MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 3 a lista de exercícios

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1 MAT454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a lista de exercícios Em cada caso, esboce a superfície de nível c da função F : R R: a) Fx, y, z) = x + y + z e c = 1 b) Fx, y, z) = x + y + z e c = 1 c) Fx, y, z) = x + y z e c = 0 d) Fx, y, z) = x + y z e c = 1 e) Fx, y, z) = x + y z e c = 1 f) Fx, y, z) = x y e c = 1 Alguma dessas superfícies é o gráfico de uma função f : D R R?. Verifique que a imagem da curva γt) = cos t, cos t, sen t), t [0, π], está contida numa esfera com centro em 0, 0, 0) e esboce a imagem de γ.. Seja γt) = t + 1 cos t, t + 1sen t, t), t R. Verifique que a imagem de γ está contida na superfície x + y z = 1. Esboce a imagem de γ. 4. Encontre uma parametrização para C e a reta tangente a C no ponto P: a) C = {x, y, z) R x + y + z = 1 e z = x + 1} e P = 1,, 1 ). b) C = {x, y, z) R z = y x e x + y = 1} e P = 1, 0, 1). c) C = {x, y, z) R z = 4x + y e z = x + 1} e P = 0, 1, 1). 5. Ache os pontos do hiperbolóide x y + z = 1 nos quais a reta normal é paralela à reta que une os pontos, 1, 0) e 5,, 6). 6. Mostre que o elipsóide x + y + z = 9 e a esfera x + y + z 8x 6y 8z + 4 = 0 se tangenciam no ponto 1, 1, ) isto é, que elas têm o mesmo plano tangente neste ponto). 7. Ache a reta tangente à interseção do cilindro x + y = com gráfico de f x, y) = x + y + no ponto 1, 1, 4). 8. Sejam f : R R e γ : R R, diferenciáveis com f 1, 0) =, 1) e γ t) = 0, 0, 0), para todo t R. Suponha que a imagem de γ esteja contida na interseção do gráfico de f com a superfície z + x + yz + xy = 0. Sabendo que 1, 0, 1) Imγ, determine uma equação para a reta tangente a γ neste ponto. 9. Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. a) f x, y, z) = xe z + sen y),, 0, 0) b) f x, y, z) = y 4 + z lnx), 1,, 1) 10. Suponha que sobre uma certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por Vx, y, z) = 5x xy + xyz. a) Ache a taxa de variação do potencial em P, 4, 5) na direção do vetor v = i + j k. b) Em que direção V muda mais rapidamente em P? c) Qual é a maior taxa de variação em P?

2 11. Encontre uma parametrização para C, esboce C e use esta parametrização para encontrar, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos: a) C = {x, y) R : x + y = 1} e f x, y) = x y. b) C = {x, y, z) R : x + y = z e z = y} e f x, y, z) = x z. c) C = {x, y, z) R : x +y +z =1 e x 1) +y +z 1) = 1} e f x, y, z) = xz+y. d) C = {x, y, z) R : x + y + z = 1 e x y + z = } e f x, y, z) = x +y +z. 1. Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região D. Esboce D.) a) f x, y) = 5 x + 4y; D é o triângulo com interior e bordas) cujos vértices são 0, 0), 4, 0) e 4, 5) b) f x, y) = xy e x y ; D = {x, y) R : x + y, x 0, y 0} 1. Encontre o máximo e o mínimo absolutos de f x, y) em D sendo: a) f x, y) = xy; D = { x, y) R : x y = 1, x [1, ] } b) f x, y) = x + y 4 ; D = {x, y) R : x + y = 1, x [0, 4 1 ], y 0} Você pode usar multiplicadores de Lagrange apenas) para resolver esse exercício? 14. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f sujeita às restrições explicitadas: a) f x, y) = xy; 5x + 5y + 6xy 64 = 0 b) f x, y, z) = xyz; x + y + z = 6 c) f x, y, z) = x y z ; x + y + z = 1 d) f x, y, z) = x + y + z ; x 4 + y 4 + z 4 = Determine o valor máximo e o valor mínimo de f em R sendo a) f x, y, z) = x x+y 4y+z 6z e R = {x, y, z) R : x +y +z 56} b) f x, y, z) = x + y + z 4xy 4z + x e R = {x, y, z) R : x 0, y 0, z 0, x + y + z 4} 16. Encontre os pontos de máximo e de mínimo de f em C, sem parametrizar C: a) f x, y, z) = x + y + z e C = {x, y, z) R : x + y = 1 e 4x + 4y = z }; b) f x, y, z) = x +y +z e C = {x, y, z) R : x +y +z = 1 e x+y+z = 1}; c) f e C como no exercício 11 a); d) f e C como no exercício 11 b).

