Lista 4 de Cálculo Diferencial e Integral II Integrais Triplas. 1. Calcular I =

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1 1 Lista 4 de Cálculo Diferencial e Integral II Integrais Triplas 1. Calcular I = (x 1)dV, sendo T a região do espaço delimitada pelos planos y =, z =, T y + z = 5 e pelo cilindro parabólico z = 4 x.. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies x a + y b + z c = 1, x =, y = e z =.. Considere o sólido delimitado inferiormente por y+z =, superiormente por z = e lateralmente pelo cilindro que contorna a região delimitada por y = x e y = 4. Calcule a massa deste sólido, sabendo que sua densidade é dada por f(x, y, z) = y + z. 4. A gura abaixo mostra o sólido cujo volume pode ser calculado pela expressão 1 x 4 z dydzdx. Reescreva esta expressão como uma integral tripla equivalente, usando coordenadas cartesianas de cinco formas distintas. 5. Represente geometricamente o sólido cujo volume pode ser calculado pela expressão 4 4 z 8 z dydxdz. A seguir, reescreva esta expressão, como uma integral tripla equivalente, usando coordenadas cartesianas de cinco formas distintas.. Represente geometricamente o sólido cujo volume pode ser calculado pela expressão +x 4 x + y +x e a seguir reescreva esta expressão utilizando uma única integral tripla em coordenadas cartesianas.

2 7. Reescreva a expressão I = x+1 8 x y y + como uma única integral tripla, em coordenadas cartesianas. 8. Reescreva a expressão I = 1 x +4 1 x x 8 x y 1 5 x +4 5 y y como uma única integral tripla em coordenadas cartesianas, de três formas distintas. 9. Determine a massa do sólido delimitado no primeiro octante simultaneamente pelas superfícies x + z = 4, x + y = e x + y =, sabendo que f(x, y, z) = 1z é a sua função densidade. 1. Determinar o volume do sólido interior as superfícies b (x + y ) + a z = a b e x + y = ax. 11. Determinar o volume do sólido interior as superfícies x + y + z = 8 e x + y = z. 1. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies z =, z = x + y e x + y = ax. 1. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies x + y + y =, z = e z = 4 + y. 14. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies x + y = a e x + z = a. 15. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies r = 4 cos θ, z = e r = 1 z. 1. Seja S o sólido delimitado pelas superfícies z =, x + y = a e z = x + y. Determine o valor de a R para que a massa de S seja igual a ( 8 1 ), sabendo que a densidade em cada 1 ponto de S é dada por f(x, y, z) = 1 + (x + y ). 17. Represente geometricamente o sólido cuja massa é descrita, em coordenadas cilíndricas, pela 4 r expressão M = r um outro sistema de coordenadas. 4 + r zdzdrdθ. A seguir, reescreva esta expressão utilizando 18. Nos itens abaixo escreva em coordenadas retangulares as integrais dadas em coordenadas esféricas. (a) I = (b) I = 4 9 ρ sin ϕdρdϕdθ. 4 ρ ρ sin ϕdρdϕdθ. 19. Represente geometricamente o sólido cujo volume pode ser calculado pela expressão 1 ρ sin ϕdρdϕdθ. A seguir, reescreva esta expressão em coordenadas cilíndricas.. Utilize coordenadas esféricas para calcular a massa do sólido situado acima do cone z = x + y e interior à esfera x + y + z = 4z, sabendo que sua densidade de massa é dada por d(x, y, z) = x + y + z.

