Lista 1. (1,0). (Neste caso, usar a definição de derivada parcial é menos trabalhoso do que aplicar as regras de derivação.

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1 UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM04 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam Lista Derivadas parciais, gradiente e diferenciabilidade. Ache as derivadas parciais de primeira ordem das funções: (a f (x, y = arctan(y/x (b f (x, y = ln( + cos (x y (c f (x, y = x y +x +y. Seja f : R R uma função diferenciável. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de: ( x (a u(x, y = f (b u(x, y = f (ax + by, onde a e b são constantes. y (c u(x, y = f (x y x (d u(x, y = f (e x +y. Dada a função f (x, y = x(x e sin(x y, ache f (,0. (Neste caso, usar a definição de derivada parcial é menos trabalhoso do que aplicar as regras de derivação. 4. Verifique que a função u(x, y = ln x é solução da equação de Laplace bidimensional u + u = Sejam f, g : R R, deriváveis até a. ordem. (a Mostre que u(x, t = f (x + ct + g (x ct satisfaz a equação u t = c u. (b Mostre que u(x, y = x f (x g (x é solução da equação u u + u = Sejam f (x, y = (x e g (x, y = x y 5 4. Mostre que f e g são de classe C em R. 7. Calcule w e w pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação t u parcial. (a w = x ; x = t + u, y = tu. x (b w = x ; x = t cosu, y = t sinu. (c w = x + z; x = tu, y = t + u, z = t + u. 8. Seja f : R R uma função de classe C. Calcule g u, g v, em função de f x, f y nos seguintes casos: (a g (u, v = f (u, v (b g (u, v = sinu f (u v,u cos v (c g (u, v = f (sin(u + v,cos(u v (d g (u, v = f (e u,ln(u + v 9. Uma função f : R \ {(0,0} R é homogênea de grau λ se satisfaz f (t x, t y = t λ f (x, y para todos t > 0 e (x, y (0,0, para um certo λ R fixo. Supondo que f é uma função de classe C homogênea de grau λ, verifique que: (a x f x f y = λf ; (Relação de Euler (b As funções f x e f y são homogêneas de grau λ. 0. Verifique que as funções abaixo são homogêneas e determine o grau: (a f (x, y = 5x + x y y (b f (x, y = xe x y (b f (x, y = x x (c f (x, y = x y sin(y/x x 4 +y 4

2 . Seja f (x, y = x y x + sin(x + y 4 se (x, y (0,0, (a Mostre que as derivadas parciais f e f existem em todos os pontos. (b f é contínua em (0,0? (c f é diferenciável em (0,0? x. Seja f (x, y = x se (x, y (0,0, (a Mostre que f é contínua em (0,0. (b Calcule f f (0,0 e (0,0. (c f é diferenciável em (0,0? (d São f e f contínuas em (0,0? (. Considere f (x, y = (x sin x (a Mostre que f é diferenciável em (0,0. (b As derivadas parciais f e f x sin ( (x 4. Seja f (x, y = se (x, y (0,0, são contínuas em (0,0? x se (x, y (0,0, (a Verifique que f é contínua em (0,0. (b Determine f (x, y,(x, y R. (c A função f é contínua em (0,0? Justifique sua resposta. (d A função f é diferenciável em (0,0? Justifique sua resposta. x y x y 5. Seja f (x, y = x, se (x, y (0,0, (a Verifique que f f (0, y = y para todo y, e que (x,0 = x, para todo x. (b Verifique que f (0,0 = e que f (0,0 =. 6. Determine o conjunto de pontos de R onde f não é diferenciável, sendo: (a f (x, y = x (b f (x, y = x y (c f (x, y = e x 4 +y 4 (d f (x, y = cos( x 7. Mostre que não existe nenhuma função diferenciável f : R R tal que f (x, y = (x y, y para todo (x, y R. 8. O raio de um cilindro circular está decrescendo à taxa de,cm/s enquanto sua altura está crescendo à taxa de cm/s. A que taxa o volume do cilindro está variando quando o raio vale 80 cm e a altura vale 50 cm?