3 17. Encontre o máximo e o mínimo de f x, y, z) = x + y z no compacto C. a) C = {x, y, z) R : 4x + y z + 1 = 0, z > 0 e z = x + y + 4}. b) C = {x, y, z) R : 4x + y z + 1 = 0, z > 0 e z x + y + 4}. 18. Seja f x, y, z) = x + y + z 4xy 4z. Achar o máximo e o mínimo de f em: a) {x, y, z) R : x + y + z = 4} b) {x, y, z) R : x + y + z 4} c) {x, y, z) R : x + y + z = 4 e z 1 } d) {x, y, z) R : x + y + z 4 e z 1 } e) {x, y, z) R : x + y + z = 4 e z x + y} Nos exercícios 19 a 1 prove que o problema tem solução, isto é, explique por que o ponto encontrado é, de fato, de máximo ou de mínimo. 19. a) Encontre os pontos da elipse x + xy + y = mais próximos de 0, 0). b) Qual o ponto do plano x + y z + 4 = 0 que está mais próximo do ponto 1, 1, 1)? Para justificar, veja, por exemplo, o exercício 6). 0. Determine o maior produto de números reais positivos cuja soma é 100. Exiba tais números. 1. Determine as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, de modo que uma das faces está contida no plano z = 0 e a correspondente face oposta tem os seus vértices no parabolóide z = 4 x y, z > 0.. Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os: a) z = x + xy + y + 10x 9y + 11 b) z = x y c) z = x y d) z = x x )y y ) e) z = xye x y f) z = lnx + 4y x + 7). Determine os valores de a para os quais a função f x, y) = ax 4 + y ax y a) tenha exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local; b) tenha exatamente dois pontos de sela e um mínimo local. c) Existe a R para o qual a função tenha ao menos um máximo local? d) Existe a R para o qual a função tenha mais de pontos críticos?

4 4. É impossível para uma função contínua de R em R ter máximos locais e nenhum mínimo local. Por quê? O mesmo não ocorre com uma função f : R R. Verifique que f x, y) = x 1) x y x 1) tem exatamente dois pontos críticos, ambos máximos locais. Faça um esboço de uma superfície com tais características e tente compreender como isso ocorre. 5. Mostre que a função f x, y) = x + 5y 1 + x) possui um único ponto crítico, que este ponto crítico é um mínimo local, e que f não possui ponto de mínimo global. 6. Seja f : R R dada por f x, y) = ax + by + cxy + dx + ey + l, onde a, b, c, d, e, l são constantes não todas nulas. Prove que se x 0, y 0 ) for um extremante local de f, então será um extremante global de f. Dica: dados h, k) R, observe que a função gt) = f x 0 + th, y 0 + tk) é uma parábola). Resolva os exercícios 7 a 0, a seguir, assumindo que cada problema proposto tem solução. É possível provar que essas soluções existem. Tente fazê-lo. 7. Determine a equação do plano que passa por,, 1) e que delimita no primeiro octante o tetraedro de menor volume. 8. Dentre todos os planos que são tangentes à superfície xy z = 1 encontre aqueles mais distantes da origem. 9. Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com 7cm de papelão. 0. Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de 1000 pés cúbicos. Como o ar quente sobe, a perda de calor por unidade de área pelo teto é cinco vezes maior que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determine as dimensões do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento.

