo de um Vetor 3 Ângulo Entre Dois Vetores - Vetores

Leia mais

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Engenharia Informática e de Computadores Teoria dos Sinais e dos Sistemas

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Engenharia Informática e de Computadores Teoria dos Sinais e dos Sistemas Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Engenharia Informática e de Computadores Teoria dos Sinais e dos Sistemas Resumo dos conceitos matemáticos mais utilizados Artur Ferreira {arturj@isel.pt} 1 Outubro

Leia mais

Aulas práticas de Álgebra Linear

Aulas práticas de Álgebra Linear Ficha 3 Aulas práticas de Álgebra Linear Licenciatura em Engenharia Naval e Oceânica Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 1 o semestre 2018/19 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática,

Leia mais

AULA Exercícios. DETERMINAR A EXPRESSÃO GERAL E A MATRIZ DE UMA TL CONHECIDAS AS IMAGENS DE UMA BASE DO

AULA Exercícios. DETERMINAR A EXPRESSÃO GERAL E A MATRIZ DE UMA TL CONHECIDAS AS IMAGENS DE UMA BASE DO Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno

Leia mais

10 a Lista de Exercícios

10 a Lista de Exercícios Álgebra Linear Licenciaturas: Eng. Biológica, Eng. Ambiente, Eng. Química, Química 1 ō ano 2004/05 10 a Lista de Exercícios Problema 1. Decida quais das expressões seguintes definem um produto interno.

Leia mais

7 Formas Quadráticas

7 Formas Quadráticas Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Forma quadrática em variáveis Função polinomial, de grau, cuja expressão tem apenas termos de grau. Ex. 1: é uma forma quadrática

Leia mais

Álgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07

Álgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07 Álgebra Linear Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores ō ano/ ō S 6/7 a Lista: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ÁLGEBRA DE MATRIZES Sistemas de equações lineares. Quais das seguintes equações

Leia mais

4. Tensores cartesianos em 3D simétricos

4. Tensores cartesianos em 3D simétricos 4. Tensores cartesianos em D simétricos 4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais Em D não é possível deduzir as fórmulas que determinam os valores e as direcções principais na

Leia mais

Álgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07

Álgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07 Álgebra Linear Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 006/07 5 a Lista: Ortogonalidade Nos exercícios em que n~ao é especificado o produto interno, considere o produto interno

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 6. Por definição do determinante de uma matriz 3 3, tem-se det A = 7.

ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 6. Por definição do determinante de uma matriz 3 3, tem-se det A = 7. Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 20/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 6 SOLUÇÕES SUMÁRIAS DOS EXERCÍCIOS ÍMPARES Propriedades dos Determinantes

Leia mais

Ficha de Exercícios nº 3

Ficha de Exercícios nº 3 Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 3 Transformações Lineares, Valores e Vectores Próprios e Formas Quadráticas 1 Qual das seguintes aplicações não é uma transformação

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Vetores, Retas e Planos

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Vetores, Retas e Planos universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 3 Vetores, Retas e lanos roduto interno em R n [3 01] Dados os vetores X =

Leia mais

ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE / Geometria Analítica 89. Geometria Analítica

ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE / Geometria Analítica 89. Geometria Analítica ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 9 Geometria Analítica A noção de recta em R e R ; tal como a noção de plano em R já foram abordados no ensino secundário. Neste

Leia mais

Capítulo 1 - Cálculo Matricial

Capítulo 1 - Cálculo Matricial Capítulo 1 - Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 34 DeMat-ESTiG Sumário Cálculo

Leia mais

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Diagonalização Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Nosso objetivo neste capítulo é estudar aquelas transformações lineares de R n para as quais existe pelo menos uma base em que elas são representadas

Leia mais

Capítulo 1 - Cálculo Matricial

Capítulo 1 - Cálculo Matricial Capítulo 1 - Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 33 DeMat-ESTiG Sumário Cálculo

Leia mais

Proposta de teste de avaliação

Proposta de teste de avaliação Proposta de teste de avaliação Matemática. O NO DE ESOLRIDDE Duração: 90 minutos Data: Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do

Leia mais

1 Segmentos orientados e vetores, adição e multiplicação

1 Segmentos orientados e vetores, adição e multiplicação MAP2110 Modelagem e Matemática 1 o Semestre de 2007 Resumo 1 - Roteiro de estudos - 07/05/2007 Espaços vetoriais bi e tri-dimensionais (plano ou espaço bidimensional E 2, e espaço tridimensional E 3 )

Leia mais

Aula 15. Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente. Quando u = (1, 0) ou u = (0, 1), obtemos as derivadas parciais em relação a x ou y, respectivamente.

