Integrais Triplas em Coordenadas Polares

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1 Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Integrais Triplas em Coordenadas Polares Na aula 3 discutimos como usar coordenadas polares em integrais duplas, seja pela região ser mais bem adaptada a este sistema, seja pela função ficar melhor escrita assim. etornamos agora a este assunto para as integrais triplas com a mesma motivação, mas com mais alternativas. Agora temos dois sistemas diferentes de coordenadas polares a tratar: as cilíndricas e as esféricas. 5.1 Coordenadas Cilíndricas A primeira generalização tridimensional das coordenadas polares que vamos trabalhar são as chamadas coordenadas polares cilíndricas, ou, simplesmente, coordenadas cilíndricas. Em palavras, esse sistema de coordenadas trata um plano do 3 em coordenadas polares e chama de z o eixo ortogonal a este. Cada ponto é descrito pela tripla (r, θ, z). Se escolhemos a origem de um sistema cartesiano no pólo das coordenadas polares, mantemos a mesma convenção de fazer θ = corresponder à semi-reta da parte positiva do eixo x e fazemos os eixos z das coordenadas cartesianas e das cilíndricas coincidirem (e até por isso é convencional usar-se a mesma letra), a mudança de coordenadas toma a forma: x = r cos θ, y = r sen θ, z = z. Novamente, você deve tentar fazer uma figura para entender o que se passa egiões Fundamentais Já deve ter ficado claro que a maneira mais simples de fazer partições de uma região é fazer partições nos intervalos das variáveis que as definem. Queremos 1

2 então entender como são as regiões que, em coordenadas cilíndricas, são definidas por P = {(r, θ, z) : 1 r, Θ 1 θ Θ, Z 1 z Z }, onde i, Θ i e Z i são constantes. O primeiro passo é entendermos como são os limites desta região, ou seja, o que significam as equações r = i, θ = Θ i e z = Z i. A primeira equação representa um cilindro (circular reto) de raio i e centrado no eixo z; a segunda representa um semi-plano que parte do eixo z com o valor Θ i definido; a terceira é um plano, paralelo ao plano z =, mas na altura Z i. A figura que poderíamos chamar de paralelepípedo cilíndrico (mas essa nomenclatura não é muito usual) é uma generalização natural dos retângulos polares que estudamos na aula 3. Constitui o sólido que pode ser visto como um prisma de altura z = Z Z 1 e base o retângulo polar de abertura θ = Θ Θ 1, raio menor 1 e raio maior. O volume deste paralelepípedo é V = 1 ( ) 1 θ z, que pode ser reescrito como V = r r θ z, onde r = 1 ( + 1 ) é o raio médio e r = 1. Note que há alguns casos degenerados, mas importantes, da construção acima, como 1 = ou θ = π, mas para os quais as mesmas fórmulas continuam valendo Integrais Triplas em Paralelepípedos Cilíndricos Com a experiência do momento você já deve achar natural que, se quisermos resolver uma integral tripla de uma função f (x, y, z) escrita em coordenadas cartesianas em um paralelepípedo cilíndrico P, faremos uso das seguintes integrais iteradas: Z Θ f (x, y, z) dv = f (r cos θ, r sen θ, z) r dr dθ dz. P Z 1 Θ 1 1 Novamente, a ordem de integração não é pré-definida, podendo ser usada como arma para tornar a integral mais simples. Além disso, não são só os paralelepípedos cilíndricos que servem como região de integração.

3 Como um exemplo, vamos calcular a integral x 3 + xy dv, onde é a região do primeiro octante, abaixo de z = 1 x y. O primeiro passo é reconhecermos que o parabolóide em questão é dado em coordenadas cilíndricas por z = 1 r e que a região e delimitada por ele, pelo plano z = (pois a região é do primeiro octante) e pelos semi-planos θ = e θ = π. Pela intersecção do plano z = com o parabolóide, concluímos que os valores de r permitidos são de a 1. Assim a região pode ser escrita = {(r, θ, z) : r 1, θ π }, z 1 r. Isso indica que a integral em z deve ser calculada antes da integral em r, com a integral em θ podendo tomar a ordem que parecer mais adequada. Assim, x 3 + xy dv = = = π 1 1 r π 1 π r 3 ( cos 3 θ + cos θ sen θ ) r dz dr dθ ( 1 r ) r 4 cos θ dr dθ cos θ dθ 1 ( r 4 r 6) dr = Muitos outros exemplos interessantes podem ser encontrados em livros e nos exercícios sugeridos. 5. Coordenadas Esféricas Mais próximo na idéia das coordenadas polares planas está o sistema de coordenadas polares esféricas, ou, simplesmente, coordenadas esféricas. Novamente, a idéia é apontar a direção em que se deve ir e a distância a ser percorrida. Esta direção será dada por um ponto na esfera, assim usamos dois ângulos para descrever a direção (parecido com os ângulos de latitude e longitude que são usados geograficamente). Uma escolha comum 1 destes 1 Vários livros fazem escolhas diferentes e você deve estar sempre atento a isso, principalmente quando tenta usar fórmulas memorizadas. 3