5 1. Apenas a superfície do item a). RESPOSTAS 4. a) γt) : [0, π[ R, γt) = cos t), 1 sen t, cos t)), reta tangente: X = 1,, 1 ) + λ 1, 0, 1), λ R; b) γt) : [0, π[ R, γt) = cos t, sen t, cos t)), reta tangente: X = 1, 0, 1) + λ0, 1, 0), λ R; c) γt) : R R, γt) = 1 4 t 1), t, 1t + 1)), reta tangente: X = 0, 1, 1) + λ1,, ), λ R. 5. +,, ). 7. X = 1, 1, 4) + λ 1, 1, 0), λ R. 8. X = 1, 0, 1) + λ, 9, 5), λ R. 9. a) 6 ; 1, 1, ) b) ; 1, 1, 0). 10. a) b) 8, 6, 1) c) a) ptos de máx:, 1 ) e b) pto máx: 1 ); ptos de mín:, 1, 1 ) e, 1 5, 5 4 ); pto mín: 5 1, 1 5 +, ); 5 c) pto máx: 1, 1, 1 ); pto mín: 1, 1, 1 ); d) pto mín: 1, 1 6, 5 6 ); não tem pto de máximo. 1. a) valor máx: f 4, 5) = 1, valor mín: f 4, 0) = 7; b) valor máx: f 0, 0) = 0, valor mín: f 1, 1 ) = 1 e., 1 ); 1. a) valor mín: e valor máx: ) 1 ; b) valor mín: e valor máx: a) valor máx: f, ) = f, ) = 4; valor mín: f 4, 4) = f 4, 4) = 16; b) valor máx:, mín: ; c) valor máx: 1 7, valor mín: 0; d) valor máx:, mín: a) valor mín: f 1,, ) = 14, valor máx: f, 4, 6) = 11; b) valor mín: f,, 1 ) = 11 4, valor máx: f 4, 0, 0) = a) ptos de mín.: 0, 1, ) e 1, 0, ), pto de máx: 1, 1, 4 ); b) ptos de mín:,, 1),, 1, ), e 1,, ), ptos de máx: 0, 0, 1), 0, 1, 0) e 1, 0, 0); ) c) ptos de mín: ±, 1 ), ptos de máx: ±, 1 ; ) d) pto de mín: 1, 1 5 +, 5 + ), 4 pto de máx: 15, 1 5,

6 17. a) valor mín: f 1 + 7, + 7, 4 + 7) = , valor máx: f 1 7, 7, 4 7) = ; b) valor mín: f 1 + 7, + 7, 4 + 7) = , valor máx: f 1 4, 1, ) = a) pto de máx: 0, 0, ), ptos de mín: 4, 4, ) e 4, 4, ); b) os mesmos que em a); c) pto de máx: 15, 15, 1 ) e 15, 15, 1 ), ptos de mín: 4, 4, ) e 4, 4, ); d) os mesmos que em c); e) ptos de máx: 1 ± 15, 1 15, ), pto de mín: 4, 4, ). 19. a) 1, 1) e 1, 1); b) 0, 1, ). 0. n 1 = n = n = O paralelepípedo tem vértices em ±1, ±1, 0) e ±1, ±1, ).. a) pto de mín:, ); b) ptos de mín: 0, λ) e λ, 0) com λ R; c) ptos de sela: 0, λ) e λ, 0) com λ R; d) pto de máx:1, 1), ptos de sela: 0, 0),, 0), 0, ),, ); e) pto de sela: 0, 0), ptos de máx: ± 1 1, ), ptos de mín: ± 1, 1 ); f) pto de mín: 1, 0).. a) a > 0 b) a < 0 c) não d) a = x + y + z 6 = 0 8. /5 x + 9/10 y + 9/10 z = 5; /5 x 9/10 y + 9/10 z = 5; /5 x + 9/10 y 9/10 z = 5; /5 x 9/10 y 9/10 z = base cm, altura 1,5cm. 0. largura, profundidade e altura iguais a 10 pés.