Universidade Federal de Viçosa. MAT Cálculo Diferencial e Integral III 2a Lista /II

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1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências xatas e Tecnológicas epartamento de Matemática MAT 43 - Cálculo iferencial e Integral III a Lista - 8/II Máximos e mínimos. A distribuição de temperatura na chapa retangular definida por = { (x, y) ; x 4, y 3 } é dada por T (x, y) = x + xy + 3y. Ache as temperaturas máxima e mínima da chapa, bem como os pontos onde elas ocorrem.. A temperatura no ponto (x, y) da placa circular x + y é dada por T (x, y) = x y + xy + 4. etermine o ponto mais quente e o ponto mais frio da placa. 3. Uma calha deve ser construída com uma folha de aço, de largura a e comprimento b. Se a seção transversal da calha é um trapézio isósceles, qual deve ser a largura da base e a inclinação das faces para que sua capacidade seja máxima? 4. ncontre os pontos de máximo e mínimo absoluto da função f(x, y) = x + 3y + 5 com a restrição x + y =. 5. ncontre os pontos de máximo e mínimo absoluto de f(x, y) = x + y + y em A = { (x, y) ; x + y }. 6. Ache os extremos de f(x, y) = y 4xy + 4x, sujeito ao vínculo x + y =. 7. etermine a equação do elipsóide x a + y b + z = que passa pelo ponto (,, 3) e tem menor volume. c 8. Um depósito cilíndrico fechado de aço deve conter litros de um fluido. etermine as dimensões do depósito de modo que a quantidade de material usada em sua construção seja mínima. 9. Um fio de cobre de comprimento a, deve ser dividido em três partes tais que o produto dos comprimentos das partes seja máximo. etermine o comprimento dessas partes.. etermine os pontos da curva x 6 + y 6 = mais afastados e os mais próximos da origem.. etermine o valor máximo de f(x, y, z) = x + y z sobre a esfera x + y + z = 4.. etermine o valor mínimo de f(x, y, z) = x + y + 3z sobre o plano x y z =. 3. etermine a distância mínima entre a superfície 4x + y z = e o ponto (,, 8). 4. Se uma caixa retangular sem tampa deve ter um volume fixo V, que dimensões relativas minimizarão a área da superfície? 5. e todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das três arestas é constante e igual a a (a > ), qual é o que tem volume máximo? 6. etermine as dimensões do paralelepípedo retangular de volume máximo sabendo que as 3 faces do paralelepípedo estão nos planos coordenados e um vértice pertence ao plano x a + y b + z = (a, b, c > ). Calcule o volume. c 7. Ache o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsóide x + 9y + 4z =, se os faces devem ser paralelas aos eixos coordenados. 8. etermine o ponto da reta interseção dos planos x + y + z = e 3x + y + z = 6 mais próximo da origem.

2 Integrais duplas. m cada caso, esboce a região de intergração e calcule a integral: (c) (d) (e) (f) (g) (h) y a a x a x x 4 x y dxdy; a x (x + y)dydx; e x+y dxdy; x + y 3 dydx; e y dydx; sin x dxdy; y x sin xdxdy. x sin y y dydx.. Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas: z = xy, z =, y = x, x = (primeiro octante); x + z =, y + z = (primeiro octante); (c) z =, x =, x = e y. + y 3. Calcule, em coordenadas polares: (c) x x 4 arctan y x dydx; xydydx; 4y y x dxdy. 4. screva a soma das integrais como uma única integral dupla usando coordenadas polares e calcule: x / x x + y dydx + x xydydx + x 8 x xydydx + x + y dydx 4 x xydydx 5. Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume de uma esfera de raio a. 6. ncontre k de modo que o volume dentro do hemisfério z = 6 x y e fora do cilindro x + y = k seja metade do volume do hemisfério. 7. Calcule o volume do elipsóide dado por x a + y b + z =, onde a, b, c >. c 8. m cada caso, use a mudança de variáveis indicada para calcular a integral dupla dada: x + y dydx, x = u, y = uv. : triângulo de vértices (, ), (4, ) e (4, 4). x y sin xydydx, x = u, y = v, : região entre os gráficos de xy =, xy = 4, y = e y = 4. v