3 1. Utilize coordenadas esféricas para resolver a seguinte integral tripla I = x x 4 x y 1 z x + y (x + y + z ).. Represente geometricamente o sólido cuja massa é calculada, em coordenadas esféricas, pela expressão M = 5 cos ϕ+ sin ϕ cos ϕ A seguir, reescreva esta expressão em coordenadas cilíndricas. ρdρdϕdθ.. Represente geometricamente o sólido cuja massa pode ser calculada, em coordenadas cilíndricas, pela expressão M = 1 r A seguir, reescreva esta expressão em coordenadas esféricas. r (r + z)dzdrdθ. 4. Escreva, em coordenadas cartesianas e em coordenadas esféricas, a integral que permite calcular o volume do menor sólido delimitado simultaneamente pelas superfícies x + y + z = 1 x + y + z = 8z. 5. Calcule o volume do sólido que está situado acima de z = e que é simultaneamente interior à esfera x + y + z = 9 e ao hiperbolóide de uma folha x + y z = 1.. Considere o sólido delimitado inferiormente por z = x + y e superiormente por x + y + z =. Escreva a integral que permite calcular o volume deste sólido em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. 7. Considere o sólido delimitado inferiormente por z = x + y e superiormente por z = x + y. Escreva a integral que permite calcular o volume deste sólido em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. 8. Escreva, em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, as integrais que permitem calcular a massa do sólido situado simultaneamente no interior das superfícies x + y + z = 4z e z = (x x + y + y )z, sabendo que sua função densidade é f(x, y, z) = cos(x + y + z ). 9. Escreva I = f(x, y, z)dv, em três sistemas de coordenadas distintas, sendo S sólido situado S simultaneamente no interior de x +y +z = z e de z = x + y e f(x, y, z) = ex +y +z. O volume de um sólido S é dado pela expressão sendo a um número real positivo. a 4 a x 4 a x a x a y, a x +y (a) Escreva o volume do sólido usando coordenadas cilíndricas. e x + y + z.

4 4 Respostas (b) Determine o valor de a para que o volume do sólido S seja igual a I = abc. M = I = 8. I = z 4 z 4 4 y z 4 z z dydxdz 1 4x +8x x y 4 x 8 z 4 8 z 4 z 8 8 y dxdzdy dxdydz 4 y 4 z x 4 x 8 y 8 y 4 x z 1 1 y 8 x y y 1 1 x 5 z 9. M = a b( 4) (8 7) + dydzdx dxdydz dzdxdy + dxdzdy + 8 dzdxdy + dydzdx ydzdxdy dydzdx = y 4x +8x 4 1 x y x 8 8 y y 4 x 1 1 z 5 z 1 z dzdxdy dydxdz = dzdxdy 1 5 z 1 z 1 z dxdydz

5 5 1. a a a = 17. M = x 4 x y x x +y 4 + x + y z x + y 18. (a) I = (b) I = x 9 x 1 1 x 4 x 4 r ou 9 x y 9 x y z x + y + z 1 x y 4 x y z x + y + z x +y 1 x y 4 x y z x + y + z x +y r rdzdrdθ. M = 1 5 ( 8 ) 1. I = M = 1 5 r 4 r 1 r dzdrdθ rdzdrdθ + 1 r 4 r r rdzddθ r rdzdrdθ.. 1 cos ϕ+ sin ϕ (sin ϕ + cos ϕ)ρ dρdϕdθ + cos ϕ sin ϕ (sin ϕ + cos ϕ)ρ dρdϕdθ 4. Cartesianas Esféricas: Cartesianas Cilíndricas Esféricas: 1 1 x 1 1 x 4 4 y 1 x y 4 1 x y ρ sin ϕdρdϕdθ + 4 y r r x y x +y rdzdrdθ ρ sin ϕdzdϕdθ + 8 cos ϕ 1 cot ϕ csc ϕ ρ sin ϕdρdϕdθ. ρ sin ϕdzdϕdθ

6 7. Cartesianas Cilíndricas Esféricas 8. Cartesianas M = Cilíndricas M = Esféricas M = 9. Cartesianas I =. (a) Cilíndricas I = Esféricas I = + a 4 1 x x +y 4 1 x 4 r r arctan x +y rdzdrdθ cos ϕ + sin ϕ 4 x + 4 x y 4 x r 4 ρ sin ϕdρdϕdθ x +y (x + y )z cos(x + y + z ) 1+ 1 r r z cos(r + z ) dzdrdθ 4 cos ϕ cos ϕ sin ϕ 1 1 x x y 1 x 1 1 x y 1 r 4 a r ar 4 cos ϕ 1 1 r cos ϕ + sin ϕ ρ sin ϕ cos ϕ dρdϕdθ cos(ρ ) e x+y+z x + y + z e r+z r cos θ + r sin θ + z rdzdrdθ e ρ ρ sin ϕdρdϕdθ sin ϕ cos θ + sin ϕ sin θ + cos ϕ e ρ ρ sin ϕdρdϕdθ sin ϕ cos θ + sin ϕ sin θ + cos ϕ rdzdrdθ (b) a = 1