3 9. Sejam f : R R, diferenciável em R, com f (, = (a, 4 e g (t = f (t 4t, t 4 t. Determine a para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa seja paralela à reta y = x Seja u = u(x, y função de classe C em R e defina v(r,θ = u(r cosθ,r senθ. Verifique que v r (r,θ + r onde, por definição, u = u xx + u y y. v r (r,θ + v r (r,θ = u(r cosθ,r senθ, θ. Seja f = f (x, y uma função de classe C e seja g : R R dada por g (u, v = u f (u v,u + v. g (a Determine em função das derivadas parciais de f. u v (b Sabendo que x + 5y = z + 6 é o plano tangente ao gráfico de f, f (,4 =, calcule g u v (,.. Seja F (r, s = G(e r s,r cos(s, onde G = G(x, y é uma função de classe C em R. (a Calcule F (r, s em função das derivadas parciais de G. r (b Determine F G (,0 sabendo que r (t +, t + = t t +. f (,4 = f (,4 = e. Ache a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superfície no ponto indicado: (a z = e x +y, no ponto (0,0, (b z = ln(x, no ponto (,,0 (c z = x y, no ponto (,,5. (d z = e x ln y, no ponto (,,0. 4. Determine a equação do plano que passa pelos pontos (0,,5 e (0,0,6 e é tangente ao gráfico de g (x, y = x y. 5. Determine k R para que o plano tangente ao gráfico de f (x, y = ln(x +ky no ponto (,, f (, seja perpendicular ao plano x + z = 0. ( x 6. Seja f : R R uma função derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície z = x f y passam pela origem. 7. Seja f : R R, f com derivadas parciais contínuas em R e tal que x + z = 7 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0,, f (0,. Seja g (u, v = u f ( sen(u v,u v. Determine a R para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto (,, g (, seja paralelo ao vetor (4,, a. 8. Seja f : R R uma função diferenciável tal que as imagens das curvas γ(t = (, t,t e µ(t = (t, t,t 4 estejam contidas no gráfico de f. Determine o gradiente de f no ponto (,. 9. O gradiente de f (x, y = x +y 4 é tangente à imagem da curva γ(t = (t, t, t > 0 em um ponto P. Encontre a equação da reta tangente à curva de nível de f que contém P, no ponto P. 0. Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. (a f (x, y = xe y + y, (,0; (b f (x, y = ln(x, (,;. Mostre que f (x, y = x y é contínua em (0,0 e tem todas as derivadas direcionais em (0,0. É f diferenciável em (0,0?

4 . Seja f uma função diferenciável em R tal que γ(t = (t +, t, t R, é uma curva de nível de f. Sabendo que f (, 4 =, determine a derivada direcional de f no ponto (, 4 e na direção e sentido do vetor u = (,4. x. Seja f (x, y = x, se (x, y (0,0, (a Calcule o gradiente de f no ponto (0,0. (b Mostre que d dt f ( γ(t f ( γ(t γ (t em t = 0, onde γ(t = ( t, t. (c Seja u = (a,b um vetor unitário (isto é, a + b =. Use a definição de derivada direcional para calcular f u (0,0. (d f é diferenciável em (0,0? Justifique. 4. Seja a > 0 e considere o plano tangente à superfície x yz = a num ponto do primeiro octante. Mostre que o tetraedro formado por este plano e os planos coordenados tem volume independente do ponto de tangência. 5. Ache os pontos do hiperbolóide x y + z = onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (,,0 e (5,,6. Máximos e mínimos 6. Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os: (a z = x + x y + y + 0x 9y + (b z = x y x 6y + 7 (c z = x y (d z = x y (e z = y x y x + 6y (f z = y cos x (g z = (x x (y y (h z = y 4 + 4x y 4x 8y (i z = x ye x y (j z = ln(x + 4y x + 7 (k z = (x + (y x y 7. Encontre uma parametrização para C e use esta parametrização para encontrar, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos, onde: (a C = {(x, y R : x + y = } e f (x, y = x y. (b C = {(x, y, z R : x = z e z = y} e f (x, y, z = x z. (c C = {(x, y, z R : x + z = e(x + (z = } e f (x, y, z = xz. (d C = {(x, y, z R : x + z = e x y + z = } e f (x, y, z = x + z. 8. Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. (a f (x, y, z = xe z + sen(y, P = (,0,0 (b f (x, y, z = 4 y + z ln(x, P = (,, 9. Suponha que sobre uma certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por V (x, y, z = 5x x y + x yz. (a Ache a taxa de variação do potencial em P(,4,5 na direção do vetor v = i + j k. (b Em que direção V muda mais rapidamente em P? (c Qual é a maior taxa de variação em P? 40. Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região D indicada. (a f (x, y = 5 x + 4y; D é o triângulo (com interior e bordas cujos vértices são (0,0, (4,0 e (4,5 (b f (x, y = x ye x y ; D = {(x, y R : x, x 0, y 0} (c f (x, y = x 4 ; D = {(x, y R : x } (d f (x, y = x x y + 7x; D = {(x, y R / x, y }. (e f (x, y = (4x x cos y; D = {(x, y R : x, π 4 y π 4 } 4