Aula 15. Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente. Quando u = (1, 0) ou u = (0, 1), obtemos as derivadas parciais em relação a x ou y, respectivamente. Aula 15 Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente Seja f(x, y) uma função de variáveis. Iremos usar a notação D u f(x 0, y 0 ) para: Derivada direcional de f no ponto (x 0, y 0 ), na direção do vetor unitário

Leia mais

Álgebra Linear. 8 a Lista: a) Use o processo de ortogonalização de Gram Schmidt para construir uma base ortonormada para W.

Álgebra Linear. 8 a Lista: a) Use o processo de ortogonalização de Gram Schmidt para construir uma base ortonormada para W. Álgebra Linear Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais, Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente 1 ō ano/1 ō Semestre 2006/07 8 a Lista: Nos exercícios em que n~ao se especifica

Leia mais

Linhas. Integrais de Linha

Linhas. Integrais de Linha Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires Linhas. Integrais de Linha Linhas e Caminhos. Um segmento de recta 3 Consideremos o segmento de recta

Leia mais

Problemas 21/03/2012. (b) Como mostramos no item (a), as componentes do vetor posição ( r) são: x = t 2

Problemas 21/03/2012. (b) Como mostramos no item (a), as componentes do vetor posição ( r) são: x = t 2 Problemas 1/0/01 Problema 1 Uma partícula possui uma aceleração constante a = 6m/s ) î + 4m/s ). No tempo t = 0, a velocidade é nula e o vetor posição é r 0 = 10m) î. a) Determine os vetores velocidade

Leia mais

Esmeralda Sousa Dias. (a) (b) (c) Figura 1: Ajuste de curvas a um conjunto de pontos

Esmeralda Sousa Dias. (a) (b) (c) Figura 1: Ajuste de curvas a um conjunto de pontos Mínimos quadrados Esmeralda Sousa Dias É frequente ser necessário determinar uma curva bem ajustada a um conjunto de dados obtidos experimentalmente. Por exemplo, suponha que como resultado de uma certa

Leia mais

Lista de exercícios 14 Ortogonalidade

Lista de exercícios 14 Ortogonalidade Universidade Federal do Paraná Algebra Linear Olivier Brahic Lista de exercícios 1 Ortogonalidade Exercícios da Seção 5.1 Exercício 1: Encontre o ângulo emtre os vetores v e w em cada um dos seguintes:

Leia mais

ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS

ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto interno em espaços vetoriais Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e ângulos entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma

Leia mais

G3 de Álgebra Linear I

G3 de Álgebra Linear I G de Álgebra Linear I 7 Gabarito ) Considere a transformação linear T : R R cuja matriz na base canônica E = {(,, ), (,, ), (,, )} é [T] E = a) Determine os autovalores de T e seus autovetores correspondentes

Leia mais

Álgebra Linear. Determinantes, Valores e Vectores Próprios. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia

Álgebra Linear. Determinantes, Valores e Vectores Próprios. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia Álgebra Linear Determinantes, Valores e Vectores Próprios Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia - 200 - ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 2 Conteúdo Determinantes 5 2 Valores e vectores próprios

Leia mais

4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Produto Interno Álgebra Linear - 2 o Semestre /2005 LEE, LEGI, LEIC-TP, LERCI

4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Produto Interno Álgebra Linear - 2 o Semestre /2005 LEE, LEGI, LEIC-TP, LERCI 4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Produto Interno Álgebra Linear - 2 o Semestre - 2004/2005 LEE, LEGI, LEIC-TP, LERCI Problema 1. Seja u, w um produto interno num espaço linear V. Mostre que i) para qualquer vector

Leia mais

Nota: Turma: MA 327 Álgebra Linear. Terceira Prova. Boa Prova! Primeiro Semestre de T o t a l

Nota: Turma: MA 327 Álgebra Linear. Terceira Prova. Boa Prova! Primeiro Semestre de T o t a l Turma: Nota: MA 327 Álgebra Linear Primeiro Semestre de 26 Terceira Prova Nome: RA: Questões Pontos Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 T o t a l Boa Prova! Questão 1. 2. Pontos) Seja U um

Leia mais

Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 10/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.

Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 10/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatística Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 1/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I (12 valores) (a)

Leia mais

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear NOTAS DE AULA Geometria Analítica e Álgebra Linear Vetores no Espaço Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr. 019/Sem_01 Índice Vetores no Espaço Tridimensional... 1.1 Definição... 1. Operações com vetores...

