Cálculo IV EP5. Aula 9 Mudança de Variáveis na Integral Tripla. Aprender a fazer mudança de variáveis em integrais triplas. W uvw.

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1 Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP5 Aula 9 Mudança de Variáveis na Integral Tripla Objetivo Aprender a faer mudança de variáveis em integrais triplas Estudar a mudança de variáveis ciĺındricas Aqui temos um resultado similar à mudança de variáveis em integral dupla: f,,) ddd f u,v,w),u,v,w),u,v,w) ) J dudvdw uvw onde J é o jacobiano da mudança de variáveis e uvw ϕ),, ) u, v, w) ϕu,v,w),,) u,v,w),u,v,w),u,v,w) ) Um caso particular de mudança de variáveis Coordenadas ciĺındricas As coordenadas ciĺındricas r,θ,) são definidas por r cos θ r sen θ r 2 com r, θ θ θ + 2π, para algum θ e R θ r P

2 Cálculo IV EP5 2 As coordenadas r e θ são as mesmas que as coordenadas polares e, portanto, as suas variações são encontradas na projeção de no plano A variação de é encontrada diretamente no sólido Supondo que 1,) 2,), então a variação de será 1 r cos θ,r sen θ) 2 r cos θ,r sen θ) Calculando o jacobiano da transformação ciĺındrica, encontramos J,,) r,θ,) r Verifique!) Logo: f,,) ddd f r cos θ,r sen θ,) r drdθd rθ é a fórmula da integral tripla em coordenadas ciĺındricas Eemplo 1 Calcule ) ddd, sendo o sólido limitado pelo cilindro , pelo plano e pelo parabolóide Solução: De e , temos Isto significa que as superfícies apresentam interseção no plano O esboço de é: P,,) 1 1

3 Cálculo IV EP5 Passando para coordenadas ciĺındricas, temos r cos θ r sen θ ddd r drdθd r 2 Seja P,,) Uma reta por P, paralela ao eio, intercepta a fronteira de em e r 2 Logo, 4 r 2 Como a projeção de no plano é o disco , então r 1 e θ 2π Logo o conjunto rθ é dado por: r 1 rθ : θ 2π 4 r 2 Temos, 2 + 2) ddd 2 + 2) ddd r 2 r drdθd rθ r drdθd rθ π π π 67π 24 r 2π r [ r 2 ] 4 r 2 2π ddθdr r 4 r 2 ) 2 dr dθdr 16r 8r 5 + r 7) dr [ 4r 4 4r6 + r8 8 ] 1

4 Cálculo IV EP5 4 Aula 1 Integral Tripla em Coordenadas Esféricas Objetivo Estudar a mudança de variáveis esféricas As coordenadas esféricas ρ,φ,θ) são definidas por ρ sen φ cos θ ρ sen φ sen θ ρ 2 ρ cos φ com ρ, φ π, θ θ θ +2π, para algum θ θ φ ρ P A coordenada ρ mede a distância do ponto P à origem portanto ρ ) A coordenada θ é a mesma que a coordenada ciĺındrica e sua variação é encontrada na projeção de no plano A coordenada φ é o ângulo entre o eio positivo onde φ ) e a semireta OP A variação máima de φ é φ π Calculando o jacobiano da transformação esférica, temos: J,,) ρ,φ,θ) ρ2 sen φ Verifique!) Logo: f,,)dv f ρ sen φ cos θ,ρsen φ sen θ,ρcos φ)ρ 2 sen φ dρdφdθ ρφθ é a fórmula da inegral tripla em coordenadas esféricas Eemplo 1 Calcule o volume da esfera : a 2, a > )

5 Cálculo IV EP5 5 Solução: O esboço de é: a a a Passando para coordenadas esféricas, temos ρ sen φ cos θ ρ sen φ sen θ ρ cos φ dv ddd ρ 2 sen φ dρdφdθ ρ 2 A equação da esfera a 2 fica ρ a Logo, o conjunto ρφθ é dado por: Como V ) ddd então: V ) ρ a ρφθ : φ π θ 2π a 2π ρφθ ρ 2 sen φ dρdφdθ ρ 2 π a 2π [ cos φ ] π [ 4π 2π sen φ dθdφdρ π ρ 2 sen φ dφdρ ] a ρ 4πa uv a ρ 2 dρ

6 Cálculo IV EP5 6 Eemplo 2 Calcule o volume do elipsóide : 2 a b c 2 1, a,b,c > ) Solução: Façamos a mudança de variáveis Temos Logo, J,, ) u, v, w) au bv cw a b c ddd J dudvdw abc dudvdw abc O elipsóide : é transformado na esfera a 2 b 2 c 2 uvw : u 2 + v 2 + w 2 1 Como V ) ddd, então: V ) J dudvdw abc dudvdw abc V uvw ) abc 4 uvw uvw π 1 4 πabc Até a próima semana Eercício 1: Calcule esfera Eercício 2: Calcule Rioco K Barreto Coordenadora de Cálculo IV 2 + 2) dv, onde é a região interior ao cilindro e à dv, onde é a região limitada por e Eercício : Use a integral tripla para calcular o volume do sólido acima do parabolóide e abaio do cone Eercício 4: Calcule ) dv, sendo a região limitada superiormente pela esfera e inferiormente pelo cone Eercício 5: Calcule o volume do sólido que está dentro da esfera , acima do plano e abaio do cone 2 + 2

7 Cálculo IV EP5 7 Eercício 6: Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral π/ 2π sec φ ρ 2 sen φ dρdθdφ Eercício 7: Verificar que o centro de massa de uma esfera de raio 1 coincide com o seu centro, sabendo-se que a sua distribuição de massa é homogênea Eercício 8: Calcule o momento de inércia em relação ao eio do sólido limitado por e, sabendo que a densidade em um ponto é proporcional à distância de P ao plano