5 4. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f sujeita às restrições explicitadas: (a f (x, y = x y; 5x + 5y + 6x y 64 = 0 (b f (x, y, z = x yz; x + y + z = 6 (c f (x, y, z = x y z ; x + z = (d f (x, y, z = x + z ; x z 4 = 4. Determine o valor máximo e o valor mínimo de f em R sendo (a f (x, y, z = x x 4y + z 6z e R = {(x, y, z : x + z 56} (b f (x, y, z = x + z 4x y 4z + x e R = {(x, y, z : x 0, y 0, z 0, x + z 4} 4. Encontre o máximo e o mínimo absolutos de f (x, y em D sendo: (a f (x, y = x y; D = { (x, y : x y =, x [,] } (b f (x, y = x 4 ; D = { (x, y : x =, x [0,/4], y 0 } 44. Encontre os pontos da elipse x + x y = mais próximos de (0, Qual o ponto do plano x + y z + 4 = 0 que está mais próximo do ponto (,,? 46. Determine o maior produto de números reais positivos cuja soma é 00. Exiba tais números. 47. Determine a distância entre as retas de equação X = (,, + α(4,,5, α R e X = (,0, + µ(,,, µ R. 48. Qual é o ponto da superfície z = x y + que está mais próximo da origem? 49. Seja b 0 e f (x, y = y bx y bx y. (a Determine, em função de b, o número de pontos críticos de f e classifique-os. (b Faça b = e ache os extremos de f no triângulo (fronteira e interior de vértices (0,0, (, e (,. 50. Seja f (x, y = a(x x y, onde a é uma constante. (a Verifique que, para todo a R, o par (0,0 é um ponto crítico de f. (b Para cada valor de a, classifique o ponto crítico (0,0 com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de a para os quais podemos afirmar que (0,0 é extremo global (absoluto de f? 5. A temperatura num ponto (x, y, z do espaço é dada por T (x, y, z = x y z. Determine os pontos da esfera x + z = onde a temperatura é mais alta e onde é mais baixa. Justifique. 5. Determine as dimensões de um paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, de modo que uma das faces está contida no plano z = 0 e a correspondente face oposta tem os seus vértices no parabolóide z = 4 x y, z > Um pentágono de cm de perímetro é construído colocando-se um triângulo isósceles sobre um retângulo. Dentre esses pentágonos, determine as medidas dos lados daquele que tem área máxima. 54. Determine a equação do plano que passa por (,, e que delimita no primeiro octante o tetraedro de menor volume. 55. Dentre todos os planos que são tangentes à superfície x y z = encontre aqueles mais distantes da origem. 5