4 ângulos é manter o mesmo θ das coordenadas cilíndricas (que geograficamente é a longitude) e trabalhar com um ângulo φ medido a partir do semi-eixo z > das coordenadas cilíndricas (muitas vezes chamado de co-latitude). Naturalmente para cobrir todas as direções será suficente usar θ [, π] e φ [, π]. Com essas escolhas, e chamando de ρ (lê-se rô) a distância ao pólo, teremos a seguinte mudança de coordenadas entre esféricas e cilíndricas: z = ρ cos φ, r = ρ sen φ, θ = θ, que leva à seguinte relação entre polares esféricas e cartesianas (com as convenções já discutidas) x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cos φ. É importante notar que com essas escolhas, alguns pontos são descritos maneira ambígua. Por exemplo, para todo ponto do eixo z, o ângulo θ é arbitrário. Além disso, pontos com θ = ou com θ = π coincidem. Voltaremos a esta questão mais adiante, para explicar porque isso não é um problema para integração egiões Fundamentais Novamente queremos entender as superfícies que obtemos fazendo cada uma das variáveis constantes. Se ρ =, teremos uma esfera de raio, que dá nome ao sistema de coordenadas. Se θ = Θ teremos o mesmo semi-plano das coordenadas cilíndricas. Por fim, se φ = Φ reconheceremos um cone (circular reto), com eixo coincidindo com o eixo z, no caso geral, com algumas situações degeneradas: φ = e φ = π são semi-retas e φ = π é o plano z =. Calcular o volume de uma região dada por = {(ρ, φ, θ) : 1 ρ, Φ 1 φ Φ, Θ 1 θ Θ } é um bom exercício de geometria. Não vamos resolvê-lo aqui. Vamos apenas indicar a fórmula para o elemento de volume em coordenadas esféricas, discutir seu significado geométrico e apontar para a questão geral de trabalhar em qualquer sistema de coordenadas, que será nosso assunto na próxima aula. 4

5 5.. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Se quisermos resolver uma integral tripla na região descrita acima (um paralelepípedo esférico, por que não?) podemos usar as seguintes integrais iteradas: f (x, y, z) dv = Θ Φ Θ 1 Φ 1 1 f (ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ) ρ sen φ dρ dφ dθ, onde os termos ρ e sen φ podem ser entendidos da seguinte maneira: o termo ρ é fundamental para que tenhamos um elemento de volume, já que as coordenadas esféricas são definidas em termos de dois ângulos e um comprimento (do mesmo modo que o r nas coordenadas polares e cilíndricas era essencial); o termo sen φ tem um apelo geométrico claro: as mesmas variações em φ e θ geram áreas muito diferentes em uma esfera se elas são feitas próximas aos pólos ou próximas ao equador. Como sen φ é pequeno próximo dos pólos e grande próximo ao equador, ele traz este aspecto para o elemento de volume. Por fim, é este termo que faz não ser grave o fato dos pontos do eixo z serem descritos por qualquer valor de φ: o termo sen φ faz com que estes pontos não colaborem para a integral. 5.3 Discussão Geral A última lição que deve ser tomada já foi discutida nas integrais duplas em coordenadas polares e será nosso assunto na próxima aula teórica: todo problema de integral múltipla é constituído de três ingredientes básicos: a função a ser integrada, que precisa ser escrita com respeito às variáveis escolhidas; a região de integração, que determina os limites de integração e impõe restrições quanto à ordem em que se resolvem as integrais iteradas; e o elemento de volume, que traduz quanto volume (ou área) é representado por uma variação infinitesimal padrão nas variáveis utilizadas. Na próxima aula veremos como isso se dá no caso geral de mudança de coordenadas e, como exemplo particular, deduziremos o elemento de volume das coordenadas polares esféricas. 5