Leia mais

FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS

FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS Maio 12, 2008 2 Contents 1. Complementos de Álgebra Linear 3 1.1. Determinantes 3 1.2. Valores e vectores próprios 5 2. Análise em

Leia mais

Geometria Analítica. Estudo do Plano. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Geometria Analítica. Estudo do Plano. Prof Marcelo Maraschin de Souza Geometria Analítica Estudo do Plano Prof Marcelo Maraschin de Souza Plano Equação Geral do Plano Seja A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = a, b, c, n 0, um vetor normal (ortogonal)

Leia mais

Bases de subespaços. 5 a : aula prática (1.30h) e 08-04/2010 Bases de subespaços 5-1

Bases de subespaços. 5 a : aula prática (1.30h) e 08-04/2010 Bases de subespaços 5-1 a : aula prática (.h) - e 8-/ Bases de subespaços - Instituto Superior Técnico o semestre Álgebra Linear o ano da Lics.em Engenharia Informática e de Computadores e Engenharia Química Bases de subespaços

Leia mais

Antenas e Propagação. Artur Andrade Moura.

Antenas e Propagação. Artur Andrade Moura. 1 Antenas e Propagação Artur Andrade Moura amoura@fe.up.pt 2 Equações de Maxwell e Relações Constitutivas Forma diferencial no domínio do tempo Lei de Faraday Equações de Maxwell Lei de Ampére Lei de Gauss

Leia mais

Tranformada de Fourier. Guillermo Cámara-Chávez

Tranformada de Fourier. Guillermo Cámara-Chávez Tranformada de Fourier Guillermo Cámara-Chávez O que é uma série de Fourier Todos conhecemos as funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, etc. O que é uma série de Fourier Essa função é periódica,

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de trabalho 1 (versão de 6/0/009 (Esboço de Conjuntos. Topologia. Limites. Continuidade

Leia mais

Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 31/I/11 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.

Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 31/I/11 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatística Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 31/I/11 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I (12 valores) (a)

Leia mais

ALGA /09 - Geometria Analítica 78. Geometria Analítica

ALGA /09 - Geometria Analítica 78. Geometria Analítica ALGA - 00/09 - Geometria Analítica 7 Geometria Analítica A noção de recta em R e R ; tal como a noção de plano em R já foram abordados no ensino secundário. Neste capítulo faz-se um revisão desses conceitos

Leia mais

Sumário e Objectivos. Mecânica dos Sólidos não Linear Capítulo 2. Lúcia Dinis 2005/2006

Sumário e Objectivos. Mecânica dos Sólidos não Linear Capítulo 2. Lúcia Dinis 2005/2006 Sumário e Objectivos Sumário: Deformações. Sólido Uniaxial. Descrição Lagrangeana e Euleriana. Gradiente de Deformação. Decomposição Polar. Tensores das Deformações de Green e Lagrange. Deformação de Corte.

Leia mais

Física Computacional 18 matrizes: inversão, valores próprios e sol. da eq. De Schrödinger

Física Computacional 18 matrizes: inversão, valores próprios e sol. da eq. De Schrödinger Física Computacional 18 matrizes: inversão, valores próprios e sol. da eq. De Schrödinger 1. Trabalhar com matrizes, e aplicá-las a um problema físico a. Inversão da matriz, eliminação de Gauss b. Determinante

Leia mais

CAPíTULO 1. Vetores e tensores Notação indicial

CAPíTULO 1. Vetores e tensores Notação indicial CAPíTULO 1 Vetores e tensores 1.1. Notação indicial A notação indicial é uma simplificação da notação de uma somatória. Por exemplo, seja a somatória de 3 monômios a i b i (a i multiplicado por b i ) com

Leia mais

x 1 3x 2 2x 3 = 0 2 x 1 + x 2 x 3 6x 4 = 2 6 x x 2 3x 4 + x 5 = 1 ( f ) x 1 + 2x 2 3x 3 = 6 2x 1 x 2 + 4x 3 = 2 4x 1 + 3x 2 2x 3 = 4

x 1 3x 2 2x 3 = 0 2 x 1 + x 2 x 3 6x 4 = 2 6 x x 2 3x 4 + x 5 = 1 ( f ) x 1 + 2x 2 3x 3 = 6 2x 1 x 2 + 4x 3 = 2 4x 1 + 3x 2 2x 3 = 4 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-47 Álgebra Linear para Engenharia I Primeira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS. Resolva os seguintes sistemas:

Leia mais

Lista de exercícios 11 Representação Matricial de Aplicações Lineares

Lista de exercícios 11 Representação Matricial de Aplicações Lineares Universidade Federal do Paraná Algebra Linear Olivier Brahic Lista de exercícios Representação Matricial de Aplicações Lineares Exercício : Para cada transformação linear seguinte, encontre a representação

Leia mais

P4 de Álgebra Linear I de junho de 2005 Gabarito

P4 de Álgebra Linear I de junho de 2005 Gabarito P4 de Álgebra Linear I 25.1 15 de junho de 25 Gabarito 1) Considere os pontos A = (1,, 1), B = (2, 2, 4), e C = (1, 2, 3). (1.a) Determine o ponto médio M do segmento AB. (1.b) Determine a equação cartesiana

Leia mais

Introdução à Geometria

Introdução à Geometria Introdução à Geometria - 2007-2008 Algumas noções 1. Norma de um vector Seja E um espaço vectorial real de dimensão finita E munido de um produto interno (u, v) u v. Dado um vector v E chama-se norma ou

Leia mais

Análise e Processamento de Bio-Sinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Sinais e Sistemas. Licenciatura em Engenharia Física

Análise e Processamento de Bio-Sinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Sinais e Sistemas. Licenciatura em Engenharia Física Análise e Processamento de Bio-Sinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Licenciatura em Engenharia Física Faculdade de Ciências e Tecnologia Slide 1 Slide 1 Sobre Modelos para SLIT s Introdução

Leia mais

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA TÓPICOS DE RESOLUÇÃO do Teste Final 2012/2013

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA TÓPICOS DE RESOLUÇÃO do Teste Final 2012/2013 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA TÓPICOS DE RESOLUÇÃO do Teste Final 0/0 A) B) C) D) [,0]. Considere as seguintes a rmações: I. ~x

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 14. Roteiro

Álgebra Linear I - Aula 14. Roteiro Álgebra Linear I - Aula 14 1 Matrizes 2 Forma matricial de uma transformação linear 3 Composição de transformações lineares e produto de matrizes 4 Determinante do produto de matrizes Roteiro 1 Matrizes

Leia mais

MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VECTORIAIS GEOMETRIA ANALÍTICA. Vol. 2. 4ª Edição. Colecção Matemática EDIÇÕES SÍLABO

MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VECTORIAIS GEOMETRIA ANALÍTICA. Vol. 2. 4ª Edição. Colecção Matemática EDIÇÕES SÍLABO 6 MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VECTORIAIS GEOMETRIA ANALÍTICA Vol. 2 MANUEL ALBERTO M. FERREIRA ISABEL AMARAL 4ª Edição Colecção Matemática EDIÇÕES SÍLABO COLECÇÃO MATEMÁTICA 6 COLEÇÃO MATEMÁTICA

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2016/2017

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2016/2017 Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 016/017 ō Teste Versão A (Cursos: MEBiol, MEQ 17 de Dezembro de 016, 10h [,0 val 1 Considere a equação diferencial e t + y e t + ( 1 + ye t dy dt 0

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso: Engenharia Electrotécnica Ano: 1 o Semestre: 1 o Ano Lectivo: 007/008 Ficha

Leia mais

Parte 3 - Produto Interno e Diagonalização

Parte 3 - Produto Interno e Diagonalização Parte 3 - Produto Interno e Diagonalização Produto Escalar: Sejam u = (u 1,..., u n ) e v = (v 1,..., v n ) dois vetores no R n. O produto escalar, ou produto interno euclidiano, entre esses vetores é

Leia mais

Aula 6 Produto interno

Aula 6 Produto interno MÓDULO 1 - AULA 6 Objetivos Aula 6 Produto interno Estabelecer os conceitos de norma de um vetor e de ângulo entre dois vetores do espaço. Definir o produto interno de vetores no espaço e estabelecer suas

Leia mais

Lista 2 com respostas

Lista 2 com respostas Lista 2 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT0112-1 semestre de 2015 Exercício 1. Sejam OABC um tetraedro e M o ponto médio de BC. Explique por que ( OA, OB, OC ) é base e determine as coordenadas

Leia mais

Curso de Geometria Analítica

Curso de Geometria Analítica Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 10 - Posições relativas entre Pontos Retas e Planos. I.