6 56. Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com 7cm de papelão. Respostas ( (a f (x, y = y ; x +y (c f (x, y = x y y y x (+x +y ( ( (a u (x, y = y f x y (c u (x, y = (y f (x y x; u ( ; f (x, y = x ; (b f x +y (x, y = y sin(x y +cos (x y, f (x, y = x y sin(x y +cos (x y ;, f (x, y = x y x x y (+x +y ; ( ; u (x, y = x f x y y ; (b u (x, y = a f (ax + by; u (x, y = b f (ax + by; (x, y = x f (x y x; (d u (x, y = x f (ex +y ; u (x, y = y f (ex +y ; (8 (a g u = u f x (u, v ; g v = v f y (u, v ; (b g u = cosu f x (u v,u cos v f y (u v,u cos v; g v = 6v f x (u v,u cos v + sin v f y (u v,u cos v; (c g u = cos(u + vf x (sin(u + v,cos(u v sin(u vf y (sin(u + v,cos(u v; g v = cos(u + vf x (sin(u + v,cos(u v + sin(u vf y (sin(u + v,cos(u v; (d g u = ue u f x (e u,ln(u + v + f y (e u,ln(u+v u+v ; g v = f y (e u,ln(u+v u+v ; (0 (a λ = ; (b λ = ; (c λ = /; (d λ = ; ( (b Não é contínua em (0,0; (c Não é diferenciável em (0,0; ( (b f f (0,0 = e ( (b Não; (4 (b f (x, y = (c Sim; (d Sim. (0,0 = 0.; (c Não; (dnenhuma das derivadas parciais é contínua em (0,0. { 4x y(x +y cos((x +y x ysen((x +y se (x, y (0,0, (x +y (6 (a f não é diferenciável em nenhum ponto da reta y = x; (b f não é diferenciável nos pontos da forma (a,0 com a 0; (c f é diferenciável em R pois é de classe C ; (d Idem ao item (c. (8 9600π cm /s; (8 a = ; ( (b. ( (a F = s e r s G + 6r e r s s cos s G r + 9r 4 cos s G + s e r s G G + 6r cos s ; (b0; ( (a z = ; X = (0,0, + λ(0,0,, λ R; (bx z = 0; X = (,,0 + λ(,,, λ R; (c 6x 4y +z +5 = 0; X = (,,5+λ(6, 4,, λ R; (d e y z e = 0; X = (,,0+λ(0,e,, λ R; (4 6x y z + 6 = 0; (5 k = 8; (7 a = 4; (8 (,4; (9 X = ( 4, + λ(,, λ R; (0 (a 5, (, ; (b, ( 5 5, 5 ; ( ( f não é diferenciável em (0,0; ( 4/5; ( (d Não; (5 ±,, (6 (a (, mínimo; (b (/,, ( 4/, selas; (c (0,λ e (λ,0 com λ R mínimos; (d (0,λ e (λ,0 com λ R selas; (e (4,4 máximo; (f (π/+kπ,0 com k Z selas; (g (, máximo, (0,0,(,0,(0,,(, selas; (h (0,0 máximo, (0, mínimo, (0,,(,,(, selas; (i (0,0 sela, ±(/,/ máximos, ±( /,/ mínimos; (j (/,0 mínimo; (k (, e (0, sela; (, mínimo e (0, máximo; (7 (a pontos de máximo: (, e (, ; pontos de mínimo: (, e (,. (b ponto de máximo: (,, 4 ; ponto de mínimo: (, +, + 4. (c ponto de máximo: (,, ; ponto de mínimo: (,,. (d ponto de mínimo: (, 6, 5 6 ; não tem ponto de máximo. (8 a 6 ; (,,; (b ; (,,0; (9 (a ; (b (8,6,; (c 406; (40 (a máximo: f (4,5 =, mínimo: f (4,0 = 7; (b máximo: f (0,0 = 0, mínimo: f ( /,/ = e ; (c máximo: f (,0 =, mínimo: f (,0 = ; (d máximo: f (,0 = 4, mínimo: f (, π 4 = f (, π 4 = f (, π 4 = f (, π 4 =. 6

7 (4 (a max f (, = f (, = 4; min f (4, 4 = f ( 4,4 = 6; (b max /, min / ; (c max /7, min 0; (d max, min. (4 (a mínimo: e máximo ; (b mínimo: + ( 5 6 e máximo. (44 (a (, e (, ; (45 (0,,; (46 n = n = n = 00 ; (47 ; (48 (0,0, ou (0,0, ; ( (49 (a Se b > 0, temos 5 pontos críticos: + b, e (0, pontos de sela; (0, máximo local e (0, mínimo local; e se b < 0, temos pontos críticos: (0,0 e (0, pontos de sela; (0, mínimo local; (b Pontos de máximo: (, e (,; ponto de mínimo. (0,; (50 (b a > : mínimo local; < a < : sela; a < : máximo local; a : (0,0 é ponto de mínimo global; a : (0,0 é ponto de máximo global; ( ( ( ( (5 Mais quentes:,,,,, ; Mais frios :,,,,, ; (5 O paralelepípedo tem vértices em (±,±,0 e (±,±,; (5 (5 (, (, 4( ; (54 x + z 6 = 0; (55 /5 x + 9/0 y + 9/0 z = 5; /5 x 9/0 y + 9/0 z = 5; (56 base cm cm e altura,5cm. 7