3 9. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pela superfície z = 6 x y e inferiormente pela região elíptica x 6 + y 9.. Calcular, por dupla integração, a área da região acima do eixo x, limitada pela parábola semi-cúbica y = x 3 e a reta y = x: integrando primeiro em relação a x; integrando primeiro em relação a y.. Achar o volume do sólido limitado pela superfície cilíndrica x + az = a e os planos x + y = a, y = e z =.. Calcule o volume do sólido compreendido entre os parabolóides z = 5x + 5y e z = 6 7x y. 3. O volume V abaixo do parabolóide hiperbólico z = xy e acima de uma região do plano-xy é dado por V = y xydxdy + y xydxdy. sboce a região no plano-xy, expresse V como uma integral dupla na qual a ordem de integração é invertida e calcule V. 4. Achar o volume removido quando se abre um furo de raio a num esfera de raio a, sendo o eixo do furo um diâmetro da esfera. 5. Sendo a região limitada pelas retas y = x, y = e x =, calcule a integral dupla dxdy. ( + x + y ) 3 6. Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto dado: = {(x, y) / ln x y + ln x, y e x e}. = {(x, y) /x 3 y x}. (c) é determinando pelas desigualdades xy, x y x + e x. (d) = {(x, y) /x >, 4 x y 3x + 7x}. 7. etermine o volume do sólido: Abaixo do parabolóide z = x + y e acima da região delimitada por y = x e x = y. Abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo com vétices (, ), (4, ) e (, ). 8. Calcule a integral trocando a ordem de integração: 3 3y 4 e x dxdy x y 3 + dydx 9. xpresse como união de regiões do tipo I ou do tipo II e calcule a integral. x da yda. Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. xyda, onde é o disco com centro na origem e raio 3. cos(x + y )da, onde é a região à esquerda do eixo y e entre as circunferências x + y = e x + y = 4. (c) e x y da, onde é a região delimitada pelo semicírculo x = 4 y = 4 e o eixo y. 3

4 . Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. 3 sin(x + y )dydx y (x + y)dxdy. Calcule xda, onde é a região limitada por x = ln y, x = e y = e. 3. Use uma integral dupla para calcular a área da região, no primeiro quadrante, delimitada pela curva y =, pela reta ( x que passa pelos pontos (, ) e (, ), e pela reta que passa pelos pontos (, ) e, ). 4. ada a soma de integrais 4 4 x ex/y dydx + 4 x ex/y dydx, inverta a ordem de integração e calcule a integral. 5. Calcule o volume do sólido dado por: z 9 x y e x + y 4, com y. Triplas. Calcule a integral tripla Q xy z 3 dv na caixa retangular Q = (x, y, z) 3 / x ; y 3; z.. Seja Q a cunha no primeiro octante seccionada do sólido cilíndrico y + z pelos planos y = x e x =. Calcule zdv. Q 3. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x + y = 9 e entre os planos z = e x + z = eescreva a integral 4 (4 x)/ ( 3x 6y)/4 dzdydx na ordem dydxdz. 5. Calcule o volume acima do cone z = x + y e dentro da esfera x + y + z = z. 6. Calcule zdv onde é o tetraedro de vértices (,, ), (,, ), (,, ) e (,, ). 7. Use coordenadas cilíndricas para calcular (,, h) e base x + y a compreendido no lado direito do plano y =. 8. xpresse S z x + y dxdydz, onde S é a metade do cone circular reto de vértice 9 x y (x + y + z ) 3 dzdyxdx em coordenadas esféricas e calcule. 9. Calcule o volume do sólido S, no primeiro octante, limitado pela esfera r = 4, pelos planos coordenados, o cone φ = φ 6 e pelo cone φ = φ 3.. Usando coordenadas esféricas, calcule: zdxdydz, onde é o conjunto x + y + z 4 e z. zdxdydz, onde é o conjunto z x + y, x + y + z. (c) zdxdydz, onde é a interseção da semi-esfera x + y + z 4 e z com o cilindro x + y.. Use uma integral tripla para determinar o volume: o tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x + y + z = 4. o sólido delimitado pelo cilindro elíptico 4x + z = 4 e pelos planos y = e y = z +. 4

5 (c) o sólido limitado pelo cilindro x = y e pelos planos z = e x + z =.. xpresse a integral f(x, y, z)dv como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde é o sólido limitado pelas seguintes superfícies: y = 4 x 4z e y =. y = x, z = e y + z = screva as equações em coordenadas cilíndricas. z = x + y. x + y = y. 4. sboce o sólido descrito pelas desigualdades: r, π/ θ π/ e z. 5. Calcule xdv, onde está delimitado pelos planos z = e z = x + y + 5 e pelos cilindros x + y = 4 e x + y = Calcule a integral 4 y 4 y x +y utilizando a mudança de coordenadas cilíndricas. 7. screva a equação em coordenadas esféricas. z = x + y. 9 = x + z. 8. sboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas: ρ, φ π e θ π. ρ e 3π 4 φ π. 9. esolva utilizando coordenadas esféricas. (x + y + z ) dv, onde é a bola centrada na origem de raio 5. zdv, onde está entre as esferas x + y + z = e x + y + z = 4 no primeiro octante. (c) x dv, onde é limitado pelo plano xz e pelos hemisférios y = 9 x z e y = 6 x z. ivirtam-se!!! 5