ANÁLISE MATEMÁTICA III CURSOS: LEAB, LEB, LEMG, LEMAT, LEN, LEQ, LQ. disponível em acannas/amiii

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 9// ANÁLISE MATEMÁTICA III CURSOS: LEAB, LEB, LEMG, LEMAT, LEN, LEQ, LQ PROPOSTA DE) RESOLUÇÃO DA FICHA disponível em acannas/amiii ) Determine o centróide de A = {x, y) R : x y x e x + y }. Resolução: A região A é o quarto de disco representado a tracejado na figura seguinte: y = x PSfrag replacements y = x Em coordenadas polares, A é descrita pelas condições π θ 5π e r. Portanto, Área = A dx dy = 5π π = π = π e A x dx dy = 5π π = [sin θ] θ= 5π θ= π = 8, pelo que a primeira coordenada do centróide é x = A x dx dy área [ ] r r= r dr dθ r= r cos θ)r dr dθ [ r = 8 π. Por simetria da região relativamente ao eixo dos xx reflexão vertical), a segunda coordenada do centróide é y =. Conclui-se que o centróide de A é o ponto ) 8 π,. ] r= r=

2 AMIII LEAB, LEB, LEMG, LEMAT, LEN, LEQ, LQ FICHA ) Calcule o volume do sólido limitado superiormente pela esfera x + y + z = 5 e inferiormente pelo parabolóide x + y = z. Resolução: As equações algébricas que traduzem a curva de intersecção da esfera com o parabolóide são dadas pela conjunção das equações dessas superfícies: { x + y + z = 5 x + y = z + z 5 = = z = ou z = 5. = z Deduz-se que a intersecção da esfera com o parabolóide ocorre na circunferência descrita por z = e x + y =. A projeccção do sólido no plano xy é o disco de raio centrado na origem x + y. Em coordenadas ciĺındricas, o parabolóide fica com equação ρ = z e a esfera com equação ρ + z = 5, pelo que o sólido é o conjunto dos pontos ρ cos θ, ρ sin θ, z) satisfazendo O volume do sólido é: ρ, θ < π e ρ z 5 ρ. Volume = π 5 ρ ρ dz dρ dθ ρ = π ρ ) 5 ρ ρ dρ ] = π [ 5 ρ ) ρ= ρ 6 = π 5 5 ). ρ= ) Considere o sólido B = {x, y, z) R : x + y e z x + y )}. a) Descreva B em coordenadas ciĺındricas. b) Calcule o volume de B. c) Supondo que B é homogéneo, i.e., com densidade de massa constante k, calcule, em função de k, o momento de inércia de B em relação ao eixo definido por x = e z =. Resolução: a) B = {ρ cos θ, ρ sin θ, z) R : ρ, θ < π e z ρ }. b) Volume B) = π ρ ρ dz dρ dθ = π ρ ρ ) dρ ] ρ= = π [ρ ρ ρ= = π + = π. )

3 AMIII LEAB, LEB, LEMG, LEMAT, LEN, LEQ, LQ FICHA c) O quadrado da distância de um ponto x, y, z) à recta x = e z = é d = x ) + z, pelo que o momento de inércia pedido é I = π = k π = k = kπ = kπ ρ ρ ρ k ρ cos θ ) + z ) ρ dz dρ dθ ρ cos θ ρ cos θ + ρ + ρz ) dz dρ dθ πρ + πρ + πρz ) dz dρ ) ρ ρ 5 + ρ ρ + ρ ρ ) dρ ] ρ= [ ρ6 6 + ρ ρ ) = k π, onde na terceira igualdade se usou que o integral sobre [, π] de cos θ é zero e o de cos θ é π i.e., metade do integral de cos θ + sin θ). ρ= ) Calcule a massa do sólido limitado pelo elipsóide x a sua densidade de massa é fx, y, z) = x a + y b + z c. + y b + z c =, sabendo que a Resolução: Convém utilizar coordenadas elipsoidais, i.e., uma adaptação das coordenadas esféricas a este tipo de simetria: x = ar sin ϕ cos θ y = br sin ϕ sin θ z = cr cos ϕ. Notando a relação desta mudança de coordenadas com a das coordenadas esféricas, deduzse que o seu jacobiano é abcr sin ϕ. A bola elipsoidal fica descrita pela condição ρ e a densidade de massa em cada ponto é r. A massa do sólido é dada pelo integral Massa = dx dy dz = π π r abcr sin ϕ dr dϕ dθ = πabc π sin ϕ dϕ r dr = πabc 5 = 5 πabc.