Leia mais

Prof. Drª Marília Brasil Xavier REITORA. Profª. Drª. Maria das Graças Silva VICE-REITORA

Prof. Drª Marília Brasil Xavier REITORA. Profª. Drª. Maria das Graças Silva VICE-REITORA Prof. Drª Marília Brasil Xavier REITORA Profª. Drª. Maria das Graças Silva VICE-REITORA Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida PRÓ-REITOR DE ENSINO E GRADUAÇÃO Profª. M.Sc. Maria José de Souza Cravo

Leia mais

Diferenciabilidade de funções reais de várias variáveis reais

Diferenciabilidade de funções reais de várias variáveis reais Diferenciabilidade de funções reais de várias variáveis reais Cálculo II Departamento de Matemática Universidade de Aveiro 2018-2019 Cálculo II 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 1 / 1 Derivadas

Leia mais

Álgebra Linear. Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente 1 ō ano/1 ō Semestre 2006/07

Álgebra Linear. Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente 1 ō ano/1 ō Semestre 2006/07 Álgebra Linear Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente ō ano/ ō Semestre 2006/07 a Lista: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ÁLGEBRA DE MATRIZES

Leia mais

Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana

Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Parte A 1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem módulo v = 4, determine suas componentes.

Leia mais

6.1 equações canônicas de círculos e esferas

6.1 equações canônicas de círculos e esferas 6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que

Leia mais

MAT0326 Geometria Diferencial I

MAT0326 Geometria Diferencial I MAT6 Geometria Diferencial I Primeira Prova /9/ Soluções Questão Valor:. =.5 +.5 pontos). a. Mostre que cos arctanx) ) =. + x b. Determine uma curva plana α : R R, parametrizada por comprimento de arco,

Leia mais

Exercícios de Geometria Analítica - CM045

Exercícios de Geometria Analítica - CM045 Exercícios de Geometria Analítica - CM045 Prof. José Carlos Corrêa Eidam DMAT/UFPR Disponível no sítio people.ufpr.br/ eidam/index.htm 1o. semestre de 2011 Parte 1 Soma e produto escalar 1. Seja OABC um

Leia mais

T7 - Oscilações forçadas. sen (3)

T7 - Oscilações forçadas. sen (3) Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa T7 FÍSICA EXPERIMENTAL I - 2007/08 OSCILAÇÕES FORÇADAS NUM CIRCUITO RLC 1. Objectivo Estudar um circuito RLC série ao qual é aplicada

Leia mais

Geometria Analítica. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Geometria Analítica. Prof Marcelo Maraschin de Souza Geometria Analítica Prof Marcelo Maraschin de Souza Vetor Definido por dois pontos Seja o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade no ponto B(x 2, y 2 ). Qual é a expressão algébrica que

Leia mais

GEOMETRIA II EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ABRIL, 2018

GEOMETRIA II EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ABRIL, 2018 GEOMETRIA II EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ABRIL, 08 ( Seja a R e f(x, y ax + ( ay. Designe por C a a cónica dada por f(x, y 0. (a Mostre que os quatro pontos (±, ± R pertencem a todas as cónicas C a (independentemente

Leia mais

Antenas e Propagação. Artur Andrade Moura.

Antenas e Propagação. Artur Andrade Moura. 1 Antenas e Propagação Artur Andrade Moura amoura@fe.up.pt 2 Anel circular curto (perímetro C = 2πa < 0.1λ) Geometria para estudo do campo distante Constante O potencial vector A é Sendo: 3 R, r e a são:

Leia mais

Matemática Computacional Ficha 1: Capítulo /19

Matemática Computacional Ficha 1: Capítulo /19 Matemática Computacional Ficha 1: Capítulo 1 2018/19 I. Notação e revisão da matéria e x = x x (erro de x em relação a x) e x : erro absoluto de x δ x : erro relativo de x em relação a x, onde, para x

Leia mais

ANÁLISE DE SINAIS DINÂMICOS

ANÁLISE DE SINAIS DINÂMICOS ANÁLISE DE SINAIS DINÂMICOS Paulo S. Varoto 7 . - Classificação de Sinais Sinais dinâmicos são geralmente classificados como deterministicos e aleatórios, como mostra a figura abaixo: Periódicos Determinísticos

Leia mais

Cálculo 3 Primeira Avaliação (A) 25/08/2016

Cálculo 3 Primeira Avaliação (A) 25/08/2016 Cálculo 3 Primeira Avaliação A) 25/08/2016 Nome / Matrícula: / Turma: AA Nota: de 4 pontos) 1. 1 ponto) Determine a equação do plano que é: perpendicular ao plano que passa pelos pontos 0, 1, 1), 1, 0,

Leia mais