4 AMIII LEAB, LEB, LEMG, LEMAT, LEN, LEQ, LQ FICHA 5) A espiral logarítmica é a curva definida pela parametrização gt) = e t cos t, e t sin t), t R. Esta curva pode ser decomposta em troços de t = nπ até t = n+)π com n Z. Qual é o rácio entre o comprimento de um destes segmentos e o comprimento do segmento anterior? Resolução: O comprimento do troço Γ n correspondente a t [nπ, n + )π] n Z) é dado pelo integral de linha n+)π Comprimento Γ n ) = = g t) dt. Γ n nπ Como g t) = e t cos t sin t), e t sin t + cos t) ), temos g θ) = e t e, então, Comprimento Γ n ) = n+)π nπ e t dt = [ e t] t=n+)π t=nπ = e n+)π e nπ ) = e nπ e π ). Assim, o rácio entre o comprimento de um destes segmentos e o segmento anterior é a constante Comprimento Γ n ) e nπ ComprimentoΓ n ) = e π ) e n )π e π ) = eπ. 6) Considere o cilindro C = {x, y, z) R : x + y ) = } e a esfera unitária S = {x, y, z) R : x + y + z = }. Seja Γ a curva de intersecção destas duas superfícies, conhecida por curva de Viviani. a) Esboce a curva Γ. b) Calcule a massa de um filamento com a forma de Γ, sabendo que a sua densidade de massa por unidade de comprimento é fx, y, z) =. + y Resolução: a) A curva de intersecção das duas superfícies pode ser observada na figura seguinte:

5 AMIII LEAB, LEB, LEMG, LEMAT, LEN, LEQ, LQ FICHA 5 b) A massa do filamento metálico é dada pelo integral de linha M = f. Γ Para calcular este integral precisamos de determinar uma parametrização para a curva Γ. Seguidamente apresentam-se três resoluções alternativas usando diferentes parametrizações ainda há outras possibilidades). A projecção da curva Γ no plano xy é simplesmente a circunferência de centro, ) e raio dada pelas equações: x + y ) = e z =. Pensando em coordenadas ciĺındricas relativamente ao eixo do cilindro, pode-se parametrizar a curva de projecção com um ângulo polar θ [, π]: xθ), yθ)) = cos θ, + ) sin θ, e depois usar a expressão z = x y para obter uma parametrização da metade de Γ no hemisfério norte: gθ) = cos θ, }{{} + sin θ, }{{} sin θ, θ [, π]. }{{} xθ) yθ) Para esta parametrização tem-se g θ) = g θ) = fgθ)) = sin θ, cos θ, +sin θ 8 e = + sin θ xθ) yθ) q cos θ sin θ +sin θ Por simetria do filamento, a massa da porção no hemisfério norte é metade da massa total. A massa dessa porção é M π π +sin θ π = f = fgθ)) g 8 θ) dθ = dθ = Γ {z } +sin θ dθ = π. Logo a massa total é M = π. Alternativamente, utiliza-se agora coordenadas esféricas: x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ. Nestas coordenadas, a esfera é dada pela condição r = x + y + z =, e a posição do cilindro impõe θ π. Como a curva é a intersecção da esfera. )

6 6 AMIII LEAB, LEB, LEMG, LEMAT, LEN, LEQ, LQ FICHA com o cilindro, temos { x + y + z = x + y ) = { x + y + z = x + y y + = { x + y + z = x + y = y o que em coordenadas esféricas dá = y = z, sin φ sin θ = cos φ = sin φ = sin θ = sin φ. Consequentemente, x = sin θ cos θ, y = sin θ, z = cos φ. Como z = y, temos z = sin θ = cos θ, pelo que z = ± cos θ. Utilizando o facto de que cos θ = cos π + θ), obtemos, então, a parametrização de toda a curva Γ em termos do ângulo θ [, π]: hθ) = sin θ cos θ, sin θ, cos θ ). Para esta parametrização tem-se h θ) = cos θ sin θ, sin θ cos θ, sin θ ) = cos θ, sin θ, sin θ), h θ) = + sin θ e fhθ)) = + sin θ. A massa do filamento é dada por π M = f = fhθ)) h θ) dθ = Γ π π + sin θ dθ = dθ = π. + sin θ Alternativamente, poderíamos ter obtido a mesma parametrização utilizando coordenadas ciĺındricas, x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z. Como sobre Γ se tem x + y = y, fica ρ = y = ρ sin θ, o que implica que ρ = sin θ. Então, z = y = sin θ e obtemos novamente a parametrização: hθ) = sin θ cos θ, sin θ, cos θ ), θ [, π].